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专题05 生活中的轴对称（压轴必刷7题型37题）
一．角平分线的性质（共6小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，
∵DA平分∠BAC，
∴DE＝DH，
同理可得DF＝DH，
∴DE＝DF，
∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴四边形BEDF为正方形，
∴BE＝BF＝DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADH中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴AE＝AH，
同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），
∴CF＝CH，
设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，
∵AH+CH＝AC，
∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，
即BE＝2，
在FC上截取FP＝EM，如图，
∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，
∴△DEM≌△DFP（SAS），
∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，
∴∠MDP＝∠EDF＝90°，
∵∠MDN＝45°，
∴∠PDN＝45°，
在△DMN和△DPN中，
，
∴△DMN≌△DPN（SAS），
∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，
∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．
故答案为4．
2．如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于 25 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD＝ED，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积＝20，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积＝△BCD的面积﹣△CDE的面积＝45﹣20＝25．
故答案为：25．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
4．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠EBC＝180°
求证：2AE＝AB+AD．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：过C作CF⊥AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC＝∠CEB＝90°，
在△AFC和△AEC中，
∴△AFC≌△AEC（AAS），
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵∠ADC+∠EBC＝180°
∴∠FDC＝∠EBC，
在△FDC和△EBC中，
∴△FDC≌△EBC（AAS）
∴DF＝EB，
∴AB+AD＝AE+EB+AD＝AE+DF+AD＝AF+AE＝2AE
∴2AE＝AB+AD
5．观察、猜想、探究：
在△ABC中，∠ACB＝2∠B．
（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；
（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】
解：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，
∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD＝AD，DE＝DC，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE＝DC，
则AB＝BE+AE＝CD+AC；
（2）AB＝CD+AC，理由为：
在AB上截取AG＝AC，如图2所示，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
∵在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SAS），
∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AGD＝2∠B，
又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BE＝DG＝DC，
则AB＝BG+AG＝CD+AC；
（3）AB＝CD﹣AC，理由为：
在AF上截取AG＝AC，如图3所示，
∵AD为∠FAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
∵在△ADG和△ACD中，
，
∴△ADG≌△ACD（SAS），
∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FGD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FGD＝2∠B，
又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．
6．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB．
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，
∴MC＝ME，
∵M为BC的中点，
∴BM＝MC＝ME，
∵∠B＝90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB；
（2）AM⊥DM，
证明：∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠MAD＝∠BAD，∠MDA＝∠ADC，
∴∠MAD+∠MDA＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∴AM⊥DM．
二．线段垂直平分线的性质（共2小题）
7．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
8．如图甲，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40°．
（1）求∠NMB的大小．
（2）如图乙，如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．
（3）根据（1）（2）的计算，你能发现其中的蕴涵的规律吗？请写出你的猜想并证明．
（4）如图丙，将（1）中的∠A改为钝角，其余条件不变，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？请你把∠A代入一个钝角度数验证你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝20°；
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°，
∴∠B＝∠ACB＝＝55°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝35°；
（3）猜想：∠NMB＝∠A．
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝＝90°﹣∠A，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝∠A；
（4）不需要修改．
若∠A＝100°，
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝＝40°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠NMB＝90°﹣∠B＝50°＝∠A．
三．等腰三角形的性质（共10小题）
9．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝70°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°；
