四川省绵阳南山中学2024届高三下学期高考仿真演练（一）文科数学试题(含答案)

绵阳南山中学高2021级高三下期高考仿真演练（一）
文科数学
注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上.
3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写.
4.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.命题“，”的否定形式是（ ）
A.， B.，
C.，或 D.，或
4.如上图所示，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱
5.已知首项的等差数列中，，若该数列的前项和，则等于（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
6.已知椭圆：的左、右两个顶点为，，点，，是的四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，…，，则直线，，…，，这6条直线的斜率乘积为（ ）
A. B. C.8 D.64
7.已知是数列的前项和，，，数列是公比为2的等比数列，则等于（ ）
A.76 B.108 C.512 D.19683
8.已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是（ ）
A.2 B. C.1 D.
9.设，若为函数的极小值点，则（ ）
A. B. C. D.
10.如下图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记，则（ ）
A.18 B.180 C. D.
11.已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ）
A. B.8 C.或8 D.4
12.在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，满足约束条件则的最大值为______
14.已知双曲线的两条渐近线均与圆：相切，双曲线左焦点为，则该双曲线的渐近线方程为______.
15.关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的是普丰实验和查理实验，受其启发，我们可以设计一个程序相图来估计的值（如图），若电脑输出的的值为287，那么的值为______.（结果用小数表示）
16.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线（conic sections）.现有一圆锥，轴截面是等边三角形，当圆锥的轴与截面所成的角分别为0，，时，分别得到双曲线、抛物线、椭圆，则所得圆锥曲线的离心率之积是______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.
（一）必考题：共60分
17.（本小题12分）很多人都爱好短视频，为了调查手机用户每天刷短视频的时间，某通讯公司在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性平均每天刷短视频的时间（单位：h）分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）若每天刷短视频超过的用户称为“短视频控”，否则称为“非短视频控”，完成如下列联表，判断是否有的把握认为是否是“短视频控”与性别有关.
短视频控 非短视频控 总计
男性
女性
总计
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（2）从女性50人中按分层抽样抽出5人，再从5人中随机抽出2人进行进一步交流，被抽到的2人中，既有“短视频控”，又有“非短视频控”的概率.
18.（本小题12分）三角形三内角，，的对边分别为，，.已知.
（1）求角的大小；
（2）若的面积等于，为边的中点，当中线的长最短时，求边的长.
19.（本小题12分）如图，在直三棱柱中，，，点，分别为和的中点.
（1）求点到平面的距离：
（2）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
20.（本小题12分）已知抛物线：，过焦点的直线交抛物线于，两点，当时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）动点在直线上，动点在抛物线上且在第一象限，满足，记直线，，的斜率分别为，，，求的最小值.
21.（本小题12分）已知函数.
（1）讨论的零点个数；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于，两点，证明：为定值.
23.【选修4-5：不等式选讲】（本小题10分）
设函数的最小值为.
（1）求的值；
（2）若，，为正实数，且，求证：.
高2021级高考仿真演练（一）文科数学参考答案及评分细则
1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.A 7.A 8.B 9.C 10.B 11.C 12.D
13.9 14. 15. 16.
17.解（1）由男性的频率分布直方图，可得，
解得.
男性非短视频控人数为，男性短视频控人数为；
女性非短视频控人数为，女性短视频控人数为，
所以填表如下：
短视频控 非短视频控 总计
男性 38 12 50
女恎 30 20 50
总计 68 32 100
所以，
因此有的把握认为是否是“矩视频控”与性别有关.
（2）由（1）知：被抽到的5人中，短视频控有3人，分别记为，，
非短视频控2人，分别记为，
则基本事件有，，，，，，，，，共10个
既有“短视频控”，又有“非短视频控”的基本事件：，，，，，共6个
则既有“短视频控”，又有“非短视频控”的概率
18解（1）在中，由正弦定理得，.
因为，所以，
所以，即.
又，则，
所以.
（2）因为，所以.
在中，由余弦定理可得
，
当且仅当，即，时，等号成立。
此时，
故.
19解（1）如图，过点作，垂足为，连接，则为的中点，
易得平面，
设点到平面的距离为.
由题意，，
则.
因为，，
，所以是等腰三角形，腰长为，底边长为，
所以.
由，得，解得，
即点到平面的距离为.
（2）存在点满足题意，且.
证明如下：如图，在上取点，使，连接，，取的中点为，连接，，，则，所以平面
因为，是的中点，所以.
在直三棱柱中，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以.
在矩形中，，
所以，从而可得：
又，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
20（1）解 由题意得焦点，设直线为，
代入抛物线方程得.
设，，根据抛物线对称性，不妨设在一象限
由根与系数的关系得，①
由，即，有，②
由①②得，则，
，解之得
抛物线的方程.
（2）设，，则.
因为，所以，即，
因为，，，
所以
令，则构造函数，
所以，令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即的最小值为，
所以的最小值为.
21解（1）因为的定义域为
当时，，所以1是的一个客点
当时，问题等价转化为：与的交点个数
因为
令，则
所以，且得到，，，
所以当，，，，，
又
综上：当时，有3个零点，当时，有1个零点
（2）不等式在上恒成立
等价于在上恒成立，
令，则.
对于函数，，所以其必有两个零点.
又两个零点之积为，所以两个零点一正一负，
设其中一个零点，则，即.
此时在上单调递增，在上单调递减，
故，即.
设函数，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，所以.由在上单调递增，
得.
22（1）解 由得，
由得，
因为，，所以，
所以曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.
（2）证明 由（1）知，设的参数方程为（为参数），
代入的普通方程得，
设方程的两根为，，则，
所以，
所以为定值.
23（1）解
当时，；当时，；
当时，，
所以当时，取最小值.
（2）证明 由（1）可知，因为，，为正实数，
所以
.
当且仅当，即，，时取等号，
所以.