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【每日一练】浙江省中考数学分类必刷题-解答题篇10
（中考常考、必考题型）
本试卷精选浙江中考近几年各市模拟卷、中考真题卷进行汇编，对选择题、填空题、解答题进行各个击破。
三、解答题：（本大题有7个小题，每小题12分，共84分，解答题需写出必要的文字说明或演算步骤或证明过程）
1．（2024·浙江湖州·一模）（1） 解方程：
（2）解不等式：．
2．（2024·浙江台州·二模）某校为了解七八年级学生对环保知识的掌握情况，组织了一次环保知识竞赛（满分50 分）．已知该校有七年级学生540人，八年级学生600人，分别从两个年级随机抽取部分学生的竞赛成绩，相关数据整理如下：
抽取的八年级学生成绩统计表
成绩 人数（人）
2
2
5
5
6
抽取的七年级学生成绩统计图
抽取的七年级学生竞赛成绩在“30～40”这组的具体成绩（单位：分）是：32，34，36，38．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)抽取的七年级学生竞赛成绩中位数是_____分，抽取的八年级学生竞赛成绩平均数是 ____；
(2)请估计两个年级学生在环保知识竞赛中成绩优秀（40分及以上）的共有多少人？
(3)根据以上数据，你认为哪个年级对环保知识的掌握情况更好？请说明理由．
3．（2024·浙江绍兴·二模）如图1是一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在接下来的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图2所示．
(1)当时，求关于的函数解析式．
(2)当容器内的水量为时，求对应的时间．
(3)每分钟的进水和出水各是多少升？
4．（2024·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，以为直径作半圆，点为半圆上一点，连结并延长交边于点，连结并延长交边于点，连结．
(1)求证：；
(2)当时，求的最小值；
(3)若，求的值．
5．（2024·浙江金华·二模）如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F．
(1)求证：．
(2)已知，．求的长．
6．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数，
(1)若二次函数过点，
①求二次函数的表达式；
②当随的增大而减小时，求的取值范围；
(2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值．
7．（2024·浙江金华·二模）【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置．
生活情境：如图1是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架，及与的端点，，，固定在外墙上，，，与平行，米．图是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为，安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上．
数学活动：数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点，的距离以及支架与夹角（＝），对雨棚进行了重新设计．图是第一小组的设计示意图，其中，，米．如图是第二小组的设想，其中米，，
问题解决：
【任务一】计算第一小组设计的雨棚所需挡雨板的面积．
【任务二】第一小组所设计的雨棚应如何安装？即确定点A的安装位置（结果保留根号）．
【任务三】在第二小组的设想下，拟定了以下2个问题，请你选择其中一个进行探究，并直接写出答案．
问题1：探索的最大值；
问题2：探索最大时的度数．
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【每日一练】浙江省中考数学分类必刷题-解答题篇10
（中考常考、必考题型）
本试卷精选浙江中考近几年各市模拟卷、中考真题卷进行汇编，对选择题、填空题、解答题进行各个击破。
三、解答题：（本大题有7个小题，每小题12分，共84分，解答题需写出必要的文字说明或演算步骤或证明过程）
1．（2024·浙江湖州·一模）（1） 解方程：
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】此题考查了解分式方程以及解一元一次不等式，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集．
【详解】（1）
解：，
经检验，不是增根，
所以原方程的根是．
（2）
解：，
解得．
2．（2024·浙江台州·二模）某校为了解七八年级学生对环保知识的掌握情况，组织了一次环保知识竞赛（满分50 分）．已知该校有七年级学生540人，八年级学生600人，分别从两个年级随机抽取部分学生的竞赛成绩，相关数据整理如下：
抽取的八年级学生成绩统计表
成绩 人数（人）
2
2
5
5
6
抽取的七年级学生成绩统计图
抽取的七年级学生竞赛成绩在“30～40”这组的具体成绩（单位：分）是：32，34，36，38．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)抽取的七年级学生竞赛成绩中位数是_____分，抽取的八年级学生竞赛成绩平均数是 ____；
(2)请估计两个年级学生在环保知识竞赛中成绩优秀（40分及以上）的共有多少人？
(3)根据以上数据，你认为哪个年级对环保知识的掌握情况更好？请说明理由．
【答案】(1)33，30.5
(2)360
(3)七年级对环保知识的掌握情况更好，理由见详解
【分析】本题考查统计表，频数分布直方图，用样本估计总体．
（1）根据统计图，先求出抽取的七年级学生总人数，根据总人数确定中位数的位置再求解即可；计算抽取的八年级学生竞赛成绩平均数时，直接用统计表中的数据代入加权平均数的求法中求解即可，每组数取组中值代表；
（2）先分别估算出七，八年级在环保知识竞赛中成绩优秀（40分及以上）的人数，再求和即可；
（3）分别算出七，八年级优秀即30～40分和低分即0～10分的占比，在进行大小比较即可判断．
【详解】（1）解：由统计图知，抽取的七年级学生总人数为：（人）
中位数是第9，第10个数的平均数
第9，第10个数在“30～40”这组
在“30～40”这组的具体成绩是：32，34，36，38
第9，第10个数分别为：32，34
抽取的七年级学生竞赛成绩中位数是（分）；
根据统计表数知，抽取的八年级学生竞赛成绩平均数是（分）
故答案为：33，30.5；
（2）根据统计图，七年级学生在环保知识竞赛中成绩优秀（40分及以上）的有（人），
根据统计表，八年级学生在环保知识竞赛中成绩优秀（40分及以上）的有（人），
两个年级学生在环保知识竞赛中成绩优秀（40分及以上）的共有（人）；
