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专题03 三角形、轴对称图形、概率
（易错必刷40题17种题型专项训练）
三角形的角平分线、中线和高
三角形三边关系
全等三角形的判定
角平分线的性质
等腰三角形的性质
作图-轴对称变换
轴对称-最短路线问题
可能性的大小
概率公式
三角形的面积
三角形内角和定理
全等三角形的判定与性质
线段垂直平分线的性质
等边三角形的性质
利用轴对称设计图案
轴对称-最短路线问题
概率的意义
一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）
1．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 1 cm2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），
∴S△BCE＝2（cm2），
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．
故答案为1．
二．三角形的面积（共2小题）
2．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【解答】解：C点所有的情况如图所示：
故选：D．
3．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BGD＝8，S△AGE＝3，则△ABC的面积是 30 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BD＝2DC，
∴S△CGD＝S△BGD＝×8＝4；
∵E是AC的中点，
∴S△CGE＝S△AGE＝3，
∴S△BCE＝S△BGD+S△CGD+S△CGE
＝8+4+3
＝15，
∵BE是△ABC的中线，
∴△ABC的面积是：15×2＝30．
故答案为：30．
三．三角形三边关系（共1小题）
4．三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜8 B．5＜x＜13 C．3＜x＜13 D．8≤x＜13
【答案】D
【解答】解：∵5+8＝13，8﹣5＝3，
∴3＜x＜13，
又∵x是三角形中最长的边，
∴8≤x＜13．
故选：D．
四．三角形内角和定理（共7小题）
5．如图，△ABC中，∠A＝60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣60°＝120°，
∵沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，
∴∠AED+∠AFD＝2（∠AEF+∠AFE）＝2×120°＝240°，
∴∠1+∠2＝180°×2﹣240°＝360°﹣240°＝120°．
故选：C．
6．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．87° B．84° C．75° D．72°
【答案】A
【解答】解：如图，
由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故选：A．
7．△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2 ∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，则∠A2022为（ ）
A．° B．° C．° D．°
【答案】D
【解答】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD＝∠ACD∠﹣∠ABC＝∠A，
同理可得∠A2＝∠A1＝∠A，
∴∠A2022＝∠A，
∵∠A＝m°，
∴∠A2022＝°，
故选：D．
8．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 17.5° ；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°；
同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°，
以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝．
故答案为：17.5°，．
9．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A＝55°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 235 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠A＝55°，
∴△ABC中，∠B+∠C＝125°，
又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣125°＝235°，
故答案为：235．
10．在△ABC中，
（1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．
若∠A＝60°，求∠BPC的度数．
若∠A＝n°，则∠BPC＝ 90°+n° ．
（2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数．
（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：
∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？
（4）如图（4），△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段BP、QC交于点E，
△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
【答案】（1）120°，90°+n°．
（2）∠BQC＝90°﹣n°．
（3）∠BPC+∠BQC＝180°
（4）60°，90°，120°．
【解答】解：（1）∵∠A＝60°∴∠ABC+∠ACB＝120°
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝60°
∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝120°．
故答案为：90°+n°．
（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠ABC+∠A，∠A＝n°
∴∠DBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A
＝180°+∠A
＝180°+n°．
∵△ABC的外角平分线相交于点Q．
∴∠QBC＝∠DBC，∠QCB＝∠FCB．
∴∠QBC+∠QCB＝（∠DBC+∠ECB）
＝（180°+n°）＝90°+n°．
∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）
＝180°﹣（90°+n°）
＝90°﹣n°．
（3）由（1）知，∠BPC＝90°+n°，
由（2）知：∠BQC＝90°﹣n°，
∴∠BPC+∠BQC＝180°．
（4）∵BQ，BE分别是△ABC的外角平分线和内角平分线，
∴∠EBQ＝90°．
当∠EBQ＝2∠BQC时，90°＝2×（90°﹣n°）．
∴n＝90．
∴∠A＝90°．
当∠BQC＝2∠E时，
∵∠BQC+∠E＝90°．
∴∠BQC＝60°．
∴90°﹣n°＝60°．
∴n＝60．
∴∠A＝60°．
当∠EBQ＝2∠E时，2∠E＝90°，
∴∠E＝45°．
∴∠BQC＝90°﹣n°＝45°
∴n＝90．
∴∠A＝90°．
当∠E＝2∠BQC时，
∵∠E+∠BQC＝90°．
∴∠BQC＝30°．
∴90°﹣n°＝30°．
∴n＝120．
∴∠A＝120°．
综上：∠A＝90°，60°，120°
11．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝ 150° ，∠XBC+∠XCB＝ 90° ．
（2）如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