同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°，
∴第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（） n×70°．
故选：A．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在AB的延长线上，点D在边AC上，且EB＝CD＝4，线段DE交边BC于点F，过点F作FG⊥DE交线段CE于点G，CE⊥AC，△GEF的面积为5，则EG的长 5 ．
【答案】5．
【解答】解：过D作DH∥AB交BC于H，
则∠DHC＝∠ABC，∠EBF＝∠DHF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DHC＝∠ACB，
∴DH＝CD，
∵BE＝CD，
∴DH＝BE，
在△BEF与△HDF中
，
∴△BEF≌△HDF，（AAS），
∴EF＝DF，
延长GC到M，使EG＝GM，连接DM，DG，
∵S△EFG＝5，EF＝DF，EG＝MG，
∴S△DFG＝S△EFG＝5，S△DGM＝S△DGE＝5+5＝10，
∴S△DEM＝10+10＝20，
∵DC＝4，AC⊥CE，
∴S△DEM＝，
∴20＝，
解得：EM＝10，
∴EG＝MG＝10＝5，
故答案为：5．
11．如图，已知△ABC中，AC＝BC，且点D在△ABC外，且点D在AC的垂直平分线上，连接BD，若∠DBC＝30°，∠ACD＝13°，则∠A＝ 73 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过C作CM⊥BD，交BD的延长线于M，过D作DN⊥AC于N，
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DN是AC的垂直平分线，
∴NC＝AC，
∵AC＝BC，
∴NC＝BC，
在Rt△BMC中，∠DBC＝30°，
∴CM＝BC，
∴CM＝CN，
在Rt△DNC和Rt△DMC中，
∵，
∴Rt△DNC和Rt△DMC（HL），
∴∠DCM＝∠DCN＝13°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠MCB＝60°，
∴∠ACB＝60°﹣26°＝34°，
又∵AC＝BC，
∴∠A＝（180°﹣34°）＝73°，
故答案为：73．
12．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 角平分线上的点到角的两边距离相等
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC；
（3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK＝∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，
由（2）的结论得AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠DAE＝50°，
∴∠ADE＝∠AED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣50°﹣30°﹣65°＝35°；
（2）∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，
∴∠E＝70°﹣15°＝55°，
∴∠ADE＝∠AED＝55°，
∴∠ADC＝40°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝70°，
∴∠BAD＝30°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α
∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α
∴，∴2α＝β，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α
∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．
14．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝30°；
（2）设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°+，
∴∠CDE＝x，
∴∠BAD＝2∠CDE；
（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，
∵AB＝AC，∠C＝y，
∴∠B＝∠C＝y，
∵∠CDE＝x，
∴∠AED＝y+x，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝y+x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴y+∠BAD＝y+x+x，
∴∠BAD＝2∠CDE．
15．（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数；
（2）如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；
（3）如果把第（1）题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45度；
（2）不改变．
设∠CAE＝x，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE＝x，
∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，
在△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2x，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝x+45°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E，
＝180°﹣（90°﹣2x）﹣x＝90°+x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，
＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45°；
（3）∠DAE＝∠BAC．
理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，
则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，
∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x，
∴∠DAE＝∠BAC．
16．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．
（1）AD与CE相等吗？为什么；
（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；
（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，则α，β之间满足一定的数量关系，请直接写出这个结论．
【答案】（1）AD＝CE，理由见解析；
（2）30°；
（3）2α﹣β＝180°．
【解答】解：（1）AD＝CE，
理由：∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴AD＝CE；
（2）∵BD＝BC，∠BCD＝75°
∴∠BCD＝∠BDC＝75°，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝60°，
由（1）知△ABD≌△EBC，
∴∠BAD＝∠BEC，
∵∠ADB＝∠EDC，
∴∠ACE＝∠ABD＝30°；
（3）∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD，
由（1）知△ABD≌△EBC，
∴∠BAD＝∠BEC，
∵∠ADB＝∠EDC，
∴∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，
∵∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α，
∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β，
∵∠DBC+∠BDC+∠BCD＝180°，
∴β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°，
