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专题02 相交线与平行线（考点过关）
【考点1】余角和补角
【考点2】对顶角﹑邻补角
【考点3】点到直线的距离
【考点4】垂线
【考点6】垂线段最短
【考点7】三线八角
【考点8】平行线有关定义
【考点9】平行线的判定
【考点10】平行线的性质
【考点11】平行线的判定与综合
【考点12】尺规作图
【题型1】余角和补角
1．（2023秋 屯昌县期末）如果一个角的余角是50°，那么这个角的度数是（ ）
A．130° B．40° C．90° D．140°
【答案】B
【解答】解：∵一个角的余角是50°，
∴这个角为90°﹣50°＝40°．
故选：B．
2．（2023秋 浑南区期末）如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若∠AOC＝120°，则∠BOD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝120°﹣90°30°，
∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°．
故选：D．
3．（2023秋 长沙期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α＝∠β的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：第1个图中，∠α＝∠β＝45°，符合题意；
第2个图中，根据同角的余角相等，∠α＝∠β，且∠α与∠β均为锐角，符合题意；
第3个图中，根据三角尺的特点和摆放位置得：∠α+45°＝180°，∠β+45°＝180°，
∴∠α＝∠β，符合题意；
第4个图中，根据图形可知∠α与∠β是邻补角，
∴∠α+∠β＝180°，不符合题意；
综上，∠α＝∠β的图形有3个．
故选：C．
4．（2023秋 柘城县期末）如图，利用工具测量角，有如下4个结论：
①∠AOC＝90°；
②∠AOB＝∠BOC；
③∠AOB与∠BOC互为余角；
④∠AOB与∠AOD互为补角．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①③④
【答案】D
【解答】解：①∠AOC＝90°，故①正确；
②∵∠AOB＝50°，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠AOB≠∠BOC，
故②不正确；
③∵∠AOB+∠BOC＝90°，
∴∠AOB与∠BOC互为余角，
故③正确；
④∵∠AOB＝50°，∠AOD＝130°，
∴∠AOB+∠AOD＝180°，
∴∠AOB与∠AOD互为补角，
故④正确；
所以，上述结论中，所有正确结论的序号是①③④，
故选：D．
【题型2】对顶角
5．（2023秋 玉州区期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（ ）
A．72° B．95° C．100° D．108°
【答案】D
【解答】解：∵∠1＝36°，
∴∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOD＝72°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝108°，
故选：D．
6．（2023秋 罗山县期末）如图所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、∠1与∠2符合对顶角的定义，是对顶角，故此选项符合题意；
C、∠1与∠2不是由两条直线相交构成的角，不是对顶角，故此选项不符合题意；
D、∠1与∠2不是由两条直线相交构成的角，不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：B．
7．（2023秋 海门区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝2：3，则∠BOD＝（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
【答案】B
【解答】解：∵∠EOC：∠EOD＝2：3，
∴∠EOC＝180°×＝72°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，
∴∠BOD＝∠AOC＝36°．
故选：B．
13．（2023秋 固始县期末）如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是 30° ，用它测量角的原理是 对顶角相等 ．
【答案】30°，对顶角相等．
【解答】解：由量角器的读数可知，所测量角的度数为30°，
原理：对顶角相等，
故答案为：30°，对顶角相等．
【题型3】点到直线的距离
8．（2022春 滨海新区期末）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
9．（2023秋 淅川县期末）如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得PM＝7m，PN＝5m，则点P到直线MN的距离可能为（ ）
A．7m B．6m C．5.5m D．4m
【答案】D
【解答】解：∵PM＝7m，PN＝5m，
∴点P到直线MN的距离小于5cm．
故选：D．
10．（2023秋 杭州期末）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论中正确的是（ ）
①线段BP的长度是点P到直线l的距离；②线段AP的长度是A点到直线PC的距离；③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长度是点P到直线l的距离
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
【答案】A
【解答】解：∵PB⊥l于点B，
∴线段BP的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误；
∵∠APC＝90°，
∴线段AP的长度是A点到直线PC的距离，故②正确；
根据垂线段最短，在PA，PB，PC三条线段中，PB最短，故③正确；
故选A．
