中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 生活的轴对称（易错必刷43题11种题型专项训练）
角平分线的性质
等腰三角形的性质
等边三角形的判定与性质
轴对称的性质
利用轴对称设计图案
翻折变换（折叠问题）
线段垂直平分线的性质
等边三角形的性质
生活中的轴对称现象
作图-轴对称变换
轴对称-最短路线问题
一．角平分线的性质（共11小题）
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．3 D．12
2．在Rt△ABC中，如图所示，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE＝3.8cm，则BC等于（ ）
A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm
3．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ）
A．四处 B．三处 C．两处 D．一处
4．如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OAC：S△OBC＝（ ）
A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：2
5．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
6．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，已知△ABC的面积为8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC，则△BPC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是 （写序号）
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积 ．
10．如图，已知AD∥BC，DE、CE分别平分∠ADC、∠DCB，AB过点E，且AB⊥AD，若AB＝8，则点E到CD的距离为 ．
11．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
二．线段垂直平分线的性质（共6小题）
12．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
13．近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
14．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝ 度．
15．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝ ．
16．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝ ．
17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
三．等腰三角形的性质（共8小题）
18．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为 ．
20．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．
21．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ．
22．如图，在△ADC中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝ 度．
23．已知如图，在△ABC中，AB＝AC，
（1）如图（1），若∠α＝35°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠β＝ ；
（2）如图（2），若∠α＝46°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠β＝ ；
（3）如图（3），D为BC上任意一点．请你思考：在△ABC中，若AB＝AC，AD＝AE，则∠α和∠β之间有什么关系？如果有，请你写出来，并说明你的理由．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高．
（1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明；
（2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
25．已知一个等腰三角形的周长为18cm．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为1：2两部分，那么各边的长为多少？
四．等边三角形的性质（共2小题）
26．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上．△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝4，则△A6B6A7的边长为 ．
27．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
五．等边三角形的判定与性质（共1小题）
28．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 ．
六．生活中的轴对称现象（共1小题）
29．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
七．轴对称的性质（共3小题）
30．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
31．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有 个
32．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
八．作图-轴对称变换（共1小题）
33．如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出 个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．
九．利用轴对称设计图案（共1小题）
34．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 （结果用含a，b代数式表示）．
一十．轴对称-最短路线问题（共6小题）
35．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
36．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
37．如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（ ）
A．5α B．6α C．90°﹣α D．180°﹣α
38．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 ．
39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是 ．
40．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为 ．
一十一．翻折变换（折叠问题）（共3小题）
41．如图，把一个边长为7的正方形经过三次对折后沿图（4）中平行于MN的虚线剪下，得图（5），它展开后得到的图形的面积为45，则AN的长为（ ）
A．1 B．4 C．2 D．2.5
42．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 ．
43．同学们，我们已经学习了角的平分线的定义，请你用它解决下列问题：
（1）如图1，已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，则射线OC一定平分∠AOB．
理由如下：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC＝ ，所以射线 是∠AOB的平分线；
（2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕．
①若EA′恰好平分∠FEB，求出∠FEB的度数；
②过点E再将长方形的另一角∠B做折叠，使点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线EA′上），EH为折痕，H为EH与射线BC的交点．请猜想∠A′EF，∠B′EH与∠A′EB′三者的数量关系，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题04生活的轴对称（易错必刷43题11种题型专项训练）
角平分线的性质
等腰三角形的性质
等边三角形的判定与性质
轴对称的性质
利用轴对称设计图案
翻折变换（折叠问题）
线段垂直平分线的性质
等边三角形的性质
生活中的轴对称现象
作图-轴对称变换
轴对称-最短路线问题
一．角平分线的性质（共11小题）
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．1 B．6 C．3 D．12
【答案】C
【解答】解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，
∠ADB+∠A+∠ABD＝180°
∠ADB＝∠C，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝3，
