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【每日一练】浙江省中考数学分类必刷题-解答题篇15
（中考常考、必考题型）
本试卷精选浙江中考近几年各市模拟卷、中考真题卷进行汇编，对选择题、填空题、解答题进行各个击破。
三、解答题：（本大题有8个小题，每小题12分，共96分，解答题需写出必要的文字说明或演算步骤或证明过程）
1．（2024·浙江绍兴·二模）（1）计算：．
（2）解方程：．
2．（2024·浙江杭州·二模）已知周长为（为定值）的矩形的一边长与它的邻边长之间的函数图象如图所示．
(1)直接写出的值和关于的函数表达式；
(2)当为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
3．（2024·浙江温州·二模）小海准备购买一辆新能源汽车，在预算范围内，他打算从甲、乙两款汽车中购买一辆，为此，小海收集了10名消费者对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下：
表一：甲、乙两款汽车的四项得分数据统计表
外观造型 舒适程度 操控性能 售后服务
甲款 7 6 7 8
乙款 7 8 6 7
表二：甲，乙两款汽车的满意度得分统计表（满分10分）
甲款 5 5 6 6 7 8 8 8 8 9
乙款 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9
根据以上信息，解答下列问题：
(1)若小海认为汽车四项的重要程度有所不同，而给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售后服务”四项得分的占比为2：3：3：2，请你帮小海计算甲、乙两款汽车的平均分．
(2)结合（1）的结论和甲、乙两款汽车满意度得分的众数和中位数，你建议小海购买哪款汽车？请详细说明你的理由．
4．（2024·浙江舟山·一模）某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，）
(1)若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米）
(2)若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明．
5．（2024·浙江金华·二模）如图1，已知是的直径，点C为的中点，点D为上一点（不与重合）．连结，，，过点A作，交直线于点E．
(1)当点D在上时，
①求的度数．
②若，，求的值．
(2)如图2，记，作点D关于直径的对称点F，连结，．若为等腰三角形，请直接写出的值（用含a的代数式表示）．
6．（2024·浙江金华·二模）如图，已知四边形是菱形，延长至点E，使．
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
7．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置
设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处．
示意图
已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为
任务一 求水流抛物线的函数表达式；
任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
8．（2024·浙江杭州·一模）【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．
【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由．
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【每日一练】浙江省中考数学分类必刷题-解答题篇15
（中考常考、必考题型）
本试卷精选浙江中考近几年各市模拟卷、中考真题卷进行汇编，对选择题、填空题、解答题进行各个击破。
三、解答题：（本大题有8个小题，每小题12分，共96分，解答题需写出必要的文字说明或演算步骤或证明过程）
1．（2024·浙江绍兴·二模）（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）1；（2）
【分析】本题考查了实数的运算，解分式方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用特殊角的三角函数值，算术平方根，零指数幂分别化简计算即可；
（2）先去分母，移项，合并同类项，再系数化1，最后再检验．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为．
2．（2024·浙江杭州·二模）已知周长为（为定值）的矩形的一边长与它的邻边长之间的函数图象如图所示．
(1)直接写出的值和关于的函数表达式；
(2)当为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)，
(2)矩形的面积最大为
【分析】考查了一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意，正确得出一次函数与二次函数解析式是解此题的关键．
（1）根据矩形的周长公式得出，结合图象当时，，代入计算即可得解；
（2）由题意得出矩形的面积，结合二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：周长为（为定值）的矩形的一边长为与它的邻边长为，
，
由图可得：当时，，
，
，
；
（2）解：矩形的面积，
，
当时，矩形的面积最大为．
3．（2024·浙江温州·二模）小海准备购买一辆新能源汽车，在预算范围内，他打算从甲、乙两款汽车中购买一辆，为此，小海收集了10名消费者对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下：
表一：甲、乙两款汽车的四项得分数据统计表
外观造型 舒适程度 操控性能 售后服务
甲款 7 6 7 8
乙款 7 8 6 7
表二：甲，乙两款汽车的满意度得分统计表（满分10分）
甲款 5 5 6 6 7 8 8 8 8 9
乙款 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9
根据以上信息，解答下列问题：
(1)若小海认为汽车四项的重要程度有所不同，而给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售后服务”四项得分的占比为2：3：3：2，请你帮小海计算甲、乙两款汽车的平均分．
(2)结合（1）的结论和甲、乙两款汽车满意度得分的众数和中位数，你建议小海购买哪款汽车？请详细说明你的理由．
【答案】(1)甲、乙两款汽车的平均分分别为6.9分，7分
(2)选择甲款车，理由见解析
【分析】本题考查了加权平均数，中位数、众数的等知识，解题的关键是：
（1）利用加权平均数的计算方法求解即可；
（2）根据中位数和众数的定义求出甲、乙两款车的满意度得分的众数和中位数，然后结合（1）中所求平均数分析即可．
【详解】（1）解：甲款：，
乙款：，
∴甲、乙两款汽车的平均分分别为6.9分，7分．
（2）解：甲款的中位数为，众数为8，