∴2α﹣β＝180°．
17．如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝16cm，点D是AB的中点．有一点E在BC上从点B向点C运动，速度为2cm/s，同时有一点F在AC上从点C向点A运动，其中一点停止运动另一点也随之停止运动．问当点F的运动速度是多少时，△DBE和△EFC全等？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设点F运动的时间为ts，点F运动的速度为xcm/s，则BE＝2t，EC＝16﹣2t，CF＝tx，
∵点D为AB的中点，
∴BD＝AB＝9，
∵∠B＝∠C，
∴当CE＝BD，CF＝BE时，可根据“SAS”判断△DBE≌△ECF，即16﹣2t＝9，tx＝2t，解得t＝3.5，x＝2；
当CE＝BE，CF＝BD时，可根据“SAS”判断△DBE≌△EFC，即16﹣2t＝2t，tx＝9，解得t＝4，x＝2.25，
综上所述，当点F的运动速度是2厘米/秒或2.25厘米/秒时，△DBE和△EFC全等．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25 °，∠DEC＝ 115 °；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠AED＝∠EDC+∠C＝40°+25°＝65°，
∠DEC＝180°﹣∠AED＝115°．
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE．
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）．
故答案为：25，115．
四．等边三角形的性质（共8小题）
19．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展而来边数记为a3＝12，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4＝20，第（3）个多边形由五边形“扩展”而来，边数记为a5＝30…依此类推，由正n边形“扩展而来的多边形的边数记为an（n≥3），则结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵根据图形可知：a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝5×6，…，a12＝12×13，
∴
＝++++…+
＝﹣+﹣+…+﹣
＝﹣
＝，
故选：D．
20．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为 128
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设等边三角形的边长一次为a1，a2，a3，…，
∵△A1B1B2是等边三角形，
∴B1A1＝B2A1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OB1＝B1A1＝1，
∴B2A1＝1，
∵△B2A2B3、△B3A3B4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴B1A1∥A2B2∥A3B3，A1B2∥A2B3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴a2＝2a1，a3＝4a1＝4，
a4＝8a1＝8，a5＝16a1，
以此类推：a8＝27＝128，
即△A8B8B9的边长为128，
故答案为：128．
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，则△ABC的面积是 11 ．
【答案】11．
【解答】解：由图可知，S△ABC＝SABD﹣S丙﹣（S△ACE﹣S甲）﹣（S△BCF﹣S乙），
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2+b2＝c2．
∵△ACE，△ABD，△BCF是等边三角形，
则S△ACE＝b2，S△ABD＝c2，S△BCF＝a2，
∴S△ABC＝c2﹣3﹣（b2﹣8）﹣（a2﹣6）＝11．
故答案为：11．
22．已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．
（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；
（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）AD＝CE，
证明：如图1，过点D作DP∥BC，交AB于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，
∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB＝∠CBD，
∴∠PDB＝∠DEC，
又∠BPD＝∠A+∠ADP＝120°，∠DCE＝∠A+∠ABC＝120°，
即∠BPD＝∠DCE，
在△BPD和△DCE中，∠PDB＝∠DEC，∠BPD＝∠DCE，DB＝DE，
∴△BPD≌△DCE，
∴PD＝CE，
∴AD＝CE；
（2）如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，
∵△ABC是等边三角形，
∴△APD也是等边三角形，
∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDA＝60°，
∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠DEC，
∵DP∥BC，
∴∠PDB＝∠CBD，
∴∠PDB＝∠DEC，
在△BPD和△DCE中，，
∴△BPD≌△DCE，
∴PD＝CE，
∴AD＝CE．
23．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当动点P、Q同时运动2s时，则BP＝ 1 cm，BQ＝ 2 cm．
（2）当动点P、Q同时运动t（s）时，分别用含有t的式子表示；BP＝ （3﹣t） cm，BQ＝ t cm．
（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）BQ＝1×2＝2（cm），BP＝3﹣2＝1（cm），
故答案为1，2；
（2）BP＝（3﹣t） cm，BQ＝tcm，
故答案为（3﹣t），t；
（3）根据题意，得AP＝t cm，BQ＝t cm．
在△ABC中，AB＝BC＝3 cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm．
在△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm．，BQ＝tcm，
若△PBQ是直角三角形，
则只有∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°
①当∠BQP＝90°时，BQ＝BP，
即t＝（3﹣t），解得t＝1；
②当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ，
即3﹣t＝t．解得t＝2．
答：当t＝1s或t＝2s时，△PBQ是直角三角形．
24．如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）MN＝BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE＝BM，连接DE，如图所示：
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，
又∵BD＝DC，且∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°，
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
在△MBD与△ECD中，
，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE，
又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，
∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°，
∴∠MDN＝∠NDE＝60°，
在△DMN与△DEN中，
，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN＝EN，
又∵NE＝NC+CE，BM＝CE，
∴MN＝BM+NC；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