11．（2023春 澄迈县期末）已知P是直线l外一点，A是直线l上一点，若PA＝2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于2cm B．不大于2cm C．等于2cm D．大于2cm
【答案】B
【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PA，
即点P到直线l的距离不大于2cm．
故选：B．
12．（2023春 益阳期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．两直线相交，对顶角互补
C．垂线段最短
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
【答案】C
【解答】解：A．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；
B．两直线相交，对顶角相等，故本选项错误；
C．垂线段最短，故本选项正确；
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项错误；
故选：C．
14．（2023秋 东阳市期末）如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15．点A到直线BC的距离 9 ，C到直线AB的距离是 ．
【答案】9，．
【解答】解：设点C到AB的距离为h．
∵AC⊥CB，
∴S△ABC＝ AC BC＝ AB h，
∴h＝＝，
∴点A到直线BC的距离9，C到直线AB的距离是．
故答案为：9，．
【题型4】垂线
15．（2023秋 镇平县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠1＝55°，
∴∠BOD＝∠EOD﹣∠1＝90°﹣55°＝35°，
∴∠2＝∠BOD＝35°，
故选：B．
16．（2023秋 余姚市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，且∠AOD＝68°，则∠BOF的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOD＝68°，
∴∠BOC＝∠AOD＝68°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝90°﹣34°＝56°，
故选：B．
17．（2023秋 马关县期末）如图，CD⊥AB，∠EDF＝90°，∠BDF＝30°，则∠CDE的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】D
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
即∠BDF+∠CDF＝90°，
又∵∠EDF＝90°，
∴∠CDE+∠CDF＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF＝30°．
故选：D．
【题型6】垂线段最短
18．（2023秋 福州期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育王老师测量小明同学的体育成绩时，常常选取线段CD的长度，其依据是他做这个判断所依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．连接两点之间的线段的长度叫做两点间的距离
【答案】C
【解答】解：选取线段CD的长度，其依据是他做这个判断所依据的是垂线段最短．
故选：C．
19．（2024 兴宁区校级开学）如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从 B 地铁出口下车回家的路径最短．
【答案】B．
【解答】解：根据“垂线段最短”的性质，可得PB最短．
故答案为：B．
【题型7】三线八角
20．（2023秋 邓州市期末）如图所示，∠1和∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】C
【解答】解：由图可知，
∠1和∠2是同旁内角，
故选：C．
21．（2023秋 衡山县期末）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】D
【解答】解：图①②④中，∠1和∠2是同位角，
故选：D．
22．（2023秋 太康县期末）下列图中∠1，∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A．由图可知，∠1，∠2是同位角，故A不符合题意．
B．由图可知，∠1，∠2是同位角，故B不符合题意．
C．由图可知，∠1，∠2是同位角，故C不符合题意．
D．由图可知，∠1，∠2不是同位角，故D符合题意．
故选：D．
【题型8】平行线有关定义
23．（2023春 宣化区期中）如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．平行或垂直 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：观察图形可知，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行．
故选：A．
24．（2023春 青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，
所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．
故选：C．
25．（2023秋 锦江区校级期末）下列语句正确的有（ ）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，只有a∥b时才能画出，故说法错误；
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；
故选：D
【题型9】平行线的判定
26．（2023秋 抚州期末）在下列图形中，已知∠1＝∠2，一定能推导出l1∥l2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、如图，
∵∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴不能推导出l1∥l2，不符合题意；
B、如图，
∵∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴不能推导出l1∥l2，不符合题意；