【答案】（1）150°；90°．
（2）不变化，∠ABX+∠ACX＝60°．
【解答】解：（1）∵∠A＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝150°，
∵∠X＝90°，
∴∠XBC+∠XCB＝90°，
故答案为：150°；90°．
（2）不变化．
∵∠A＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝150°，
∵∠X＝90°，
∴∠XBC+∠XCB＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB）
＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）
＝150°﹣90°
＝60°．
五．全等三角形的判定（共4小题）
12．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，
共3+0+1＝4个，
故选：D．
13．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 3厘米/秒或厘米/秒 时，能够使△BPE与△CQP全等．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，5＝8﹣3t，
解得t＝1，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；
②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t＝8﹣3t，
解得t＝，
∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒；
故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．
14．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形；
当有2点D、E时，有3对全等三角形；
当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n个点时，图中有个全等三角形．
故答案为：．
15．已知AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）如图①，AC⊥AB，BD⊥AB，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，PC⊥PQ；理由见解答过程；
（2）x＝1cm/s，t＝1cm/s或x＝1.5cm/s，t＝2cm/s．
【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ．
理由如下：
∵t＝1s，点Q与点P的运动速度均为以1cm/s，
∴AP＝BQ＝1，
∵AB＝4cm，
∴PB＝3cm，
∴AC＝PB＝3cm，
又∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠CAP＝∠PBQ＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠CAP＝90°，
∴∠C+∠APC＝90°，
∴∠BPQ+∠APC＝90°，
∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°，
∴PC⊥PQ．
（2）∵点Q的运动速度为x cm/s，运动的时间为t s，
∴BQ＝xt cm，
∵点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，
∴AP＝tcm，则BP＝AB﹣AP＝（4﹣t）cm，
又∵∠CAB＝∠DBA＝60°，
当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：
①当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，
∵AC＝3cm，
由AC＝BP，得：3＝4﹣t，
解得：t＝1，
由AP＝BQ，得：t＝xt，
解得：x＝1，
∴当x＝1cm/s，t＝1cm/s时，△ACP和△BPQ全等；
②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP，
由于AC＝BD＝3，因此BQ＝AC＝3，此时点Q与点D重合，如下图所示：
由AP＝BP，得：t＝4﹣t，
解得：t＝2，
由AC＝BQ，得：xt＝3，
将t＝2代入xt＝3，得x＝1.5．
∴当x＝1.5cm/s，t＝2cm/s时，△ACP和△BPQ全等．
综上所述：当x＝1cm/s，t＝1cm/s或x＝1.5cm/s，t＝2cm/s时，△ACP和△BPQ全等．
六．全等三角形的判定与性质（共4小题）
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
【答案】D
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，
综上所述：其中正确的有①③④．
故选：D．
17．如图∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：
①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，
∵∠E+∠B+∠EAB＝180°，∠F+∠C+∠FAC＝180°，
∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠EAB﹣CAB＝∠FAC﹣∠CAB，
即∠1＝∠2，∴①正确；
在△EAB和△FAC中
，
∴△EAB≌△FAC（AAS），
∴BE＝CF，AC＝AB，∴②正确；
在△ACN和△ABM中
，
∴△ACN≌△ABM（ASA），∴③正确；
∵根据已知不能推出CD＝DN，∴④错误；
∴正确的结论有3个，
故选：C．
18．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．
（1）求∠APO+∠DCO的度数；
（2）求证：AC＝AO+AP．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接BO，如图1所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC，
在△OBD和△OCD中，
，
∴△OBD≌△OCD（SAS），
∴OB＝OC，
又∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，
又∵∠BAC＝120°，
∠ABC＝∠ACB＝30°，
又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°，
∴∠APO+∠DCO＝30°；
（2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示：
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠HAO＝∠CAD＝60°，
又∵OH⊥BP，
∴∠OHA＝90°，
∴∠HOA＝30°，
∴AO＝2AH，
又∵BO＝PO，OH⊥BP，
∴BH＝PH，
又∵HP＝AP+AH，
∴BH＝AP+AH，
又∵AB＝BH+AH，
∴AB＝AP+2AH，
又∵AB＝AC，AO＝2AH，
∴AC＝AP+AO．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数；
（3）若∠A＝∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
∵，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF＝∠BDE，
∴∠DEF＝∠B，
又∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠B＝65°，
∴∠DEF＝65°；
（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE＝EF，
