江苏省兴化中学2023-2024学年高二下学期期末适应性考试数学试题(含答案)

2023—2024学年度第二学期高二期末适应性考试
数学试题
（考试用时：120分钟 总分：150分）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的值为（ ）
A.8 B.9 C.12 D.15
2.已知随机变量，，则（ ）
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
3.已知，，且，则（ ）
A.2 B.3 C. D.
4.在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C.80 D.80
5.甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，若甲不站右端也不站左端，则不同站法数为（ ）
A.36 B.60 C.72 D.90
6.一个不透明的袋子中有5个红球、4个黑球，从中随机地取出一个，观察颜色后再加上3个同色的球放回袋中，再次从袋子中取出一个球，则第二次取出的是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.从棱长为1的正方体的八个顶点中任意取四个点，，，，则值的不同种数为（ ）
A.4 B.5 C.8 D.10
8.袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的是（ ）
A.公式中的和具有相关关系
B.回归直线必定经过样本点的中心
C.相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强
D.对分类变量与的随机变量来说，越大，判断“与有关系”的把握越大
10.已知正方体的棱长为1，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.平面 B.与平面所成角的余弦值为
C.二面角的正弦值为 D.点到平面的距离为
11.已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设随机变量的分布列为（），则实数的值为______.
13.由数据，，…，可得关于的线性回归方程为，若，则______.
14.已知正方体的棱长为1，，，分别在，，上，并满足（），若是的重心，且，则实数值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，正方体的棱长为2，为的中点，点在上，.
（1）求证：为的中点；
（2）求直线与平面所成角的大小.
16.（15分）
银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.
（1）任意按最后1位数字，求不超过2次就按对密码的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，求不超过2次就按对密码的概率.
17.（15分）
为培养学生的阅读习惯，某学校规定所有学生每天在校阅读时长不得少于1小时.若认为每天在校阅读的时长不少于1小时为达标，达到2小时的学生为“阅读之星”.假设该校学生每天在校阅读时长（的单位：小时），达标学生是“阅读之星”的概率为.
（1）从该校学生中随机选出1人，求达标的概率；
（2）为进一步了解该校学生不达标是否与性别有关，随机调查了90名学生，其中男生占，已知不达标的人数恰是期望值，且不达标的学生中男生占，是否有99%的把握认为不达标与性别有关？
附：参考公式：，其中.
参考数据：
3.841 5.024 6.635 10.828
0.050 0.025 0.010 0.001
18.（17分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设.
①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
19.（17分）
设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，，令，称（，）是二维离散型随机变量的联合分布列.与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：
…
…
…
… … … … …
现有（）个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为，落入第2号盒子中的球的个数为.
（1）当时，求的联合分布列；
（2）设，且，计算.
2023—2024学年度第二学期高二期末适应性考试
数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. B 2. C 3. D 4. A 5. C 6. C 7. B 8. B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. BCD 10. ABD 11. AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.15 13. 50 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）连接.
在正方体中，因为平面，所以.
因为，，所以.
所以.
因为为的中点，所以为的中点.
（2）在正方体中，，，两两互相垂直，
如图建立空间直角坐标系.
则，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则即
令，则.于是.
设直线与平面所成的角为，则
所以直线与平面所成角的大小为30°.
16.（15分）
解：（1）设“不超过2次就按对密码”为事件，“第次按对密码（）”为事件，，
事件与事件互斥，
则
即不超过2次就按对密码的概率为.
（2）设“最后1位密码是偶数”为事件，
则
即如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对密码的概率为.
17.（15分）
解：（1）从该校学生随机选出1人，记其达标为事件，是“阅读之星”为事件.
则，.
因为，所以.
又因为达标学生是“阅读之星”的概率为，
所以，得，
即从该校学生中随机选出1人，达标的概率为.
（2）依题意，随机调查的90名学生中，男生人数为40，女生人数为50.
设这90名学生中，不达标学生人数为.
由（1）知，不达标的概率为，则.
所以数学期望，即不达标的人数为18.
因为不达标学生中有的是男生，所以不达标的男生人数为3，不达标的女生人数为15.
则达标的男生人数为37，达标的女生人数为35.
男生 女生 合计
达标 37 35 72
不达标 3 15 18
合计 40 50 90
所以.
因为，所以有99%的把握认为不达标与性别有关.
18.（17分）
解：（1）在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直角空间坐标系，设，则，由，，，，
则，，，，，
所以，
①设平面的法向量为，由，，得：
，可取
设直线与平面所成角为，
则有：，，
即：，化简得：，
解得或，即或.
②假设在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，
由得，即，
亦即（*），
因为，所以方程（*）无解，
所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上.
19.（17分）
解：（1）可取0，1，2；可取0，1，2，
则，，，
，，
故的联合分布列为：
0 1
0
1 0
2 0 0
（2）当时，，
于是
，
因此，
设服从二项分布，
则.