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专题03 变量之间的关系（考点过关）
【考点1】变量与常量
【考点2】函数的表示方法
【考点3】函数关系式
【考点4】函数图像
【考点6】动点问题的函数图像
【考点7】分段函数
【题型1】变量与常量
1．（2023春 浦北县期末）在圆的周长公式C＝2πr中，常量是（ ）
A．C，π B．C，r C．π，r D．2π
【答案】D
【解答】解：在圆周长的计算公式C＝2πr中，变量有C和r，常量为2π，
故选：D．
2．（2023春 凤翔县期末）某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（ ）
A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量
C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量
【答案】C
【解答】解：n＝，其中n、t为变量，100为常量．
故选：C．
3．（2023春 仓山区校级期末）一本笔记本5元，买x本共付y元，在这个过程中，变量是（ ）
A．5和x B．5和y C．x和y D．5，x和y
【答案】C
【解答】解：一本笔记本5元，买x本共付y元，在这个过程中，变量是买的本数x本和所付的金额y元，
故选：C．
4．（2023春 莱州市期末）如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，下面的量是常量的为（ ）
A．∠BAC的度数 B．AB的长度
C．BC的长度 D．△ABC的面积
【答案】B
【解答】解：把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，常量为AB的长度，
故选：B．
【题型2】函数的表示方法
5．（2023春 青县期末）在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板不同高度h的下滑时间t，得到如表所示的数据．下列结论不正确的是（ ）
木板的支撑物高h（cm） 10 20 30 40 50 …
下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
A．这个问题中，木板的支撑物高是自变量
B．当h＝40cm时，t约为2.66秒
C．随高度增加，下滑时间越来越短
D．高度每增加10cm，时间就会减少0.24秒
【答案】D
【解答】解：根据表格可知，木板的支撑物高是自变量，下滑时间是因变量，
∴A选项正确；
∵从表中的对应值可以看到当h＝40时，t＝2.66，
∴B选项正确；
∵当h＝40时，t＝2.66，
∴B选项正确；
∵从表中数据看到：当h由10逐渐增大到50时，t的值由3.25逐渐减小到2.56，
∴随高度增加，下滑时间越来越短．
∴C选项正确；
∵因为时间的减少是不均匀的，
∴D选项错误．
综上，只有D选项错误，
故选：D．
6．（2023春 历城区期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速/（m/s） 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声速为342m/s
D．当温度每升高10℃，声速增加8m/s
【答案】D
【解答】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A说法正确，不符合题意；
∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢，温度越高，声速越快，
∴选项B说法正确，不符合题意；
由列表可知，当空气温度为20℃时，声速为342m/s，
∴选项C说法正确，不符合题意；
∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6（m/s），348﹣342＝6（m/s），
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，
∴选项D说法不正确，符合题意；
故选：D．
7．（2023春 芝罘区期末）某地区用电量与应缴电费之间的关系如表：则下列叙述错误的是（ ）
用电量（千瓦 时） 1 2 3 4 …
应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 …
A．用电量是自变量，应缴电费是因变量
B．用电量每增加1千瓦 时，电费增加0.55元
C．若用电量为5千瓦 时，则应缴电费2.75元
D．若小明的应缴电费比小红多2元，则小明的用电量比小红的用电量多1.1千瓦 时
【答案】D
【解答】解：设用电量为x，应交电费为y，由图表信息可知：y＝0.55x，
A，用电量是自变量，应缴电费是因变量．正确，不符合题意；
B，用电量每增加1千瓦 时，电费增加0.55元．正确，不符合题意；
C，若用电量为5千瓦 时，则应缴电费2.75元．正确，不符合题意；
D，若小明的应缴电费比小红多2元，则小明的用电量比小红的用电量多＝千瓦 时．不正确，符合题意．
故选：D．
8．（2023春 余江区期末）某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下表所示：
支撑物高度h（cm） 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59
根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（ ）
A．支撑物的高度为40cm，小车下滑的时间为2.13s
B．支撑物的高度h越大，小车下滑时间t越小
C．若小车下滑的时间为2s，则支撑物的高度在40cm至50cm之间
D．若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑的时间每次至少减少0.5s
【答案】D
【解答】解：A、由图表可知，当h＝40cm时，t＝2.13s，故A不符合题意；
B、支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小，故B不符合题意；
C、若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40cm至50cm之间，故C不符合题意；