利用（1）中的结论得出：BM＝CE，MN＝EN，
△AMN的周长＝AM+MN+AN
＝AM+NE+AN＝AM+AN+NC+CE＝AM+AN+NC+BM
＝（AM+BM）+（NC+AN）
＝AB+AC＝2+2＝4．
25．如图，以△ABC的边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD相交于点F．
求证：（1）△DAC≌△BAE；
（2）BE＝DC；
（3）求∠DFE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝∠AEC＝∠ACE＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴BE＝DC；
（3）∵△DAC≌△BAE，
∴∠ACD＝∠AEB，
则∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝∠FEC+∠ACD+∠ACE＝∠FEC+∠AEB+∠ACE＝∠AEC+∠ACE＝120°．
26．如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．
（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；
（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；
（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠ECF不变为60°．（1分）
理由如下：
∵△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，
∴BC＝AC＝CD，∠B＝∠DAC＝60°，
又∵E、F两点运动时间、速度相等，
∴BE＝AF，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴∠ECB＝∠FCA．（4分）
所以∠ECF＝∠FCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝∠BCA＝60°；（6分）
（2）不变化．理由如下：
∵四边形AECF的面积＝△AFC的面积+△AEC的面积，△BCE≌△ACF，
∴△AEC的面积+△BEC的面积＝△ABC的面积；（8分）
（3）证明：由（1）知CE＝CF，∠ECF＝60°，
∴△CEF为等边三角形，
∵∠FCD+∠DFC＝120°，∠AFE+∠DFC＝120°，
∴∠ECF﹣∠ACF＝∠ACD﹣∠ACF，即∠AFE＝∠FCD，
所以∠ACE＝∠FCD＝∠AFE．（10分）
五．轴对称的性质（共4小题）
27．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故选：C．
28．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（ ）
A．16 B．19 C．20 D．21
【答案】B
【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，
∴CD的最大值为19，
故选：B．
29．如图，∠BAC＝90°，点B是射线AM上的一个动点．点C是射线AN上一个动点，且线段BC的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连接AD，若2AD＝BC，则∠ABD的度数是 30°或150° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：分两种情况：
如图，当AB＞AC时，取BC的中点E，连接AE，DE，
则AE＝DE＝BC，
即BC＝2AE＝2DE，
又∵BC＝2AD，
∴AD＝AE＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
又∵BC垂直平分AD，
∴∠AEC＝30°，
又∵BE＝AE，
∴∠ABC＝∠AEC＝15°，
∴∠ABD＝2∠ABC＝30°；
如图，当AB＜AC时，同理可得∠ACD＝30°，
又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝150°，
故答案为：30°或150°．
30．综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小、形状完全相同的含有的直角三角板如图1放置，PA，PB在直线MN上，且三角板PAC和三角板PBD均可以点P为顶点运动．操作探究：
（1）如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；
（2）如图3，在图1基础上，若三角板PAC开始绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，同时三角板PBD绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转，当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当PC，PB，PD三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
（3）如图4，作三角板PBD关于直线PD的对称图形PB1D．三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，当AC∥B1P时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】（1）30°．
（2）15s或s．
（3）30°．
【解答】解：（1）∵PE平分∠CPD，
∴设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y．
则∠APF＝60°+y，
∠DPF＝2x﹣y，
∵PF平分∠APD，
∴2x﹣y＝60°+y，
∴x﹣y＝30°，
∴∠EPF＝x﹣y＝30°．
（2）设旋转的时间为t秒，则0≤t≤36，
当PD平分∠BPC时，∠CPD＝∠BPD＝30°，
∵∠BPM＝t°，∠APN＝5t°，
∴30﹣t+30+60+5t＝180，
∴t＝15，
当PC平分∠BPD时，∠BPC＝15°，
∴5t+60+15﹣180＝t，
∴t＝，
当PB平分∠CPD时，PA与PD重合，
∴5t﹣t＝120+30，
∴t＝＞36，不合题意，舍去．
∴旋转的时间15s或s．
（3）由已知得∠BPB1＝60°，
∴当AC∥B1P时，∠APN＝30°，
∴旋转角的度数为30°．
六．轴对称-最短路线问题（共5小题）
31．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解答】解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝10+2＝12．
故选：D．
32．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 30° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAD＝30°，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，
∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，
由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，
∴△DCG是等边三角形，
∴DG＝DC＝DB，
∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，
故答案为：30°．
33．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8，M、N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为8，则∠AOB＝ 30° ．
【答案】30°．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周长的最小值是8，
∴PM+PN+MN＝8，
∴DM+CN+MN＝8，即CD＝8＝OP，
∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°，
故答案为：30°．
34．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为 20 ．
【答案】20
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BF＝14，
