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专题05生活中的轴对称（考点过关）
【考点1】轴对称图形
【考点2】轴对称的性质
【考点3】轴对称-最短路线问题
【考点4】翻折变换(折叠问题)
【考点5】角平分线的性质
【考点6】线段垂直平分线的性质
【考点7】等腰三角形的性质
【考点8】等边三角形的性质
【考点9】作图-轴对称变换
【考点10】利用轴对称设计图案
【考点11】出轨作图-角平分线和垂直平分线
【考点1】轴对称图形
1．（2023秋 石景山区期末）我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．（2023秋 海曙区校级期末）第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得骄人战绩．下列运动标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由图形可知，选项B为轴对称图形．
故选：B．
3．（2023秋 徐州期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【考点2】轴对称的性质
4．（2023秋 嵊州市期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°，
∴∠B＝∠B′＝110°，
又∵∠A＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°，
故选：C．
5．（2023秋 定南县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣50°＝40°，
∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，
∴∠AB′D＝∠B＝50°，
∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，
∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°，
故选：A．
6．（2023秋 射洪市期末）如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，则AE的长度为（ ）
A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，
∴，
∴BC＝12cm，
∵△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，
∴△ACD≌△AED，
∴AE＝AC＝13cm．
故选：B．
7．（2023秋 庄浪县期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，
∵△PMN的周长是5cm，
∴P1P2＝5cm．
故选：C．
8．（2023秋 文登区期末）如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形．
故选：C．
9．（2023秋 南康区期末）如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD是三角形ABC的对称轴，
∴AD垂直平分BC，
即AD⊥BC，BD＝DC，
∴S△EFB＝S△EFC，
∴S阴影部分＝S△ABD＝S△ABC＝BD AD＝×2×3＝3．
故答案为3．
10．（2023秋 信州区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为 11 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，
∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，CD＝CD，
∴△ADC≌△EDC（SAS），
∴AC＝EC，
∵AB＝7，AC＝9，BC＝13，
∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC＝13﹣9＝4，
∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝7+4＝11．
故答案为：11．
11．（2023秋 上城区期末）按如图的方法折纸，则∠1+∠2＝ 90 °．
【答案】90．
【解答】解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠2＝∠FEC，
∵∠1+∠AEB+∠2+∠FEC＝180°，
∴2（∠1+∠2）＝180°，即∠1+∠2＝90°，
故答案为：90．
12．（2023秋 双辽市期末）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝ 72 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，
∴△AOB≌△COB，
∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO，
∵∠BOD＝∠A+∠ABO，
∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°，
∴∠ABD＝2∠ABO＝52°，
∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°，
故答案为：72．
【考点3】轴对称-最短路线问题
13．（2023秋 阳新县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
【答案】B
【解答】解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D.
则AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE≥A'E．
即AD+DE的最小值为A'E．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，AA'＝12，
∵S△AA'B＝，
∴A'E＝＝＝9.6，
即AD+DE的最小值为9.6．
故选：B．
14．（2023秋 城口县期末）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（ ）
A．58° B．64° C．61° D．74°
【答案】B
【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，
同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝122°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝58°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×58°＝116°．
∴∠MAN＝180°﹣116°＝64°，
故选：B．
15．（2023秋 湖北期末）如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB
的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）
A．45° B．90° C．100° D．135°
【答案】B
【解答】解：如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，由题意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣45°＝135°，
∴∠P1PA+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝45°，
∴∠APB＝135°﹣45°＝90°．
故选：B．
16．（2023秋 启东市期末）如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．60°
【答案】C
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+（180°﹣β），
∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），
∴β﹣α＝40°，
故选：C．
17．（2023秋 西城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（ ）
A．45° B．90° C．75° D．135°
【答案】B
【解答】解：作点D关于BC的对称点D'，作点E关于AC的对称点E'，连接D'E'分别交AC，BC于点M'，N'，连接ME'，ND'，EM'，DN'，
则ME＝ME'，ND＝ND'，
∴四边形DEMN的周长＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'，
∵DE长固定，
∴点M与M'重合，点N与点N'重合时，四边形DEMN的周长最小，此时∠DNM+∠EMN＝∠DN'M+∠EM'N，
由对称性和三角形外角性质可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E＝2∠M'E'E，
∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'），
设DD'与BC交于点H，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠BDH＝45°，
∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°，