D、若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑的时间每次不一定减少0.5s，故D符合题意．
故选：D．
9．（2023春 凤翔县期末）某剧院观众的座位数按下列方式设置：
排数（x） 1 2 3 4 ……
座位数（y） 30 33 36 39 ……
根据表格中两个变量之间的关系，当x＝8时y的值为（ ）
A．49 B．51 C．53 D．55
【答案】B
【解答】解：当x＝1时，y＝30，
当x＝2时，y＝30+3，
当x＝3时，y＝30+3×2，
当x＝4时，y＝30+3×3，
∴当x＝8时，y＝30+3×7＝51，
故选：B．
【题型3】函数关系式
10．（2023春 馆陶县期末）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x2+16 B．y＝（x+4）2 C．y＝x2+8x D．y＝16﹣4x2
【答案】C
【解答】解：∵新正方形边长是x+4，原正方形边长是4，
∴新正方形面积是（x+4）2，原正方形面积是16，
∴增加的面积y＝（x+4）2﹣16
即y＝x2+8x
故选：C．
11．（2023春 邻水县期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：
摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122
根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（ ）
A． B．y＝x+32 C．y＝x+40 D．
【答案】A
【解答】解：根据表中的对应关系，可知y＝x+32＝，
∴y＝，
故选：A．
12．（2023春 绥德县期末）一根高18厘米的蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）（0≤t≤6）的关系如表，已知平均每小时蜡烛燃掉3厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）（0≤t≤6）之间的关系式是（ ）
燃烧时间t（时） 0 1 2 3 4
剩余的高度h（厘米） 18 15 12 9 6
A．h＝18﹣t B．h＝18+t C．h＝18﹣3t D．h＝18+3t
【答案】C
【解答】解：∵蜡烛点燃后平均每小时燃掉3厘米，
∴t小时燃掉3t厘米，
由题意知：h＝18﹣3t
故选：C．
13．（2023春 芝罘区期末）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，x节链条总长度为y cm，则y关于x的函数关系式是 y＝1.8x+1 ．
【答案】y＝1.8x+1．
【解答】解：由题意得：
1节链条的长度＝2.8cm，
2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴x节链条总长度y＝[2.8+（2.8﹣1）×（x﹣1）]＝（1.8x+1）（cm），
故答案为：y＝1.8x+1．
【题型4】函数图像
14．（2023秋 玄武区期末）如图，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过5分钟漏完，则该沙漏中沙面下降的高度h（cm）与下漏时间t（min）之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，则相同时间内，玻璃球内的含沙量Q的减少量相同，
从计时器开始计时到计时5min止，则该沙漏中沙面下降的高度逐渐增大，且增大的速度由慢变快，故选项B的图象符合题意．
故选：B．
15．（2023春 开州区校级期中）周末，小陈出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息：下列说法正确的是（ ）
A．小陈去时的速度为6千米/小时
B．小陈在超市停留了15分钟
C．小陈去时花的时间少于回家所花的时间
D．小陈去时走下坡路，回家时走上坡路
【答案】A
【解答】解：∵小陈去时的路程为2千米，时间为20分钟＝小时，
∴小陈去时的为＝6（千米/小时），故A选项正确，符合题意；
小陈在超市停留的时间为30﹣20＝10（分钟），故B选项错误，不符合题意；
小陈去超市所花的时间为20分钟，回家所花的时间为40﹣30＝10（分钟），
∵20＞10，
∴小除去时花的时间多于回家所花的时间，故C选项错误，不符合题意；
∵函数图象表示的是距离和时间的关系，
∴不能判断出小陈去时走下坡路，回家时走上坡路，故D选项错误，不符合题意．
故选：A．
16．（2023 龙江县三模）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似地刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）的变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵刚开始时注水都在甲容器，水面高度h增长速度不变；
当甲容器中水位到达连通部分后注水开始流向乙容器，此时甲容器的水面高度h（cm）不变；
当乙容器水位也到达连通部分后，甲、乙两容器中水位同时上升，此时水面高度h（cm）上升但速度比开始时慢，
∴选项A中图象符合该变化过程，
故选：C．
17．（2022秋 金寨县期末）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为100米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为1050米．
其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．①④
【答案】A
【解答】解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；
火车的长度是150米，故①错误；
整个火车都在隧道内的时间是：35﹣5﹣5＝25秒，故③正确；
隧道长是：35×30﹣150＝1050﹣150＝900米，故④错误．
故正确的是：②③．
故选：A．
18．（2023秋 成武县期末）已知琳琳家、药店、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去药店买了酒精和口罩，又步行到邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）琳琳家离药店的距离为 2.5 km；