∴DH＝3，
又∴点D是直线BC外一点，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，
即DP长的最小值为3．
故选：C．
2．在Rt△ABC中，如图所示，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE＝3.8cm，则BC等于（ ）
A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝90°，∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，在Rt△BDE中，BD＝2DE＝7.6，
又∵AD平分∠CAB，
∴DC＝DE＝3.8，
∴BC＝BD+DC＝7.6+3.8＝11.4．
故选：C．
3．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（ ）
A．四处 B．三处 C．两处 D．一处
【答案】A
【解答】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三角形外角平分线的交点，共三处．
故选：A．
4．如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OAC：S△OBC＝（ ）
A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：2
【答案】A
【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵AB＝4，AC＝6，BC＝8，
∴S△OAB：S△OAC：S△OBC＝2：3：4．
故选：A．
5．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】D
【解答】解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ABE≌△ACF（第一个正确）
∴AE＝AF，
∴BF＝CE，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE，
∴△BDF≌△CDE（第二个正确）
∴DF＝DE，
连接AD
∵AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD，
∴∠FAD＝∠EAD，
即点D在∠BAC的平分线上（第三个正确）
故选：D．
6．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：如图所示，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，
∵点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，
∴OE＝OD＝OF，
∵△ABC的面积是12，周长是8，
∴AB×OE+BC×OD+AC×OF＝12，
即×8×OD＝12，
即OD＝3，
故选：C．
7．如图，已知△ABC的面积为8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC，则△BPC的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分线，
∴AP＝PD，
∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，
∴S△BPC＝S△BPD+S△CPD＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∵△ABC的面积为8，
∴S△BPC＝×8＝4．
故选：B．
8．如图△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正确的是 ①②④⑤ （写序号）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，故①正确；
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC＝∠ADE，AC＝AE，
∴DA平分∠CDE，故②正确；
BE+AC＝BE+AE＝AB，故④正确；
∵∠BAC+∠B＝90°，
∠BDE+∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠BDE，故⑤正确；
∵∠ADE+∠BAD＝90°，而∠BAD≠∠B，
∴∠BDE≠∠ADE，
∴DE平分∠ADB错误，故③错误；
综上所述，正确的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积 11 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF＝DH，
在Rt△FDE和Rt△HDG中，
，
∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL），
同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL），
设△EDF的面积为x，由题意得，
48﹣x＝26+x，
解得x＝11，
即△EDF的面积为11，
故答案为：11．
10．如图，已知AD∥BC，DE、CE分别平分∠ADC、∠DCB，AB过点E，且AB⊥AD，若AB＝8，则点E到CD的距离为 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点E作EF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AB⊥AD，
∴∠A＝∠B＝180°﹣90°＝90°，
∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∴AE＝EF＝BE，
∵AB＝8，
∴EF＝×8＝4，
即点E到CD的距离为4．
故答案为：4．
11．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【答案】图形见解答内容．
【解答】解：如图：
点C即为所求作的点．
二．线段垂直平分线的性质（共6小题）
12．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，
故选：B．
13．近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【答案】A
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：A．
14．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝ 24 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°，
故答案为：24．
15．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝ 10 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，
∴∠ACE＝∠ECG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF＝CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），
∴AF＝BG，
设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，
∴12﹣x＝8+x，
解得x＝2，
∴AF＝12﹣2＝10．
故答案为：10．
16．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝ 4∠BPC﹣360° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC
＝2（2∠BPC﹣180°）
＝4∠BPC﹣360°，
故答案为：4∠BPC﹣360°．
17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
三．等腰三角形的性质（共8小题）
18．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
故选：A．
19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为 60°或120° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是60°；
当高在三角形外部时，顶角是120°．
故答案为：60°或120°．
20．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 20 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，
解得x＝4，y＝8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，
所以，三角形的周长为20．
故答案为：20．
21．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ 或 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°
∴特征值k＝＝
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°
∴特征值k＝＝
综上所述，特征值k为或
故答案为或