即当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是90°，
故选：B．
【考点4】翻折变换(折叠问题)
18．（2023秋 腾冲市期末）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，已知∠CED'＝50°，则∠AED的大小是（ ）
A．50° B．55° C．65° D．75°
【答案】C
【解答】解：由折叠的性质，∠DEA＝∠AED′，
∴∠AED＝（180°﹣∠CED′）÷2＝65°．
本题选C．
19．（2023秋 荔城区期末）如图，在长方形纸片ABCD中，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（ ）
A．74° B．106° C．122° D．148°
【答案】B
【解答】解：由翻折知，∠AMB＝∠BMA1，∠DMC＝∠D1MC，
∵∠1＝32°，
∴∠AMB+∠DMC＝74°，
∴∠BMC＝74°+32°＝106°，
故选：B．
20.（2023秋 驿城区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，点B、A′、C′在同一直线上．若∠CBD＝70°，则∠ABE的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
【答案】A
【解答】解：由折叠可知：∠CBD＝∠C′BD＝70°，∠ABE＝∠A′BE，
∴∠ABE+∠A′BE＝2∠ABE＝180°﹣（∠CBD+∠C′BD）＝40°，
∴∠ABE＝20°，
故选：A．
21．（2023秋 海沧区期末）如图，一张长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的A′处，得折痕EN．若∠FEA＝74°，则∠BEM的度数是（ ）
A．63° B．55° C．53° D．56°
【答案】C
【解答】解：由翻折的性质可知，∠AEN＝∠NEF，∠BEM＝∠FEM，
∵∠FEA+∠FEM+∠BEM＝180°，
∴∠BEM＝（180°﹣∠FEA）＝53°．
故选：C．
22．（2023秋 夏津县期末）数学活动：折纸中的数学
【知识背景】
我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．
如图4.3﹣11是教材第135页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线．
【知识初探】
（1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连结PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B都分别落在PQ上的A′和B′处，点C落在C′处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是 90° ；
【类比再探】
（2）如图（2），将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A′，B′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．
①若∠A'PB'＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数；
②若∠A'PB'＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）；
【拓展探究】
（3）将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B，C分别落在点A'，B'，C′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图（3）．若∠A'PB'＝α（0°≤α≤60°），请直接写出∠NPM的度数（用含α的式子表示）．
【答案】（1）90°；
（2）①100°；
②∠NPM＝90°+；
（3）∠NPM＝90°﹣．
【解答】解：（1）由折叠可知，∠APN＝∠A′PN，∠BPM＝∠B′PM，
∵∠APN+∠A′PN+∠BPM+∠B′PM＝180°，
∴2∠A′PN+2∠B′PM＝180°，
∴∠A′PN+∠B′PM＝90°，即∠NPM＝90°．
故答案为：90°；
（2）①由折叠可知，∠APA′＝2∠APN＝2∠A′PN＝60°，∠BPB′＝2∠BPM＝2∠B′PM，
∵∠A′PB′＝20°，
∴∠BPB′＝180°﹣∠APA′﹣∠A′PB′＝100°，
∴∠BPM＝∠B′PM＝BPB′＝50°，
∴∠NPM＝∠A′PN+∠A′PB′+∠B′PM＝100°；
②若∠A′PB′＝α（0°≤α＜180°），则∠APA′+∠BPB′＝180°﹣α，
∴∠A′PN+∠A′PB′＝（∠APA′+∠BPB′）＝90°﹣，
∴∠NPM＝∠A′PN+∠A′PB′+∠B′PM＝90°﹣+α＝90°+．
（3）由折叠可知，∠APN＝∠A′PN，∠BPM＝∠B′PM，
∵2∠A′PN+2∠B′PM＝180°+α，
∴∠A′PN+∠B′PM＝90°+，
∴∠NPM＝∠A′PN+∠B′PM﹣∠A′PB′＝90°+﹣α＝90°﹣．
【考点5】角平分线的性质
23．（2023秋 哈密市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
24．（2023秋 兴隆县期末）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOP＝30°，
∵PD⊥OA，OP＝6cm，
∴，
过点P作PE'⊥OB于点E'，
∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，
∴PE'＝PD＝3cm，
∴PE的最小值为3cm．
故选：B．
25．（2023秋 保定期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（ ）
A．30 B．15 C．20 D．27
【答案】B
【解答】解：过D作DH⊥AB于H，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DH＝DC＝3，
∵AB＝10，
∴△ABD的面积＝AB DH×10×3＝15．
故选：B．
26．（2023秋 韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
【答案】B
【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
27．（2023秋 曹县期末）如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：作PH⊥AB于H，
∵AP是∠CAB的平分线，
∴∠PAE＝∠PAH，
在△PEA和△PHA中，
，
∴△PEA≌△PHA（AAS），
∴PE＝PH，
∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，
∴PF＝PH，
∴PE＝PF，
∴（1）正确；
（2）与（1）可知：PE＝PF，
又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，
∴点P在∠COD的平分线上，
∴（2）正确；
（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，
又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，
∴∠O+∠EPF＝180°，
即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，
由（1）知：△PEA≌△PHA，
∴∠EPA＝∠HPA，
同理：∠FPB＝∠HPB，
∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，
即∠O+2∠APB＝180°，
∴∠APB＝90°﹣，
∴（3）错误；
故选：C．
28．（2023秋 东城区期末）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，
∴PF＝PG＝3，PG＝PH，
∴PF＝PG＝PH＝3．
故选：C．
29．（2023秋 铜官区期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【答案】D
【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
【考点6】线段垂直平分线的性质
30．（2023秋 钦州期末）如图，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵△BCE的周长是15，
∴EC+EB+BC＝EC+EA+BC＝AC+BC＝15，
则，
解得，AC＝9，BC＝6，
故选：D．
31．（2023秋 宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解答】解：∵△ABC周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∵AC＝6，
∴AB+BC＝10，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，
∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，
故选：A．
32．（2023秋 丹江口市期末）如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠BAC＝140°，
∴∠B+∠C＝40°，