（2）琳琳邮寄物品用了 20 min；
（3）求琳琳从邮局走回家的速度是多少？
【答案】（1）2.5；
（2）20；
（3）琳琳从邮局走回家的速度是60m/min．
【解答】解：（1）由所给图象可知，
药店离琳琳家2.5km，琳琳用了15min走到药店；
因为30﹣15＝15（min），
所以琳琳在药店停留了15min；
因为2.5﹣1.5＝1（km），45﹣30＝15（min），
所以药店距邮局1km，琳琳走了15min；
因为65﹣45＝20（min），
所以琳琳在邮局停留了20min；
因为1.5﹣0＝1.5（km），90﹣65＝25（min），
所以邮局离琳琳家1.5km，琳琳走了25min．
故答案为：2.5．
（2）由（1）知，
琳琳在邮局停留了20min，
即琳琳邮寄物品用了20min．
故答案为：20．
（3）由（1）知，
邮局离琳琳家1.5km，琳琳走了25min，
所以1500÷25＝60（m/min），
故琳琳从邮局走回家的速度是60m/min．
【题型6】动点问题的函数图像
19．（2023秋 泾阳县期末）如图①，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B﹣C﹣D﹣A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．108cm2 B．54cm2 C．48cm2 D．36cm2
【答案】C
【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，
当点P在点B，C之间运动时，△ABP的面积随时间t的增大而增大，
由图2知，当t＝3时，点P到达点C处，
∴BC＝2×3＝6（cm）；
当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
由图2可知，点P从点C运动到点D所用时间为7﹣3＝4（s），
∴CD＝2×4＝8（cm），
∴长方形ABCD面积＝BC×CD＝6×8＝48（cm2），
故选：C．
20．（2023秋 大埔县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P从顶点D出发沿正方形的边运动，路线是D→C→B→A，设P点经过的路程为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解；当点P由点D向点C运动时，y随着x的增大而增大，最大值为8，此时x＝4，故排除B和D；
当点P在CB上运动时，y＝AD DC＝×4×4＝8，即当4≤x≤8时，y＝8，值不变，故排除C；
故选：A．
21．（2023春 曲阜市期末）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．36
【答案】A
【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5，
∴AB＝5，BC＝4，
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝18．
故选：A．
22．（2023春 兴宾区期末）如图，在矩形ABCD中，动点P从B点开始沿B→A→D→C的路径匀速运动到C点停止，在这个过程中，△PBC的面积S随时间t变化的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：当点P在AB上，S＝BC×PB，则随t的增大，S逐渐增大；
当点P在AD上，S＝BC×AB，则S是定值；
当点P在CD上，S＝BC×CP，则随t的增大，S逐渐减小；
故选：B．
23．（2023春 黄岩区期末）已知动点P在图1所示的多边形（各个角为直角）的边上运动，从点A开始按顺时针方向走一圈回到点A，速度为每秒1个单位长度．△ABP的面积随着时间t（秒）的变化如图2所示，则这个过程中，点P走过的路程为（ ）
A．28 B．14 C．20 D．19
【答案】A
【解答】解：由题知，
根据图2，当0≤t≤6时，
即点P在AB上运动，又点P的速度为每秒1个单位长度，
所以AB＝6．
由图2可知，当点P在CD上运动时，△ABP的面积恒为9，
则，
所以BC＝3．
又当a≤t≤a+5时，
即点P在FG上运动，
所以FG＝a+5﹣a＝5．
又CD+EF+GK＝AB＝6，DE+AK＝BC+FG＝3+5＝8，
所以图1中多边形的周长为：2×（6+8）＝28．
即点P走过的路程为28．
故选：A．
24．（2023春 招远市期末）如图1所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示，下列说法正确的是（ ）
A．AB＝10 B．BC＝2 C．CD＝12 D．DE＝4
【答案】B
【解答】解：由图知，点P从点A到点B运动了4秒，
则AB＝4×1＝4；点P从点B到点C运动了2秒，
则BC＝2×1＝2；
∵点P从点C到点D运动了6秒，
∴CD＝6×1＝6；
∵点P从点D到点E运动了3秒，
∴DE＝3×1＝3；
所以正确的是B，
故选：B．
25．（2023春 启东市期末）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图（2）所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．15 B．16 C．20 D．36
【答案】A
【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＞3时，y不发生变化，说明BC＝3，x＝8时，接着变化，说明CD＝8﹣3＝5，
∴AB＝5，BC＝3，
长方形ABCD的面积是：5×3＝15，
故选：A．
26．（2023春 蓬莱区期中）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，M为最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解答】解：由图得，当点P运动到点C和店A处时，BP长都是5，即BC＝BA＝5，
当BP最短时，即BP垂直AC时长为4，
如图，
在Rt△BCP中，
∵BC＝5，BP＝4，
∴PC＝3，
∵BC＝BA，BP⊥AC，
∴CP＝AP＝3，
∴AC＝6，
∴S△ABC＝AC BP＝×6×4＝12．
故选：C．