C、如图，
∵∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴不能推导出l1∥l2，不符合题意；
D、如图，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴一定能推导出l1∥l2，符合题意．
故选：D．
27．（2023秋 莲池区期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）
①∠B+∠BCD＝180°；
②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；
④∠B＝∠5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
故①符合题意；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
故②不符合题意；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，
故③符合题意；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，
故④符合题意；
综上，①③④符合题意，共3个，
故选：C．
28．（2023秋 五华县期末）如图所示，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠ABD＝∠BDC
C．∠3＝∠4 D．∠BAD+∠ABC＝180°
【答案】B
【解答】解：A、∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
B、∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故此选项符合题意；
C、∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
D、∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意．
故选：B．
29．（2023秋 长治期末）下列各图中，能画出AB∥CD的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：由同位角相等两直线平行可知：①正确；由垂直于同一条直线的两条直线平行可知②、③正确；根据内错角相等两直线平行线可知④正确．
故选：D．
30．（2023秋 德惠市期末）如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条a，b，c在同一平面内．经测量∠1＝70°，要使木条a∥b，则∠2的度数应为（ ）
A．20° B．70° C．110° D．160°
【答案】C
【解答】解：∠2的度数应为110°．
证明：如图，
∵∠2＝110°，
∴∠3＝180°﹣110°＝70°，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b．
故选：C．
31．（2022春 拱墅区校级期末）如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是 同位角相等，两直线平行 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由作图可得∠1＝∠2，根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
32．（2023秋 成武县期末）小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝ 15°或60°或150° ，则三角尺BCE有一条边与斜边AD平行（写出所有可能情况）．
【答案】15°或60°或150°．
【解答】解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BE时，延长BE交AC于点F，
∵AD∥BE，
∴∠BFC＝∠A＝30°
∴∠ACE＝∠CEB﹣∠EFC＝45°﹣30°＝15°；
②如图2中，当AD∥BC时，延长CE交AD于点G
∵AD∥BC
∴∠AGC＝∠BCE＝90°
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝60°；
③如图3中，当AD∥CE时，
∵AD∥CE，
∴∠ACE＝180°﹣∠A＝150°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为15°或60°或150°．
故答案为：15°或60°或150°
33．（2023秋 泗县期末）完成下面证明：
如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3．求证AB∥CD．
证明：∵CB平分∠ACD
∴∠1＝∠2（ 角平分线的定义 ）
∵∠1＝∠3．
∴∠2＝∠ 3 ．
∴AB∥CD（ 内错角相等两直线平行 ）．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵CB平分∠ACD
∴∠1＝∠2（角平分线的定义）
∵∠1＝∠3．
∴∠2＝∠3．
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，3，内错角相等两直线平行．
34．（2023秋 沈丘县期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（ 垂直的定义 ），
又∵∠1＝∠B（已知），
∴ CE∥BF （ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠AFB＝∠AOE（ 两直线平行，同位角相等 ），
∴∠AFB＝90°（ 等量代换 ），
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ 90 ）°，
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（ 同角的余角相等 ），
∴AB∥CD．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【答案】垂直的定义；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义），
∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90°（等量代换），
∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝（90）°，
∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；90；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
35．（2023秋 咸阳期末）如图，已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，HM平分∠GHD交AB于点M，若∠BGE＝50°，∠GMH＝25°，求证：AB∥CD．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵∠MGE＝∠GMH+∠GHM，且∠BGE＝50°，∠GMH＝25°，
∴∠GHM＝25°，
∵HM平分∠GHD，
∴∠DHM＝∠GHM＝25°，
∴∠GHD＝∠GHM+∠DHM＝50°，
∴∠GHD＝∠BGE，
∴AB∥CD．
36．（2023秋 泉港区期末）如图，∠1＝∠C，BE⊥DF于点P．
（1）若∠2＝55°，请求出∠B的度数；
（2）若∠2+∠D＝90°，求证：AB∥CD．
【答案】（1）55°；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵∠1＝∠C（已知），
∴BE∥CF（同位角相等，两直线平行），
∴∠B＝∠2＝55°（两直线平行，同位角相等）；
（2）证明：∵BE⊥DF（已知），
∴∠DPE＝90°（垂直定义），
∵BE∥CF（已证），
∴∠CFD＝∠DPE＝90°（两直线平行，同位角相等），
∴∠2+∠BFD＝180﹣∠CFD＝90°（平角定义），
∵∠2+∠D＝90°（已知），
∴∠BFD＝∠D（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
37．（2023秋 昆都仑区期末）如图，已知AD交BE于F，C在AB的延长线上，∠A＝∠ADE．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）若∠C＝∠E．求证：BE∥CD．
【答案】（1）45°；
（2）证明见解答．
【解答】解：（1）∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝3∠C，
∴4∠C＝180°，
即∠C＝45°；
（2）∵AC∥DE，
∴∠E＝∠ABE，
又∵∠C＝∠E，
∴∠C＝∠ABE，
∴BE∥CD．
【题型10】平行线的性质
38．（2023秋 邓州市期末）如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于A、B两点，AC⊥AB于点A，交直线b于点C．如果∠1＝38°，那么∠2的度数为（ ）
A．52° B．48° C．38° D．32°
【答案】A
【解答】解：如图：
∵直线a∥b，
∴∠1+∠BAD＝180°，
∵AC⊥AB于点A，∠1＝38°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣38°＝52°，
故选：A．
39．（2023秋 东明县期末）如图，AB∥CD，∠ACE＝∠AEC，若∠A＝120°，则∠ECD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【解答】解∵∠A＝120°，
∴∠AEC＝×（180°﹣∠A）＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠AEC＝30°．
故选：A．
40．（2024 二道区校级开学）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝121°，DE与地面平行，∠ABD＝48°，则∠DCE＝（ ）
A．78° B．73° C．69° D．61°
【答案】B
【解答】解：由题意得：DE∥AB，
∴∠ABD＝∠D＝48°，
∵∠DEF是△DCE的一个外角，
∴∠DCE＝∠DEF﹣∠D＝121°﹣48°＝73°，
故选：B．
45．（2024 九龙坡区校级开学）如图所示，直线l1∥l2，BA垂直于l1于A，则∠α+∠β的大小是（ ）
A．150° B．180° C．270° D．360°
【答案】C
【解答】解：过点B作BD∥l2，
∴∠α+∠CBD＝180°，
∵l1∥l2，
∴BD∥l1，
∴∠1+∠ABD＝180°，
∴∠α+∠CBD+∠ABD+∠1＝360°，
∴∠α+∠β+∠1＝360°，
∵BA⊥l1，
∴∠1＝90°，
∴∠α+∠β＝360°﹣∠1＝270°，
故选：C．
46．（2023秋 海安市期末）将一直尺和一块含30°角的三角尺按如图放置，若∠CDE＝40°，则∠BFA的度数为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
【答案】D
【解答】解：∵DE∥AF，
∴∠CDE＝∠CFA，
∵∠CDE＝40°，
∴∠CFA＝40°，
∴∠BFA＝180°﹣∠CFA＝140°．
故选：D．
47．（2023秋 五华区期末）如图，把一根铁丝折成图示形状后，AB∥DE，若∠D＝30°，∠DCB＝80°，则∠B等于（ ）
A．60° B．80° C．100° D．130°
【答案】D
【解答】解：∵∠D＝30°，∠DCB＝80°，
∴∠E＝80°﹣30°＝50°．
∵AB∥DE，
∴∠B＝180°﹣∠E＝130°．
故选：D．
48．（2023秋 天元区期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFC＝125°，则∠1＝（ ）
A．35° B．55° C．70° D．65°
【答案】C
【解答】解：∵长方形对边AD∥BC，
∴∠DEF+∠EFC＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣125°＝55°，
由翻折的性质得：∠DEF＝∠MEF＝55°，
∴∠1＝180°﹣55°×2＝70°，
故选：C．
【题型11】平行线的判定与综合
49．（2023秋 山亭区期末）如图，已知CD∥BE，∠1+∠2＝180°．