∴DM和EN分别垂直平分AB和AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝40°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝140°﹣40°＝100°．
故选：A．
33．（2023秋 嵩县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三个角的角平分线的交点
【答案】C
【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．
故选：C．
34．（2023秋 天津期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．
（1）AD与BD的数量关系为 AD＝BD ．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
【答案】（1）AD＝BD；
（2）6；
（3）5．
【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
故答案为：AD＝BD；
（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+AE＝6，
∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；
（3）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
OA＝OC，
∴OB＝OC，
∵△OBC的周长为16，BC＝6，
∴OB+OC＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5．
【考点7】等腰三角形的性质
35．（2023秋 江陵县期末）一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为（ ）
A．13 cm B．17 cm
C．7 cm或13 cm D．不确定
【答案】B
【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去；
当7cm是腰时，周长＝7+7+3＝17cm．
故它的周长为17cm．
故选：B．
36．（2023秋 建华区期末）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
【答案】D
【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°；
②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．
故选：D．
37．（2023春 雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝50°，点D是BC的中点，点E在AC上，且AE＝AD，则∠AED 的度数为（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°×2＝80°，
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣40°）＝70°，
故选：C．
38．（2023秋 叙州区期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：C．
39．（2023秋 自贡期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，连接AD．若∠B＝40°，BA＝BD，则∠DAC为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】C
【解答】解：∵∠B＝40°，BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝＝＝70°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝∠BDA＝35°，
故选：C．
40．（2023秋 延边州期末）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，若∠C＝58°，则∠BAD的度数为 32° ；
【数学应用】如图②，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度数；
【拓展】如图③，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE交于点O，若∠AOF＝69°，则∠CAE的度数为 42° ．
【答案】【数学知识】32°；
【数学应用】67°；
【拓展】42°．
【解答】解：【数学知识】∵AB＝AC，AD是中线，∠C＝58°，
∴∠B＝∠C＝58°，AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝32°，
故答案为：32°；
【数学应用】∵AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，
∴，∠EAG＝∠EAF，
∴∠DAG＝∠DAC+∠CAE+∠EAG＝∠BAC+∠CAE+∠EAF＝∠BAF+∠CAE，
∵∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，
∴∠DAG＝55°+12°＝67°；
【拓展】∵AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，
∴AF⊥BE，∠BAF＝BAE，∠BAD＝BAC，
∴∠AOF+∠OAF＝90°，
∵∠AOF＝69°，
∴∠OAF＝21°，
∴∠BAF﹣∠BAD＝∠BAE﹣∠BAC＝21°，
∴∠BAE﹣∠BAC＝42°，
∵∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝42°，
故答案为：42°．
【考点8】等边三角形的性质
41．（2022春 沂源县期末）如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
过C作CM∥直线l，
∵直线l∥直线m，
∴直线l∥直线m∥CM，
∵∠ACB＝60°，∠1＝20°，
∴∠1＝∠MCB＝20°，
∴∠2＝∠ACM＝∠ACB﹣∠MCB＝60°﹣20°＝40°，
故选：C．
42．（2023秋 老河口市期末）如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解答】解：设BD＝x，则CD＝20﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴BE＝cos60° BD＝，
同理可得，CF＝，
∴BE+CF＝．
故选：B．
43．（2023秋 万州区期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
∵在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝1，
∴DE＝．
故选：B．
44．（2023秋 岑溪市期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A9B9A10的边长为（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】D
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
…
∴△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1，
∴△A9B9A10的边长为29﹣1＝28＝256．
故选：D．
45．（2023秋 海南期末）如图，在等边△ABC中AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（ ）
A．4.5 B．5 C．6 D．9
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，
∴CD＝AC，
∵AC＝AB＝4，
∴CD＝2，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，
∴∠CDE＝∠E，
∴CE＝CD＝2，
∵BC＝AB＝4，
∴BE＝BC+CE＝4+2＝6．
故选：C．
46．（2023秋 靖宇县期末）如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（ ）
A．90 B．60 C．50 D．30
【答案】A
【解答】解：设等边△ABC的边长为a．
∵9个三角形都是等边三角形，
∴NA＝AW＝AB＝BN＝BC＝a，
CD＝CE＝DE＝DF＝a+3，
GF＝HF＝MG＝a+6，
MN＝MW＝a+9．
∵NW＝NA+AW，
∴a+9＝2a．
∴a＝9．
∴拼成的六边形的周长为：NB+BC+CD+DF+GF+MG+MN
＝a+a+a+3+a+3+a+6+a+6+a+9
＝7a+27
＝63+27
＝90．
故选：A．
47．（2023秋 邹平市期末）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G．如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝ 84° ．
【答案】84°．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠GEC＝36°，
∴∠BEG＝180°﹣∠GEC＝180°﹣36°＝144°，
由翻折的性质得：∠BED＝∠GED，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BED＝∠BEG＝×144°＝72°，
∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣60°﹣72°＝48°，
∴∠BDE＝∠FDE＝48°，
∴∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝96°，
∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝180°﹣96°＝84°．
故答案为：84°．
【考点9】作图-轴对称变换
48．（2023秋 哈密市期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 （2，0） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，
∴点A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，﹣4）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）如图，点P即为所求，
点P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
49．（2023秋 和平县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（﹣3，4），点C与点A关于y轴对称．
（1）写出点C的坐标，画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）在y轴上存在一点D，使得S△ACD＝S△ABC，直接写出点D的坐标．
【答案】（1）C（4，2），画图见解析；
（2）画图见解析；
（3）D的坐标为（0，0）或（0，4）．
【解答】解：（1）如图，C（4，2），△ABC即为所求作的三角形，
（2）如图，△A′B′C′即为所求作的三角形，
（3）∵A（﹣4，2），B（﹣3，4），C（4，2），
∴，
设D（0，y），
∴，
∴|y﹣2|＝2，
∴y＝0或y＝4，
∴D的坐标为（0，0）或（0，4）．
50．（2023秋 南宁期末）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上有一点D，使得△ADC≌△ABC，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）画图见解答；A1（4，1），B1（3，3），C1（1，2）．
（2）（﹣2，0）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
A1（4，1），B1（3，3），C1（1，2）．
（2）∵△ADC≌△ABC，
∴AD＝AB，CD＝CB．
∵点D在x轴上，
∴点D的位置如图所示．
∴点D的坐标为（﹣2，0）．
【考点10】利用轴对称设计图案
51．（2023秋 高阳县期末）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：如图，满足条件的三角形有三个．
故选：C．
52．（2023秋 徐州期末）如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：如图所示：不同的涂色方案共有4个．
故选：D．
53．（2023秋 四平期末）如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示；
54．（2023秋 襄城区期末）如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．
（1）请你在图①，图②，图③中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）．
（2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有 6 个．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：
（2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有6个．
故答案为：6．
【考点11】尺规作图-角平分线和垂直平分线
55．（2023秋 宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：
（1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；
（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）；
（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．
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专题05生活中的轴对称（考点过关）
【考点1】轴对称图形
【考点2】轴对称的性质
【考点3】轴对称-最短路线问题
【考点4】翻折变换(折叠问题)
【考点5】角平分线的性质
【考点6】线段垂直平分线的性质
【考点7】等腰三角形的性质
【考点8】等边三角形的性质
【考点9】作图-轴对称变换
【考点10】利用轴对称设计图案
【考点11】出轨作图-角平分线和垂直平分线
【考点1】轴对称图形
1．（2023秋 石景山区期末）我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋 海曙区校级期末）第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得骄人战绩．下列运动标识中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋 徐州期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点2】轴对称的性质
4．（2023秋 嵊州市期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．35°
5．（2023秋 定南县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．（2023秋 射洪市期末）如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，则AE的长度为（ ）
A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm
7．（2023秋 庄浪县期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．（2023秋 文登区期末）如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2023秋 南康区期末）如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是 ．
10．（2023秋 信州区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为 ．
11．（2023秋 上城区期末）按如图的方法折纸，则∠1+∠2＝ 90 °．
12．（2023秋 双辽市期末）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝ °．
【考点3】轴对称-最短路线问题
13．（2023秋 阳新县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
14．（2023秋 城口县期末）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（ ）
A．58° B．64° C．61° D．74°
15．（2023秋 湖北期末）如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当△PAB
的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）
A．45° B．90° C．100° D．135°
16．（2023秋 启东市期末）如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．60°
17．（2023秋 西城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（ ）
A．45° B．90° C．75° D．135°
【考点4】翻折变换(折叠问题)
18．（2023秋 腾冲市期末）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，已知∠CED'＝50°，则∠AED的大小是（ ）
A．50° B．55° C．65° D．75°
19．（2023秋 荔城区期末）如图，在长方形纸片ABCD中，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（ ）
A．74° B．106° C．122° D．148°
20.（2023秋 驿城区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，点B、A′、C′在同一直线上．若∠CBD＝70°，则∠ABE的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
21．（2023秋 海沧区期末）如图，一张长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的A′处，得折痕EN．若∠FEA＝74°，则∠BEM的度数是（ ）