22．如图，在△ADC中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝ 80 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝25°；
∴∠ABD＝∠BDC+∠C＝50°；
△ABD中，AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°；
故∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝80°．
故答案为：80．
23．已知如图，在△ABC中，AB＝AC，
（1）如图（1），若∠α＝35°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠β＝ ；
（2）如图（2），若∠α＝46°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠β＝ 23° ；
（3）如图（3），D为BC上任意一点．请你思考：在△ABC中，若AB＝AC，AD＝AE，则∠α和∠β之间有什么关系？如果有，请你写出来，并说明你的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠α＝∠CAD，
∵∠α＝35°，
∴∠α＝∠CAD＝35°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝，
∴∠β＝90°﹣＝；
故答案为：；
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠α＝∠CAD，
∵∠α＝46°，
∴∠BAD＝∠CAD＝46°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67°，
∴∠β＝23°；
故答案为：23°；
（3）∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠α+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠β＝∠AED+∠β＝（∠β+∠C）+∠β＝2∠EDC+∠C
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠α＝2∠β．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高．
（1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明；
（2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，理由如下：
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BED和△CFD中
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF．
（2）DE+DF＝CG．
证明：如图，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
即AB CG＝AB DE+AC DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
25．已知一个等腰三角形的周长为18cm．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为1：2两部分，那么各边的长为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：
设底边BC＝acm，则AC＝AB＝2acm，
∵三角形的周长是18cm，
∴2a+2a+a＝18，
∴a＝，2a＝，
答：等腰三角形的三边长是cm，cm，cm．
（2）解：
设BC＝acm，AB＝AC＝2bcm，
∵中线BD将△ABC的周长分为1：2两部分，18×＝12，18×＝6，
∴2b+b＝6，b+a＝12或2b+b＝12，b+a＝6，
解得：a＝10，b＝2或b＝4，a＝2，
∴①三角形三边长是10cm，4cm，4cm，
因为4+4＜10，不符合三角形三边关系定理，
∴此种情况舍去，
②三角形的三边长是2cm，8cm，8cm，
符合三角形的三边关系定理，
综合上述：符合条件的三角形三边长是8cm，8cm，2cm，
答：等腰三角形的边长是8cm，8cm，2cm．
四．等边三角形的性质（共2小题）
26．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上．△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝4，则△A6B6A7的边长为 128 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝4，
∴A2B1＝4，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝16＝24，
A4B4＝8B1A2＝32＝25，
A5B5＝16B1A2＝64＝26，
以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n+1，
∴△A6B6A7的边长为：26+1＝128．
故答案为：128．
27．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，E在线段AB上时，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，E在线段AB的反向延长线上时，
∵AE＝1，AB＝2，
∴BE＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，
过E作EH∥AC交BC的延长线于H，
∴∠BEH＝∠BHE＝60°，
∴△BEH是等边三角形，
∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，
∴∠BED＝∠HEC，
在△BDE和△HCE中，
，
∴△BDE≌△HCE（SAS），
∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，
∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．
综上所述，CD的长为1或3．
五．等边三角形的判定与性质（共1小题）
28．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 400 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图①
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，
∴B′O＝AB，CO＝AC，
∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．
又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，
第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，
第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．
故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100＝400．
故答案为：400．
六．生活中的轴对称现象（共1小题）
29．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【解答】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2020÷6＝336…4，
∴当点P第2020次碰到长方形的边时为第337个循环组的第4次反弹，
∴第2020次碰到长方形的边时的点为图中的点D，
故选：D．
七．轴对称的性质（共3小题）
30．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【解答】解：如图所示：
与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有8个，
故选：D．
31．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有 3 个
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个：
故答案为：3．
32．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA．
（1）求证：∠BAD＝∠EDC；
（2）作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．
又∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠EDC+∠DEC＝∠ACB，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EDC+∠DEC．
∵DE＝DA，
∴∠DAC＝∠DEC，
∴∠BAD＝∠EDC．
（2）猜想：DM＝AM．理由如下：
∵点M、E关于直线BC对称，
∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM．
又由（1）知∠BAD＝∠EDC，
∴∠MDC＝∠BAD．
∵∠ADC＝∠BAD+∠B，
即∠ADM+∠MDC＝∠BAD+∠B，
∴∠ADM＝∠B＝60°．
又∵DA＝DE＝DM，