（1）试问∠AFE与∠ABC相等吗？请说明理由；
（2）若∠D＝2∠AEF，∠1＝136°，求∠D的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）88°．
【解答】解：（1）∠AFE与∠ABC相等，理由如下：
∵CD∥BE，
∴∠1+∠CBE＝180°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠CBE（同角的补角相等），
∴EF∥BC （内错角相等，两直线平行），
∴∠AFE＝∠ABC （两直线平行，同位角相等），
（2）∵CD∥BE，
∴∠D＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠2+∠AEF，∠D＝2∠AEF，
∴∠2＝∠AEF，即∠D＝2∠2，
∵∠1＝136°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝44°，即∠D＝88°．
50．（2023秋 天桥区期末）已知：如图，DE∥BC，CD平分∠ACB，∠B＝60°，∠A＝70°，求∠EDC的度数．
【答案】∠EDC＝25°．
【解答】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝25°．
51．（2023春 盘龙区期末）如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，EF∥DC，点H在BC边上，且∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠A＝∠BDH；
（2）若CD平分∠ACB，∠AFE＝30°，求∠BHD的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）60°．
【解答】（1）证明：∵EF∥DC，
∠2+∠FCD＝180°，
∠1+∠2＝180°，
∠1＝∠FCD，
∴DH∥AC，
∴∠A＝∠BDH；
（2）解：∵EF∥DC，∠AEF＝30°，
∠ACD＝∠AEF＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝2×30°＝60°，
由（1）知DH∥AC，
∴∠BHD＝∠ACB＝60°．
52．（2023秋 巴南区校级期末）如图，点D、E、F、G均在△ABC的边上，连接BD、DE、FG，∠3＝∠CBA，FG∥BD．
（1）求证：∠1+∠2＝180°；
（2）若BD平分∠CBA，DE平分∠BDC，∠A＝35°，求∠C的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠3＝∠CBA，
∴AB∥DE，
∴∠2＝∠DBA，
∵FG∥BD，
∴∠1+∠DBA＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
（2）解：∵AB∥DE，
∴∠CDE＝∠A＝35°，
∵DE平分∠BDC，
∴∠2＝∠CDE＝35°，
∴∠DBA＝35°，
∵BD平分∠CBA，
∴∠CBA＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠CBA＝75°．
53．（2022秋 榆阳区校级期末）如图，已知AD∥BC，∠1＝∠C．
（1）求证：∠C＝∠B；
（2）若∠B＝60°，DE是∠ADC的平分线，试判断DE与AB的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）DE∥AB，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠B．
∵∠1＝∠C，
∴∠C＝∠B．
（2）解：DE∥AB，理由如下：
∵∠B＝60°，∠1＝∠C＝∠B，
∴∠1＝∠C＝60°．
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝180°﹣∠C
＝180°﹣60°
＝120°，
∵DE是∠ADC的平分线，
∴，
∴∠1＝∠ADE．
∴DE∥AB．
【题型12】尺规作图
54．（2023秋 东台市期末）下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cm B．画出A、B两点的距离
C．延长射线OA D．连接A、B两点
【答案】D
【解答】解：A、射线OP无限长，所以A选项不符合题意；
B、量出A、B点的距离，所以B选项不符合题意；
C、射线OA不需要延长，只能反向延长射线OA，所以C选项不符合题意；
D、用直尺可以连接A、B两点，所以D选项符合题意．
故选：D．
55．（2022春 织金县期中）如图，已知∠α、∠β，求作∠ABC．使∠ABC＝2∠α+∠β．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析．
【解答】解：如图，∠ABC即为所求．
56．（2022春 泾阳县期末）如图，已知△ABC，请利用尺规作图法在AC上求作一点P，使得BP平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析部分．
【解答】解：如图，点P即为所求．
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专题02 相交线与平行线（考点过关）
【考点1】余角和补角
【考点2】对顶角﹑邻补角
【考点3】点到直线的距离
【考点4】垂线
【考点6】垂线段最短
【考点7】三线八角
【考点8】平行线有关定义
【考点9】平行线的判定
【考点10】平行线的性质
【考点11】平行线的判定与综合
【考点12】尺规作图
【题型1】余角和补角
【题型1】余角和补角
1．（2023秋 屯昌县期末）如果一个角的余角是50°，那么这个角的度数是（ ）
A．130° B．40° C．90° D．140°
2．（2023秋 浑南区期末）如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若∠AOC＝120°，则∠BOD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2023秋 长沙期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α＝∠β的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023秋 柘城县期末）如图，利用工具测量角，有如下4个结论：