27．（2023春 宣化区期中）如图①，在长方形ABCD中，动点P从A出发，匀速沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x．△PAB面积为y，若y与x的函数图象如图②所示，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．36 B．60 C．72 D．81
【答案】B
【解答】解：由题意及图②可知：AB＝6，BC＝16﹣6＝10，
∴长方形ABCD的面积为6×10＝60．
故选：B．
28．（2023春 中江县期末）如图①所示，正方形ABCD边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形边上沿A→B→C→D运动，设运动时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），如图②表示△APD的面积随着点P的运动时间变化的函数图象，△APD的面积为10cm2时，t的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解答】解：点P在AB上时，△APD的面积；
点P在BC时，△APD的面积S＝；
点P在CD上时，PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，∧APD的面积S＝＝90﹣6t，
∴当0≤t≤6时，S＝3t，△APD的面积为10cm2，
即S＝10 时，3t＝10，
解得，
当12≤t≤15时，90﹣6t＝10，
解得，
∴当t为或时，△APD的面积为10cm2．
故选：D．
29．（2023春 渠县期末）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（ ）
①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解答】解：当点H在AB上时，如图所示，
AH＝xt （cm），
S△HAF＝×AF×AH＝4xt（cm2），
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在BC上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝AB，
∴S△HAF＝×AF×AB，此时三角形面积不变，
当点H在CD上时，如图所示，HP是△HAF的高，C，D，P三点共线，
S△HAF＝×AF×HP，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在DE上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝EF，
S△HAF＝×AF×EF，此时三角形面积不变，
当点H在EF时，如图所示，
S△HAF＝×AF×HF，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得0≤t≤5时，点H在AB上，
S△HAF＝4xt＝4 5x＝40（cm2），
∴x＝2，AB＝2×5＝10（cm），
∴动点H的速度是2cm/s，
故①正确，
5≤t≤8时，点H在BC上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时8﹣5＝3（s），
∴BC＝2×3＝6（cm），
故②错误，
8≤t≤12时，当点H在CD上，三角形面积逐渐减小，
∴动点H由点C运动到点D共用时12﹣8＝4（s），
∴CD＝2×4＝8（cm），
∴EF＝AB﹣CD＝10﹣8＝2（cm），
在D点时，△HAF的高与EF相等，即HP＝EF，
∴S△HAF＝×AF×EF＝×8×2＝8（cm2），
故③正确，
12≤t≤b，点H在DE上，DE＝AF﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴动点H由点D运动到点E共用时2÷2＝1（s），
∴b＝12+1＝13，
故④错误．
当△HAF的面积是30cm2时，点H在AB上或CD上，
点H在AB上时，S△HAF＝4xt＝8t＝30（cm2），
解得t＝3.75（s），
点H在CD上时，
S△HAF＝×AF×HP＝×8×HP＝30（cm2），
解得HP＝7.5（cm），
∴CH＝AB﹣HP＝10﹣7.5＝2.5（cm），
∴从点C运动到点H共用时2.5÷2＝1.25（s），
由点A到点C共用时8s，
∴此时共用时8+1.25＝9.25（s），
故⑤错误．
故选：A．
【题型7】分段函数
30．（2022 兴山县一模）在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：
信件质量m/g 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80
邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80
某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（ ）
A．4.80 B．3.60 C．2.40 D．1.20
【答案】D
【解答】解：由题可得，当0＜m≤20时，邮资y＝1.20元，
∴同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是1.20元，
故选：D．
31．（2023秋 成武县期末）某地市话的收费标准为：
（1）通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费0.3元；
（2）通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.11元计算．
在一次通话中，如果通话时间超过3分钟，那么话费y（元）与通话时间x（分）之间的关系式为 y＝0.11x﹣0.03 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：超过3分钟的话费为0.11×（x﹣3），通话时间超过3分钟，
话费y（元）与通话时间x（x取整数，单位：分钟）之间的函数关系式为y＝0.3+0.11（x﹣3）＝0.11x﹣0.03．
故答案为：y＝0.11x﹣0.03．