（3）七年级对环保知识的掌握情况更好，理由如下：
七年级0～10分的占比为：，七年级30～40分的占比为：，
八年级0～10分的占比为：，八年级30～40分的占比为：，
七年级对环保知识的掌握情况更好．
3．（2024·浙江绍兴·二模）如图1是一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在接下来的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图2所示．
(1)当时，求关于的函数解析式．
(2)当容器内的水量为时，求对应的时间．
(3)每分钟的进水和出水各是多少升？
【答案】(1)关于的函数解析式为
(2)对应的时间
(3)每分钟的进水量为，出水量为
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式以及利用函数的性质成为解题的关键．
（1）用待定系数法求对应的函数关系式即可；
（2）求出的自变量取值即可；
（3）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解即可．
【详解】（1）解：当时，设关于的函数解析式为，
，两点在函数图象上，
，．
关于的函数解析式为．
（2）解：当容器内的水量为时，即，由（1）知，
．
对应的时间．
（3）解：每分钟的进水量为．每分钟的出水量为．
每分钟的进水量为，出水量为．
4．（2024·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，以为直径作半圆，点为半圆上一点，连结并延长交边于点，连结并延长交边于点，连结．
(1)求证：；
(2)当时，求的最小值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)的最小值为；
(3)．
【分析】（1）由正方形的性质得，，由是的直径，得，可证明，进而证明，得；
（2）连接、，由，得，，则，由，得，则，所以的最小值为；
（3）取的中点，以为半径作，连接、，则，所以、、、四点都在上，而，则，可证明，，则，所以，则，求得的值为．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
是的直径，
，
，
，
；
（2）解：如图1，连接、，
是的直径，且，
，，
，
，
，
，
的最小值为；
（3）解：如图2，连接，取的中点，以为半径作，连接、，
，
，
、、、四点都在上，
，
，
由（1）得，
，，
，
，
，
整理得，
或（不符合题意，舍去），
，
的值为．
5．（2024·浙江金华·二模）如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F．
(1)求证：．
(2)已知，．求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形性质和判定、勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．
（1）矩形的性质得到，，得到，，根据“”定理证明，再根据全等三角形性质即可解题；
（2）根据矩形的性质和全等三角形性质得到，，由勾股定理易求的长，根据计算即可．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，．
由题意知，，，
，
．
6．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数，
(1)若二次函数过点，
①求二次函数的表达式；
②当随的增大而减小时，求的取值范围；
(2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)8
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．
（1）①直接用待定系数法将点代入求出即可；②将二次函数解析式化为顶点式即可判断出当随的增大而减小时，的取值范围；
（2）先求出抛物线的对称轴为，再根据点 和点关于对称轴对称，得，求出，把点代入，用含的式子表示出，最后代入中即可．
【详解】（1）解：①二次函数过点
二次函数的表达式为；
②
时，随的增大而减小
即当随的增大而减小时，的取值范围为；
（2）二次函数
抛物线的对称轴为
点 和点关于对称轴对称
把点代入得
解得
.
7．（2024·浙江金华·二模）【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置．
生活情境：如图1是安装在外墙上的挡雨棚．矩形为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架，及与的端点，，，固定在外墙上，，，与平行，米．图是其侧面示意图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为，安装挡雨棚时需考虑：在一般风力下，确保雨滴不落在墙面（不包括）上．
数学活动：数学学习小组通过研究支架、的长度，支架端点，的距离以及支架与夹角（＝），对雨棚进行了重新设计．图是第一小组的设计示意图，其中，，米．如图是第二小组的设想，其中米，，
问题解决：
【任务一】计算第一小组设计的雨棚所需挡雨板的面积．
【任务二】第一小组所设计的雨棚应如何安装？即确定点A的安装位置（结果保留根号）．
【任务三】在第二小组的设想下，拟定了以下2个问题，请你选择其中一个进行探究，并直接写出答案．
问题1：探索的最大值；
问题2：探索最大时的度数．
【答案】任务一：平方米；任务二：点应安装在与点的距离不高于米处；任务三：的最大值为米，＝
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质；
任务一：过点作于点 根据题意可得，进而得出，即可求解；
任务二：当时 此时最大 如图在中，得出在中,得出，即可求解．
任务三：由任务二可得时，最大，以为斜边作等腰，则点的运动轨迹为，当与相切时，最大，根据四边形内角和定理以及圆周角定理，可得，进而过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，分别求得，根据，即可求解．
【详解】任务一: 过点作于点
由得，
，
在中 ，
∴，
；
所以所需挡雨板面积为 平方米；
任务二 当时，此时最大，如图在中，
∵在中,
此时：
点A应安装在与点的距离不高于 米处；
任务三：问题1：的最大值为 米
问题2：
由任务二可得时，最大，
以为斜边作等腰，则点的运动轨迹为，
当与相切时，最大，此时如图所示，，
∵等腰，
∴，则
四边形中，
∴
如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，
则四边形是矩形，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
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