由（2）知，∠DEF＝∠B，
而∠B不可能为直角，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．
七．角平分线的性质（共4小题）
20．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ）
A．四处 B．三处 C．两处 D．一处
【答案】A
【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三角形外角平分线的交点，共三处．
故选：A．
21．如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OAC：S△OBC＝（ ）
A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：2
【答案】A
【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵AB＝4，AC＝6，BC＝8，
∴S△OAB：S△OAC：S△OBC＝2：3：4．
故选：A．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 15 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，
故答案为：15．
23．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝4，若△ABC的面积为25，则△ABC的周长为 12.5 ．
【答案】12.5．
【解答】解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，连接AO，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OD＝OE＝4，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OD＝OF＝4，
∵△ABC的面积为25，
∴△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积＝25，
∴AB OE+BC OD+AC OF＝25，
∴AB OE+BC OD+AC OF＝50，
∴4（AB+BC+AC）＝50，
∴AB+BC+AC＝12.5，
∴△ABC的周长为12.5，
故答案为：12.5．
八．线段垂直平分线的性质（共1小题）
24．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝ 4∠BPC﹣360° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC
＝2（2∠BPC﹣180°）
＝4∠BPC﹣360°，
故答案为：4∠BPC﹣360°．
九．等腰三角形的性质（共3小题）
25．等腰三角形的一个外角是130°，它的顶角的度数是（ ）
A．50° B．80° C．50°和80° D．80°或65°
【答案】C
【解答】解：∵一个外角为130°，
∴三角形的一个内角为50°，
当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，
当50°为底角时，其他两角为50°、80°，
∴等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选：C．
26．如图，已知AB＝A1B，A1C1＝A1A2，A2C2＝A2A3，A3C3＝A3A4，……以此类推，若∠B＝20°，则∠C2023A2023A＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵AB＝A1B，∠B＝20°，
∴∠A＝∠C1A1A＝（180°﹣∠B）＝80°＝，
∴∠A1C1A2+∠C2A2A＝80°，
∵A1C1＝A1A2，
∴∠A1C1A2＝∠C2A2A＝40°＝×80°＝，
∴∠A2C2A3+∠C3A3A＝40°，
∵A2C2＝A2A3，
∴∠A2C2A3＝∠C3A3A＝20°＝××80°＝，
…
∴∠C2023A2023A＝＝，
故答案为：．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高．
（1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明；
（2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，理由如下：
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BED和△CFD中
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
（2）DE+DF＝CG．
证明：如图，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
即AB CG＝AB DE+AC DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
一十．等边三角形的性质（共2小题）
28．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 30a ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，
比如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x，
则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，
所以六边形周长是，
2x+2（x+a）+2（ x+2a）+（x+3a）＝7x+9a，
而最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍，
即x+3a＝2x，
故x＝3a．
所以周长为7x+9a＝30a．
故答案为：30a．
29．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，E在线段AB上时，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，E在线段AB的反向延长线上时，
∵AE＝1，AB＝2，
∴BE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，
过E作EH∥AC交BC的延长线于H，
∴∠BEH＝∠BHE＝60°，
∴△BEH是等边三角形，
∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，
∴∠BED＝∠HEC，
在△BDE和△HCE中，
，
∴△BDE≌△HCE（SAS），
∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，
∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．
综上所述，CD的长为1或3．
一十一．作图-轴对称变换（共1小题）
30．如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出 5 个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．
【答案】答案请看解析过程．
【解答】解：与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示，
在图中最多能画出5个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．
最后一个图的三角形BNC和三角形ANC都与三角形ABC成轴对称，
故答案为：5．
一十二．利用轴对称设计图案（共1小题）
31．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 a+8b （结果用含a，b代数式表示）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b
故答案为：a+8b．