32．（2023春 渭滨区期末）某市出租车的收费标准是：3千米以内（包括3千米）收费5元，超过3千米，每增加1千米加收1.2元，则路程x（x≥3）时，车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为： y＝1.2x+1.4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得出：当0＜x≤3时，y＝5
当x＞3时，y＝5+（x﹣3）×1.2
＝5+1.2x﹣3.6
＝1.2x+1.4，
故答案为：y＝1.2x+1.4．
33．（2022秋 辉县市期末）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．
列表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y 1 2 1 0 1 2
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线．
得到该分段函数的图象．
（1）在平面直角坐标系中完成函数图象；
（2）此函数图象与y轴的交点坐标为 （0，1） ；
（3）点在函数图象上，则y1 ＜ y2；（填“＞”“＝”或“＜”）
（4）写出该分段函数的一条性质： 当x＞1时，y随x的增大而增大 ；
（5）若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，则a的取值范围是 0＜a＜2 ．
【答案】（1）见解析；
（2）（0，1）；
（3）＜；
（4）当x＞1时，y随x的增大而增大．（答案不唯一，合理即可）；
（5）0＜a＜2．
【解答】解：（1）如图所示，
（2）根据图象得，此函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），
故答案为：（0，1）；
（3）根据函数图象得，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而减小，
∵﹣5＜﹣1，，
∴y1＜y2，
故答案为：＜；
（4）根据函数图象得，当x＞1时，y随x的增大而增大；
（5）根据函数图象得，当0＜a＜2时，直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，
故答案为：0＜a＜2．
34．（2022春 永年区校级期中）为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m3的部分每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（m3），应交水费为y（元）．
（1）写出用水未超过7m3时，y与x之间的函数关系式；
（2）写出用水多于7m3时，y与x之间的函数关系式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）未超出7立方米时：y＝x×（1+0.2）＝1.2x；
（2）超出7立方米时：y＝7×1.2+（x﹣7）×（1.5+0.4）＝1.9x﹣4.9．
35．（2022秋 永春县校级期中）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：
①如果不超过500元，则不予优惠；
②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；
③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．
促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款多少元．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意知付款480元，实际标价为480或480×＝600元，
付款520元，实际标价为520×＝650元，
①当小红买标价为480元，她母亲买标价为650元时，总买标价480+650＝1130元，
应付款：800×0.8+（1130﹣800）×0.6＝838元．
②当小红买标价为600元，她母亲买标价为650元时，总买标价600+650＝1250元，
应付款：800×0.8+（1250﹣800）×0.6＝910元．
答：她们总共只需付款838元或910元．
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专题03 变量之间的关系（考点过关）
【考点1】变量与常量
【考点2】函数的表示方法
【考点3】函数关系式
【考点4】函数图像
【考点6】动点问题的函数图像
【考点7】分段函数
【题型1】变量与常量
1．（2023春 浦北县期末）在圆的周长公式C＝2πr中，常量是（ ）
A．C，π B．C，r C．π，r D．2π
2．（2023春 凤翔县期末）某人要在规定的时间内加工100个零件，如果用n表示工作效率，用t表示规定的时间，下列说法正确的是（ ）
A．数100和n，t都是常量 B．数100和n都是变量
C．n和t都是变量 D．数100和t都是变量
3．（2023春 仓山区校级期末）一本笔记本5元，买x本共付y元，在这个过程中，变量是（ ）
A．5和x B．5和y C．x和y D．5，x和y
4．（2023春 莱州市期末）如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，下面的量是常量的为（ ）
A．∠BAC的度数 B．AB的长度
C．BC的长度 D．△ABC的面积
【题型2】函数的表示方法
5．（2023春 青县期末）在实验课上，小亮利用同一块木板，测量了小车从木板不同高度h的下滑时间t，得到如表所示的数据．下列结论不正确的是（ ）
木板的支撑物高h（cm） 10 20 30 40 50 …
下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 …
A．这个问题中，木板的支撑物高是自变量
B．当h＝40cm时，t约为2.66秒
C．随高度增加，下滑时间越来越短
D．高度每增加10cm，时间就会减少0.24秒
6．（2023春 历城区期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速/（m/s） 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声速为342m/s
D．当温度每升高10℃，声速增加8m/s
