江苏省苏州大学实验学校2024届高三下学期高考考前数学指导卷(含答案)

苏州大学2024届高考考前指导卷
数学
2024.5
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若随机变量，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量与的夹角为，，设在上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
4.德国心理学家赫尔曼·艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中的记忆率随时间（小时）的变化趋势可由函数近似描述，则记忆率由50%变为40%时需要经历的时间约为（参考数据：，）
A.1小时 B.0.5小时 C.0.8小时 D.0.4小时
5.已知等比数列的公比，前项和为，，，则（ ）
A.2 B.3 C.6 D.10
6.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于，两点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.在长方体中，已知，，，点为底面内一点，若和底面所成角与二面角的大小相等，点在底面的投影为点，则三棱锥体积的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.任何一个复数（，，为虚数单位）都可以表示成（，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：（），我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有（ ）
A.复数的三角形式为
B.当，时，
C.当，时，
D.当，时，“为偶数”是“为纯虚数”的充分不必要条件
10.已知在边长为2的菱形中，，现将菱形沿对角线折成空间四边形，使得，设，，分别为棱，，的中点，则（ ）
A.平面平面 B.直线与所成角的余弦值为
C.四面体的体积为 D.四面体外接球的表面积为
11.已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A.若，则的值域为
B.若，则过原点有且仅有一条直线与曲线相切
C.存在，使得有三个零点
D.若，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.现要安排6名大四学生（其中4名男生、2名女生）到，，三所学校实习，每所学校2人，若男生甲不安排到学校，2名女生必须安排到不同的学校且不安排到学校，则不同的安排方法共有______种.（用数字作答）
13.截面惯性矩是衡量截面抗弯能力的一个几何参数，若截面图形为矩形，则，其中为矩形的宽，为矩形的高.某木器厂要加工如图所示的长方体实木梁，已知该实木梁的截面图形为矩形，且矩形外接圆的直径为，要使该截面的惯性矩最大，则矩形对应的高应为______.
14.已知函数（）的图象关于直线对称，若存在，，…，，使得（其中，），则的最小值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
16.（15分）
如图，在三棱锥中，已知，，，，，.
（1）若为的中点，求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17.（15分）
已知函数在区间内有两个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围.
18.（17分）
在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）已知点，不过的直线与交于，两点，直线，，的斜率依次成等比数列，求到距离的取值范围.
19.（17分）
设集合（），为的非空子集，随机变量，分别表示取到子集中的最大元素和最小元素的数值.
（1）若的概率为，求；
（2）若，求且的概率；
（3）求随机变量的均值.
苏州大学2024届高考考前指导卷
数学（参考答案）
2024.5
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B B D A D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
题号 9 10 11
答案 BC AC ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.18 13. 14.7
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15.（13分）
解：（1）因为，
所以（），
所以（），
又，所以.
（2）因为，
所以
.
16.（15分）
解：（1）过作面，垂足为，连接，，，
因为，，，所以，所以.
因为面，面，所以.
又因为，，所以面.
因为面，所以.
同理.
又因为，所以四边形为矩形.
在矩形中，，所以，所以.
又因为，，所以.
因为面，面，所以，，
所以面，面，所以.
（2）因为，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由，得.
由，，，
得，，
，.
设为平面的一个法向量，
取，则.
设为平面的一个法向量，
取，则.
设平面与平面夹角为，，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17.（15分）
解：（1）令，则，
设函数在区间内的两个极值点为，（），则，
所以解得.
此时，，列表如下：
＋ 0 － 0 ＋
极大值 极小值
所以.
（2）因为，所以
.
由，得，且，
所以.
设，，令，
则，所以在上单调递减，
从而，即，
所以实数的取值范围是.
18.（17分）
解：（1）设，由题意得，
化简得，所以：.
（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为（），，.
联立得. ，
所以
因为，即，所以，
所以，又，所以，
所以，所以.
所以点到直线的距离，
令，则，
代入，即，解得.
所以，.
当时，恒成立，
所以在区间单调递增，
所以，即点到直线的距离的取值范围为.
19.（17分）
解：（1）的非空子集的个数为，
所以，
解得，即.
（2）当集合中的最大元素和最小元素为9，2，
元素个数最少时，元素个数最多时为8元素集，
所以集合的可能情况有个；
当时，集合的非空子集个数为个；
所以.
（3）集合的非空子集共有个，
其中，最大值为的子集可视为的子集与集合的并集，共有个；
同上可知，为的子集共有个，为的子集共有个，…，为1的子集共有个，所以.
最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集，共有个；
同理，为2的子集共有个，为3的子集共有个，…，为的子集共有个，
所以.
所以
，
即随机变量的均值为.