方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形
∴口朝上的有5个，口朝下的有四个，
而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，
即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b，
故答案为a+8b．
一十三．轴对称-最短路线问题（共2小题）
32．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 30° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAD＝30°，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，
∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，
由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC＝DB，
∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，
故答案为：30°．
33．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠DCF的度数为 30° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，
取AB的中点G，连接CG交AD于点F，
∵等边△ABC的边长为4，AE＝2，
∴点E是AC的中点，
所以点G和点E关于AD对称，
此时EF+FC＝CG最小，
根据等边三角形的性质可知：
∠GCB＝ACB＝30°．
所以∠DCF的度数为30°．
故答案为30°．
一十四．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
34．如图，把一个边长为7的正方形经过三次对折后沿图（4）中平行于MN的虚线剪下，得图（5），它展开后得到的图形的面积为45，则AN的长为（ ）
A．1 B．4 C．2 D．2.5
【答案】D
【解答】解：严格按照图中的顺序向上对折，向右对折，向右下方对折，剪去一个直角三角形，可发现剪去4个小正方形，
大正方形的面积为7×7＝49，剩下图形的面积为45；
那么剪去的面积之和为49﹣45＝4，每个小正方形的面积为1；那么边长为1，
由折叠展开的图形易知AN＝（7﹣2）÷2＝2.5．
故选：D．
35．如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠图（2），则∠FGD的度数是 40° ，再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数是 120° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据折叠可知：
∠FGD＝2∠FEG＝40°．
∵AD∥BC
∴∠EFG＝∠DEF＝20°
∴∠CFE＝180°﹣20°﹣40°＝120°
故答案为40°、120°．
一十五．可能性的大小（共1小题）
36．把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（ ）种．
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】B
【解答】解：先放1，2，3的话，那么还剩下4个球，4个球放到3个不同的盒子里，情况有：
0，0，4，分别在1，2，3号盒子中的任意一个中放4个，共3种情况；
0，1，3，分别在1，2，3号盒子中的任意两个中放3个和1个，共6种情况；
0，2，2，分别在1，2，3号盒子中的任意两个中放2个，共3种情况；
1，1，2分别在1，2，3号盒子中的任意两个中放2个和1个，共3种情况；
∴3+6+3+3＝15种．
故选：B．
一十六．概率的意义（共1小题）
37．一个盒子里有3个红球，2个绿球和4个黄球，球的大小、质地完全相同，搅均匀后从盒中随机地摸出1个球．
（1）“摸到红球”是 随机 事件，“摸到黑球”是 不可能 事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）如果要使摸到盒子里黄球的概率为，则需要往盒内再放入多少个黄球？
（3）盒内球的数量不变，你怎样改变各色球的数目，使得每种颜色球被取出的可能性一样大？说明理由．
【答案】（1）随机，不可能；
（2）需要往盒子里再放入1个黄球；
（3）将1个黄色球换成绿色球，可使得每种颜色球被取出的可能性一样大，理由见解答．
【解答】解：（1）因为盒子里有红球、绿球和黄球，
所以“摸到红球”是随机事件，“摸到黑球”是不可能事件，
故答案为：随机，不可能；
（2）设需要往盒内再放入x个黄球，根据题意得：
＝，
解得：x＝1，
经检验：x＝1为原方程的根据，
答：需要往盒内再放入1个黄球；
（3）将1个黄色球换成绿色球，可使得每种颜色球被取出的可能性一样大，
理由：将1个黄色球换成绿色球后，红球、绿球、黄球的个数相同，都是3个，从盒中随机地摸出1个球，三种颜色的球被摸出的概率都是，可能性相等．
一十七．概率公式（共3小题）
38．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒，
∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为．
故选：A．
39．如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，当涂黑1或2或3或4区域时，所有黑色方块构成的图形是轴对称图形，
则P（是轴对称图形）＝＝，
故选：A．
40．一只不透明的袋子中有3个红球，3个绿球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）若袋子内白球有4个，任意摸出一个球是绿球的概率是多少？
（2）如果任意摸出一个球是绿球的概率是，求袋子内有几个白球？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）任意摸出一个球是绿球的概率是；
（2）设袋子内有n个白球，则
＝，
解得n＝6，
∴袋子内有6个白球．，不得复制发布日期：2024/5/24 10:42:36；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907
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专题03 三角形、轴对称图形、概率
（易错必刷40题17种题型专项训练）
三角形的角平分线、中线和高
三角形三边关系
全等三角形的判定
角平分线的性质
等腰三角形的性质
作图-轴对称变换
轴对称-最短路线问题
可能性的大小
概率公式
三角形的面积
三角形内角和定理
全等三角形的判定与性质
线段垂直平分线的性质
等边三角形的性质
利用轴对称设计图案
轴对称-最短路线问题
概率的意义
一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）
1．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
二．三角形的面积（共2小题）
2．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BGD＝8，S△AGE＝3，则△ABC的面积是 ．
三．三角形三边关系（共1小题）
4．三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜8 B．5＜x＜13 C．3＜x＜13 D．8≤x＜13
四．三角形内角和定理（共7小题）
5．如图，△ABC中，∠A＝60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
6．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A．87° B．84° C．75° D．72°
7．△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2 ∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，则∠A2022为（ ）