∴△ADM是等边三角形，
∴DM＝AM．
八．作图-轴对称变换（共1小题）
33．如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出 5 个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．
【答案】答案请看解析过程．
【解答】解：与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示，
在图中最多能画出5个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．
最后一个图的三角形BNC和三角形ANC都与三角形ABC成轴对称，
故答案为：5．
九．利用轴对称设计图案（共1小题）
34．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 a+8b （结果用含a，b代数式表示）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b
故答案为：a+8b．
方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形
∴口朝上的有5个，口朝下的有四个，
而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，
即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b，
故答案为a+8b．
一十．轴对称-最短路线问题（共6小题）
35．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140° B．100° C．50° D．40°
【答案】B
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则
△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，
故选：B．
36．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．130°
【答案】B
【解答】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∴∠AE′F′＝65°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
∴∠E′B′G＝∠E′BG，
∵∠BAC＝50°，
∴∠AB′F′＝40°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠BE′F′＝50°，
∴∠AE′B＝115°．
故选：B．
37．如图，∠MON＝α，α＜30°，点A为ON上一定点，点C为ON上一动点，B，D为OM上两动点，当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝（ ）
A．5α B．6α C．90°﹣α D．180°﹣α
【答案】B
【解答】解：作点C关于OM的对称点C′，过点C′作射线OP，则∠MOP＝α，连接C′B，C′D，则C′B＝CB，C′D＝CD，作点D关于OP的对称点D′，过点D′作射线OQ，则∠POQ＝α，连接C′D′，则C′D′＝C′D＝CD，
∴AB+BC+CD＝AB+BC′+C′D′，
要使AB+BC+CD最小，需点A，B，C′，D′在一条直线上，且AD′⊥OQ，
∵α＜30°，
∴∠NOQ＝3α＜90°，
∴可以过点A作AD′⊥OQ，
此时∠BCD＝BCD′＝∠MOQ＝2α，
∠ABC＝∠BCD+∠BC′D＝4α，
∴当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC＝2α+4α＝6α，
故选：B．
38．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 30° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAD＝30°，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，
∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，
由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC＝DB，
∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，
故答案为：30°．
39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．
∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，
∴∠PAQ＝∠P′AQ．
又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，
∴∠PAQ＝∠BAQ，
∴∠P′AQ＝∠BAQ，
∴点P′在边AB上．
∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．
∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，
∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，
此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．
故填：2．
40．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于点D，
∴AD＝6，
∵EF垂直平分AB，
∴点P到A，B两点的距离相等，
∴AD的长度＝PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为6，
故答案为：6．
一十一．翻折变换（折叠问题）（共3小题）
41．如图，把一个边长为7的正方形经过三次对折后沿图（4）中平行于MN的虚线剪下，得图（5），它展开后得到的图形的面积为45，则AN的长为（ ）
A．1 B．4 C．2 D．2.5
【答案】D
【解答】解：严格按照图中的顺序向上对折，向右对折，向右下方对折，剪去一个直角三角形，可发现剪去4个小正方形，
大正方形的面积为7×7＝49，剩下图形的面积为45；
那么剪去的面积之和为49﹣45＝4，每个小正方形的面积为1；那么边长为1，
由折叠展开的图形易知AN＝（7﹣2）÷2＝2.5．
故选：D．
42．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 9 ．
【答案】9．
【解答】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC，∠CB'E＝30°，CE＝3，
∴B'E＝BE＝2CE＝6，
∴BC＝CE+BE＝3+6＝9．
故答案为：9．
43．同学们，我们已经学习了角的平分线的定义，请你用它解决下列问题：
（1）如图1，已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，则射线OC一定平分∠AOB．
理由如下：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC＝ ∠AOC ，所以射线 OC 是∠AOB的平分线；
（2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕．
①若EA′恰好平分∠FEB，求出∠FEB的度数；
②过点E再将长方形的另一角∠B做折叠，使点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线EA′上），EH为折痕，H为EH与射线BC的交点．请猜想∠A′EF，∠B′EH与∠A′EB′三者的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠AOC，OC；
（2）①120°；
②2∠A′EF+2∠B′EH＝180°﹣∠A′EB′或2∠A′EF+2∠B′EH＝180°+∠A′EB′．理由见解答．
【解答】解：（1）因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC＝∠AOC，所以射线OC是∠AOB的平分线；
故答案为：∠AOC，OC；
（2）①由翻折可知：∠AEF＝∠A′EF，
∵EA′恰好平分∠FEB，
∴∠A′EF＝∠A′EB，
∵∠AEF+∠A′EF+∠A′EB＝180°，
∴3∠AEF＝180°，
∴∠AEF＝60°，
∴∠FEB＝180°﹣60°＝120°；
∴∠FEB的度数为120°；
②根据题意点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线EA′上），EH为折痕，
∴2∠A′EF+2∠B′EH＝180°±∠A′EB′，
所以分两种情况讨论：
当EB′落在A′E右侧时，2∠A′EF+∠A′EB′+2∠B′EH＝180°，
∴2∠A′EF+2∠B′EH＝180°﹣∠A′EB′；
当EB′落在A′E左侧时，2∠A′EF+2∠B′EH﹣∠A′EB′＝180°，
∴2∠A′EF+2∠B′EH＝180°+∠A′EB′．
综上所述：2∠A′EF+2∠B′EH＝180°﹣∠A′EB′或2∠A′EF+2∠B′EH＝180°+∠A′EB′．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/15 11:26:35；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