乙款的中位数为，众数为7，
甲乙两款车的满意度得分的平均数接近，但甲款车的满意度得分中位数和众数都高于乙款车，
故选择甲款车．
4．（2024·浙江舟山·一模）某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，）
(1)若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米）
(2)若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明．
【答案】(1)点距离地面的高度约为米
(2)宽为3米，高为米的货车能安全通过此拦道闸
【分析】本题考查三角函数解直角三角形，特殊角三角函数值．
（1）根据题意过点作于点，过点作于点，再列式求出的长，后即可得到本题答案；
（2）根据题意分别计算出，列式并计算即可得到本题答案．
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，
，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，
（米），
∴（米），
答：点距离地面的高度约为2.5米；
（2）解：根据题意四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，
（米），（米），
∴（米），，
（米），
（米），
，
∴宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸，
答：宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸．
5．（2024·浙江金华·二模）如图1，已知是的直径，点C为的中点，点D为上一点（不与重合）．连结，，，过点A作，交直线于点E．
(1)当点D在上时，
①求的度数．
②若，，求的值．
(2)如图2，记，作点D关于直径的对称点F，连结，．若为等腰三角形，请直接写出的值（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)①；②
(2)的值为或或或
【分析】（1）①利用圆周角定理求得，再证明是等腰直角三角形，求得，据此求解即可；②证明和都是等腰直角三角形，证明，求得，，据此求解即可；
（2）分四种情况讨论，证明是等边三角形，求得直径的长，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，结合等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：①连接，
∵是的直径，
∴，
∵点C为的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：如图，连接，，交于点，连接，
∵，
∴，
∵点D与点F关于直径对称，
∴，
∴，
∵点C为的中点，
∴的度数为，
∴的度数为，的度数为，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，，
由（1）得是等腰直角三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
如图，延长交于点，连接，，直线交于点，连接，
∵，
∴，
∵点D与点F关于直径对称，
∴，
∴，
∵点C为的中点，
∴的度数为，
∴的度数为，的度数为，
∴，
∴是等边三角形，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，
由（1）得是等腰直角三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
如图，延长交于点，连接，，直线交于点，连接，
同理，，，，
∴；
如图，连接，，直线交于点，连接，
同理，，是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
综上，的值为或或或．
6．（2024·浙江金华·二模）如图，已知四边形是菱形，延长至点E，使．
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质：
（1）根据菱形的性质，结合等边对等角得到，，根据三角形的内角和定理，即可得出结果；
（2）连结，交于点O，根据菱形的性质和三角形的中线平分面积推出，即可得出结果．
【详解】（1）菱形，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连结，交于点O，
菱形，
，
，
，
，
，
．
7．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置
设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处．
示意图
已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为
任务一 求水流抛物线的函数表达式；
任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
【答案】任务一：；任务二：不能，见解析；任务三：
【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键．
任务一：由题意得出抛物线的对称轴为：．得出，把点代入抛物线结合求出，，即可得解；
任务二：根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案；
任务三：求出当时的的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案．
【详解】解：任务一、轴，，点为水流抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为：．
，
，
把点代入抛物线得：，
把代入得：．
解得：，
，
∴水流抛物线的函数表达式为：；
任务二、不能，
圆柱形水杯最左端到点O的距离是，
当时，．
，
∴水流不能流到圆柱形水杯内．
任务三、
当时，，
解得：或（不符合题意，舍去），
圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，
，
即．
8．（2024·浙江杭州·一模）【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．
【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由．
【答案】（1）成立，理由见解析（2）四边形的面积面积，理由见解析
【分析】（1）延长交的延长线于点N，取的中点M，连接，证明，推出为的中位线，得到，证明，即可得证；
（2）连接，证明，推出，根据，得到，设，则，求出四边形的面积和的面积即可得出结果．
【详解】解：（1）成立；
理由：延长交的延长线于点N，取的中点M，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形的面积面积．
理由：连接，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴．
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