①∠AOC＝90°；
②∠AOB＝∠BOC；
③∠AOB与∠BOC互为余角；
④∠AOB与∠AOD互为补角．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①③④
【题型2】对顶角
5．（2023秋 玉州区期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（ ）
A．72° B．95° C．100° D．108°
6．（2023秋 罗山县期末）如图所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋 海门区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD＝2：3，则∠BOD＝（ ）
A．30° B．36° C．45° D．72°
13．（2023秋 固始县期末）如图是一种对顶角量角器，它所测量的角的度数是 ，用它测量角的原理是 ．
【题型3】点到直线的距离
8．（2022春 滨海新区期末）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023秋 淅川县期末）如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得PM＝7m，PN＝5m，则点P到直线MN的距离可能为（ ）
A．7m B．6m C．5.5m D．4m
10．（2023秋 杭州期末）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论中正确的是（ ）
①线段BP的长度是点P到直线l的距离；②线段AP的长度是A点到直线PC的距离；③在PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长度是点P到直线l的距离
A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
11．（2023春 澄迈县期末）已知P是直线l外一点，A是直线l上一点，若PA＝2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．小于2cm B．不大于2cm C．等于2cm D．大于2cm
12．（2023春 益阳期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．两直线相交，对顶角互补
C．垂线段最短
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
14．（2023秋 东阳市期末）如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15．点A到直线BC的距离 ，C到直线AB的距离是 ．
【题型4】垂线
15．（2023秋 镇平县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
16．（2023秋 余姚市期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE，且∠AOD＝68°，则∠BOF的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
17．（2023秋 马关县期末）如图，CD⊥AB，∠EDF＝90°，∠BDF＝30°，则∠CDE的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【题型6】垂线段最短
18．（2023秋 福州期末）如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育王老师测量小明同学的体育成绩时，常常选取线段CD的长度，其依据是他做这个判断所依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．连接两点之间的线段的长度叫做两点间的距离
19．（2024 兴宁区校级开学）如图，小明乘坐地铁2号线回家，小明家位于点P处，附近有A、B、C、D四个地铁出口，每个地铁出口都能沿着直线回家，小明从 地铁出口下车回家的路径最短．
【题型7】三线八角
20．（2023秋 邓州市期末）如图所示，∠1和∠2是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
21．（2023秋 衡山县期末）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④
22．（2023秋 太康县期末）下列图中∠1，∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8】平行线有关定义
23．（2023春 宣化区期中）如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．平行或垂直 D．无法确定
24．（2023春 青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
25．（2023秋 锦江区校级期末）下列语句正确的有（ ）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4 B．3 C．2 D．1
【题型9】平行线的判定
26．（2023秋 抚州期末）在下列图形中，已知∠1＝∠2，一定能推导出l1∥l2的是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023秋 莲池区期末）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）
①∠B+∠BCD＝180°；
②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；
④∠B＝∠5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．（2023秋 五华县期末）如图所示，在下列四组条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠ABD＝∠BDC
C．∠3＝∠4 D．∠BAD+∠ABC＝180°