A．° B．° C．° D．°
8．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 ；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 ．
9．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A＝55°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 度．
10．在△ABC中，
（1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．
若∠A＝60°，求∠BPC的度数．
若∠A＝n°，则∠BPC＝ ．
（2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数．
（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：
∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？
（4）如图（4），△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段BP、QC交于点E，
△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
11．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝ ，∠XBC+∠XCB＝ ．
如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
五．全等三角形的判定（共4小题）
12．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 时，能够使△BPE与△CQP全等．
14．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 ．
15．已知AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）如图①，AC⊥AB，BD⊥AB，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
六．全等三角形的判定与性质（共4小题）
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④
17．如图∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：
①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．
（1）求∠APO+∠DCO的度数；
（2）求证：AC＝AO+AP．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数；
（3）若∠A＝∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形．
七．角平分线的性质（共4小题）
20．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ）
A．四处 B．三处 C．两处 D．一处
21．如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OAC：S△OBC＝（ ）
A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：2
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 ．
23．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝4，若△ABC的面积为25，则△ABC的周长为 ．
八．线段垂直平分线的性质（共1小题）
24．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝ ．
九．等腰三角形的性质（共3小题）
25．等腰三角形的一个外角是130°，它的顶角的度数是（ ）
A．50° B．80° C．50°和80° D．80°或65°
26．如图，已知AB＝A1B，A1C1＝A1A2，A2C2＝A2A3，A3C3＝A3A4，……以此类推，若∠B＝20°，则∠C2023A2023A＝ ．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高．
（1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明；
（2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
一十．等边三角形的性质（共2小题）
28．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 ．
29．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
一十一．作图-轴对称变换（共1小题）
30．如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出 个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．
一十二．利用轴对称设计图案（共1小题）
31．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 （结果用含a，b代数式表示）．
一十三．轴对称-最短路线问题（共2小题）
32．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 ．
33．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠DCF的度数为 ．
一十四．翻折变换（折叠问题）（共2小题）
34．如图，把一个边长为7的正方形经过三次对折后沿图（4）中平行于MN的虚线剪下，得图（5），它展开后得到的图形的面积为45，则AN的长为（ ）
A．1 B．4 C．2 D．2.5
35．如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠图（2），则∠FGD的度数是 ，再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数是 ．
一十五．可能性的大小（共1小题）
36．把10个相同的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，则不同的方法有（ ）种．
A．10 B．15 C．20 D．25
一十六．概率的意义（共1小题）
37．一个盒子里有3个红球，2个绿球和4个黄球，球的大小、质地完全相同，搅均匀后从盒中随机地摸出1个球．
（1）“摸到红球”是 事件，“摸到黑球”是 事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）如果要使摸到盒子里黄球的概率为，则需要往盒内再放入多少个黄球？
（3）盒内球的数量不变，你怎样改变各色球的数目，使得每种颜色球被取出的可能性一样大？说明理由．
一十七．概率公式（共3小题）
38．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
39．如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
40．一只不透明的袋子中有3个红球，3个绿球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球．
（1）若袋子内白球有4个，任意摸出一个球是绿球的概率是多少？
（2）如果任意摸出一个球是绿球的概率是，求袋子内有几个白球？
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