7．（2023春 芝罘区期末）某地区用电量与应缴电费之间的关系如表：则下列叙述错误的是（ ）
用电量（千瓦 时） 1 2 3 4 …
应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 …
A．用电量是自变量，应缴电费是因变量
B．用电量每增加1千瓦 时，电费增加0.55元
C．若用电量为5千瓦 时，则应缴电费2.75元
D．若小明的应缴电费比小红多2元，则小明的用电量比小红的用电量多1.1千瓦 时
8．（2023春 余江区期末）某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下表所示：
支撑物高度h（cm） 10 20 30 40 50 60 70
小车下滑时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59
根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（ ）
A．支撑物的高度为40cm，小车下滑的时间为2.13s
B．支撑物的高度h越大，小车下滑时间t越小
C．若小车下滑的时间为2s，则支撑物的高度在40cm至50cm之间
D．若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑的时间每次至少减少0.5s
9．（2023春 凤翔县期末）某剧院观众的座位数按下列方式设置：
排数（x） 1 2 3 4 ……
座位数（y） 30 33 36 39 ……
根据表格中两个变量之间的关系，当x＝8时y的值为（ ）
A．49 B．51 C．53 D．55
【题型3】函数关系式
10．（2023春 馆陶县期末）正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y＝x2+16 B．y＝（x+4）2 C．y＝x2+8x D．y＝16﹣4x2
11．（2023春 邻水县期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值，右边是用华氏温度表示的温度值，下表是这两个温度值之间的部分对应关系：
摄氏温度值x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度值y/℉ 32 50 68 86 104 122
根据以上信息，可以得到y与x之间的关系式为（ ）
A． B．y＝x+32 C．y＝x+40 D．
12．（2023春 绥德县期末）一根高18厘米的蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）（0≤t≤6）的关系如表，已知平均每小时蜡烛燃掉3厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）（0≤t≤6）之间的关系式是（ ）
燃烧时间t（时） 0 1 2 3 4
剩余的高度h（厘米） 18 15 12 9 6
A．h＝18﹣t B．h＝18+t C．h＝18﹣3t D．h＝18+3t
13．（2023春 芝罘区期末）如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，x节链条总长度为y cm，则y关于x的函数关系式是 ．
【题型4】函数图像
14．（2023秋 玄武区期末）如图，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过5分钟漏完，则该沙漏中沙面下降的高度h（cm）与下漏时间t（min）之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023春 开州区校级期中）周末，小陈出去购物；如图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的关系图象，根据图示信息：下列说法正确的是（ ）
A．小陈去时的速度为6千米/小时
B．小陈在超市停留了15分钟
C．小陈去时花的时间少于回家所花的时间
D．小陈去时走下坡路，回家时走上坡路
16．（2023 龙江县三模）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，则下面可以近似地刻画甲容器的水面高度h（cm）随时间t（分）的变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022秋 金寨县期末）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为100米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为1050米．
其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．①④
18．（2023秋 成武县期末）已知琳琳家、药店、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去药店买了酒精和口罩，又步行到邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）琳琳家离药店的距离为 km；
（2）琳琳邮寄物品用了 min；
（3）求琳琳从邮局走回家的速度是多少？
【题型6】动点问题的函数图像
19．（2023秋 泾阳县期末）如图①，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B﹣C﹣D﹣A方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为y（cm2），若y关于t的函数图象如图②所示，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．108cm2 B．54cm2 C．48cm2 D．36cm2
20．（2023秋 大埔县期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P从顶点D出发沿正方形的边运动，路线是D→C→B→A，设P点经过的路程为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
21．（2023春 曲阜市期末）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．36