A．63° B．55° C．53° D．56°
22．（2023秋 夏津县期末）数学活动：折纸中的数学
【知识背景】
我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．
如图4.3﹣11是教材第135页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线．
【知识初探】
（1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连结PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B都分别落在PQ上的A′和B′处，点C落在C′处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是 ；
【类比再探】
（2）如图（2），将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A′，B′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．
①若∠A'PB'＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数；
②若∠A'PB'＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）；
【拓展探究】
（3）将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B，C分别落在点A'，B'，C′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图（3）．若∠A'PB'＝α（0°≤α≤60°），请直接写出∠NPM的度数（用含α的式子表示）．
【考点5】角平分线的性质
23．（2023秋 哈密市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
24．（2023秋 兴隆县期末）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
25．（2023秋 保定期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（ ）
A．30 B．15 C．20 D．27
26．（2023秋 韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．
A．24 B．27 C．30 D．33
27．（2023秋 曹县期末）如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
28．（2023秋 东城区期末）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2023秋 铜官区期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【考点6】线段垂直平分线的性质
30．（2023秋 钦州期末）如图，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
31．（2023秋 宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
32．（2023秋 丹江口市期末）如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（ ）
A．100° B．90° C．80° D．70°
33．（2023秋 嵩县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三个角的角平分线的交点
34．（2023秋 天津期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．
（1）AD与BD的数量关系为 AD＝BD ．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
【考点7】等腰三角形的性质
35．（2023秋 江陵县期末）一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为（ ）
A．13 cm B．17 cm
C．7 cm或13 cm D．不确定
36．（2023秋 建华区期末）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°
37．（2023春 雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝50°，点D是BC的中点，点E在AC上，且AE＝AD，则∠AED 的度数为（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
38．（2023秋 叙州区期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
39．（2023秋 自贡期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，连接AD．若∠B＝40°，BA＝BD，则∠DAC为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
40．（2023秋 延边州期末）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，若∠C＝58°，则∠BAD的度数为 32° ；
【数学应用】如图②，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度数；
【拓展】如图③，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE交于点O，若∠AOF＝69°，则∠CAE的度数为 42° ．
【考点8】等边三角形的性质
41．（2022春 沂源县期末）如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
42．（2023秋 老河口市期末）如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
43．（2023秋 万州区期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
44．（2023秋 岑溪市期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A9B9A10的边长为（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
45．（2023秋 海南期末）如图，在等边△ABC中AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（ ）
A．4.5 B．5 C．6 D．9
46．（2023秋 靖宇县期末）如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（ ）
A．90 B．60 C．50 D．30
47．（2023秋 邹平市期末）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G．如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝ ．
【考点9】作图-轴对称变换
48．（2023秋 哈密市期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 ．
49．（2023秋 和平县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），点B的坐标为（﹣3，4），点C与点A关于y轴对称．
（1）写出点C的坐标，画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）在y轴上存在一点D，使得S△ACD＝S△ABC，直接写出点D的坐标．
50．（2023秋 南宁期末）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标；
（2）在x轴上有一点D，使得△ADC≌△ABC，请直接写出点D的坐标．
【考点10】利用轴对称设计图案
51．（2023秋 高阳县期末）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种涂法．
A．1 B．2 C．3 D．4
52．（2023秋 徐州期末）如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
53．（2023秋 四平期末）如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．
54．（2023秋 襄城区期末）如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．
（1）请你在图①，图②，图③中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）．
（2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有 个．
【考点11】尺规作图-角平分线和垂直平分线
55．（2023秋 宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
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