29．（2023秋 长治期末）下列各图中，能画出AB∥CD的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
30．（2023秋 德惠市期末）如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条a，b，c在同一平面内．经测量∠1＝70°，要使木条a∥b，则∠2的度数应为（ ）
A．20° B．70° C．110° D．160°
31．（2022春 拱墅区校级期末）如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是 ．
32．（2023秋 成武县期末）小明将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起．当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE＝ ，则三角尺BCE有一条边与斜边AD平行（写出所有可能情况）．
33．（2023秋 泗县期末）完成下面证明：
如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3．求证AB∥CD．
证明：∵CB平分∠ACD
∴∠1＝∠2（ ）
∵∠1＝∠3．
∴∠2＝∠ ．
∴AB∥CD（ ）．
34．（2023秋 沈丘县期末）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（ ），
又∵∠1＝∠B（已知），
∴ （ ），
∴∠AFB＝∠AOE（ ），
∴∠AFB＝90°（ ），
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ ）°，
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（ ），
∴AB∥CD．（ ）
35．（2023秋 咸阳期末）如图，已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，HM平分∠GHD交AB于点M，若∠BGE＝50°，∠GMH＝25°，求证：AB∥CD．
36．（2023秋 泉港区期末）如图，∠1＝∠C，BE⊥DF于点P．
（1）若∠2＝55°，请求出∠B的度数；
（2）若∠2+∠D＝90°，求证：AB∥CD．
37．（2023秋 昆都仑区期末）如图，已知AD交BE于F，C在AB的延长线上，∠A＝∠ADE．
（1）若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数；
（2）若∠C＝∠E．求证：BE∥CD．
【题型10】平行线的性质
38．（2023秋 邓州市期末）如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于A、B两点，AC⊥AB于点A，交直线b于点C．如果∠1＝38°，那么∠2的度数为（ ）
A．52° B．48° C．38° D．32°
39．（2023秋 东明县期末）如图，AB∥CD，∠ACE＝∠AEC，若∠A＝120°，则∠ECD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
40．（2024 二道区校级开学）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝121°，DE与地面平行，∠ABD＝48°，则∠DCE＝（ ）
A．78° B．73° C．69° D．61°
45．（2024 九龙坡区校级开学）如图所示，直线l1∥l2，BA垂直于l1于A，则∠α+∠β的大小是（ ）
A．150° B．180° C．270° D．360°
46．（2023秋 海安市期末）将一直尺和一块含30°角的三角尺按如图放置，若∠CDE＝40°，则∠BFA的度数为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
47．（2023秋 五华区期末）如图，把一根铁丝折成图示形状后，AB∥DE，若∠D＝30°，∠DCB＝80°，则∠B等于（ ）
A．60° B．80° C．100° D．130°
48．（2023秋 天元区期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFC＝125°，则∠1＝（ ）
A．35° B．55° C．70° D．65°
【题型11】平行线的判定与综合
49．（2023秋 山亭区期末）如图，已知CD∥BE，∠1+∠2＝180°．
（1）试问∠AFE与∠ABC相等吗？请说明理由；
（2）若∠D＝2∠AEF，∠1＝136°，求∠D的度数．
50．（2023秋 天桥区期末）已知：如图，DE∥BC，CD平分∠ACB，∠B＝60°，∠A＝70°，求∠EDC的度数．
51．（2023春 盘龙区期末）如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，EF∥DC，点H在BC边上，且∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠A＝∠BDH；
（2）若CD平分∠ACB，∠AFE＝30°，求∠BHD的度数．
52．（2023秋 巴南区校级期末）如图，点D、E、F、G均在△ABC的边上，连接BD、DE、FG，∠3＝∠CBA，FG∥BD．
（1）求证：∠1+∠2＝180°；
（2）若BD平分∠CBA，DE平分∠BDC，∠A＝35°，求∠C的度数．
53．（2022秋 榆阳区校级期末）如图，已知AD∥BC，∠1＝∠C．
（1）求证：∠C＝∠B；
（2）若∠B＝60°，DE是∠ADC的平分线，试判断DE与AB的位置关系，并说明理由．
【题型12】尺规作图
54．（2023秋 东台市期末）下列画图语句中，正确的是（ ）
A．画射线OP＝3cm B．画出A、B两点的距离
C．延长射线OA D．连接A、B两点
55．（2022春 织金县期中）如图，已知∠α、∠β，求作∠ABC．使∠ABC＝2∠α+∠β．（不写作法，保留作图痕迹）
56．（2022春 泾阳县期末）如图，已知△ABC，请利用尺规作图法在AC上求作一点P，使得BP平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
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