22．（2023春 兴宾区期末）如图，在矩形ABCD中，动点P从B点开始沿B→A→D→C的路径匀速运动到C点停止，在这个过程中，△PBC的面积S随时间t变化的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2023春 黄岩区期末）已知动点P在图1所示的多边形（各个角为直角）的边上运动，从点A开始按顺时针方向走一圈回到点A，速度为每秒1个单位长度．△ABP的面积随着时间t（秒）的变化如图2所示，则这个过程中，点P走过的路程为（ ）
A．28 B．14 C．20 D．19
24．（2023春 招远市期末）如图1所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示，下列说法正确的是（ ）
AB＝10 B．BC＝2 C．CD＝12 D．DE＝4
25．（2023春 启东市期末）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图（2）所示，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．15 B．16 C．20 D．36
26．（2023春 蓬莱区期中）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，M为最低点，则△ABC的面积是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
27．（2023春 宣化区期中）如图①，在长方形ABCD中，动点P从A出发，匀速沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x．△PAB面积为y，若y与x的函数图象如图②所示，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．36 B．60 C．72 D．81
28．（2023春 中江县期末）如图①所示，正方形ABCD边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形边上沿A→B→C→D运动，设运动时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），如图②表示△APD的面积随着点P的运动时间变化的函数图象，△APD的面积为10cm2时，t的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
29．（2023春 渠县期末）已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下列说法正确的有几个（ ）
①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型7】分段函数
30．（2022 兴山县一模）在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：
信件质量m/g 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80
邮资y/元 1.20 2.40 3.60 4.80
某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（ ）
A．4.80 B．3.60 C．2.40 D．1.20
31．（2023秋 成武县期末）某地市话的收费标准为：
（1）通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费0.3元；
（2）通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.11元计算．
在一次通话中，如果通话时间超过3分钟，那么话费y（元）与通话时间x（分）之间的关系式为 ．
32．（2023春 渭滨区期末）某市出租车的收费标准是：3千米以内（包括3千米）收费5元，超过3千米，每增加1千米加收1.2元，则路程x（x≥3）时，车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为： ．
33．（2022秋 辉县市期末）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．
列表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y 1 2 1 0 1 2
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线．
得到该分段函数的图象．
（1）在平面直角坐标系中完成函数图象；
（2）此函数图象与y轴的交点坐标为 ；
（3）点在函数图象上，则y1 y2；（填“＞”“＝”或“＜”）
（4）写出该分段函数的一条性质： ；
（5）若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，则a的取值范围是 ．
34．（2022春 永年区校级期中）为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7m3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m3的部分每立方米收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（m3），应交水费为y（元）．
（1）写出用水未超过7m3时，y与x之间的函数关系式；
（2）写出用水多于7m3时，y与x之间的函数关系式．
35．（2022秋 永春县校级期中）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：
①如果不超过500元，则不予优惠；
②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；
③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．
促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款多少元．
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