∴BG＝2BF＝28，
∵BE＝12，
∴EG＝16，
∵CE＝CG＝8，
∴AC＝BC＝20，
故答案为：20．
七．翻折变换（折叠问题）（共4小题）
35．将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝8°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40° B．40.5° C．41° D．42°
【答案】C
【解答】解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，
根据折叠性质可知：
∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，
∵∠B′AD′＝8°，
∴∠DAF＝8°+β，
∠BAE＝8°+α，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠DAB＝90°，
∴8°+β+β+8°+8°+α+α＝90°，
∴α+β＝33°，
∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′
＝8°+α+β
＝8°+33°
＝41°．
则∠EAF的度数为41°．
故选：C．
36．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+……+S2022＝ ．
【答案】1﹣．
【解答】解：方法一：由题意可得：S1＝，S2＝＝（）2，S3＝（）3，
，
Sn＝（）n，
∴S1+S2+S3+ +Sn＝+（）2+（）3+ +（）n，
令M＝+（）2+（）3+ +（）n，
则2M＝1++（）2+（）3+ +（）n﹣1，
∴2M﹣M＝1﹣（）n，
即M＝1﹣（）n，
∴S1+S2+S3+……+S2022＝1﹣（）2022＝1﹣．
方法二：因为大正方形面积为1，
第2022次折叠后余下的面积为S2022，
∴S1+S2+S3+……+S2022＝1﹣（）2022＝1﹣．
故答案为：1﹣．
37．如图①，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕
（1）图①中，若∠1＝30°，求∠A′BD的度数；
（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与BA′重合，折痕为BE，如图②所示，∠1＝30°，求∠2以及∠CBE的度数；
（3）如果在图②中改变∠1的大小，则BA′的位置也随之改变，那么问题（2）中∠CBE的大小是否改变？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠1＝30°，
∴∠1＝∠ABC＝30°，
∴∠A′BD＝180°﹣30°﹣30°＝120°
（2）∵∠A′BD＝120°，∠2＝∠DBE，
∴∠2＝∠A′BD＝60°，
∴∠CBE＝∠1+∠2＝30°+60°＝90°．
（3）结论：∠CBE不变．
∵∠1＝∠ABA′，∠2＝∠A′BD，∠ABA′+∠A′BD＝180°，
∴∠1+∠2＝∠ABA′+∠A′BD
＝（∠ABA′+∠A′BD）
＝×180°
＝90°．
即∠CBE＝90°．
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专题05 生活中的轴对称（压轴必刷7题型37题）
一．角平分线的性质（共6小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为 ．
2．如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于 ．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
4．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠EBC＝180°
求证：2AE＝AB+AD．
5．观察、猜想、探究：
在△ABC中，∠ACB＝2∠B．
（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；
（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
6．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB．
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．
二．线段垂直平分线的性质（共2小题）
7．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
8．如图甲，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40°．
（1）求∠NMB的大小．
（2）如图乙，如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．
（3）根据（1）（2）的计算，你能发现其中的蕴涵的规律吗？请写出你的猜想并证明．
（4）如图丙，将（1）中的∠A改为钝角，其余条件不变，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？请你把∠A代入一个钝角度数验证你的结论．
三．等腰三角形的性质（共10小题）
9．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在AB的延长线上，点D在边AC上，且EB＝CD＝4，线段DE交边BC于点F，过点F作FG⊥DE交线段CE于点G，CE⊥AC，△GEF的面积为5，则EG的长 ．
11．如图，已知△ABC中，AC＝BC，且点D在△ABC外，且点D在AC的垂直平分线上，连接BD，若∠DBC＝30°，∠ACD＝13°，则∠A＝ 度．
12．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
13．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
14．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
15．（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数；
（2）如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；
（3）如果把第（1）题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？
16．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．
（1）AD与CE相等吗？为什么；
（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；
（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，则α，β之间满足一定的数量关系，请直接写出这个结论．
17．如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝16cm，点D是AB的中点．有一点E在BC上从点B向点C运动，速度为2cm/s，同时有一点F在AC上从点C向点A运动，其中一点停止运动另一点也随之停止运动．问当点F的运动速度是多少时，△DBE和△EFC全等？
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．
四．等边三角形的性质（共8小题）
19．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展而来边数记为a3＝12，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4＝20，第（3）个多边形由五边形“扩展”而来，边数记为a5＝30…依此类推，由正n边形“扩展而来的多边形的边数记为an（n≥3），则结果是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，则△ABC的面积是 ．
22．已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．
（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；
（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
23．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当动点P、Q同时运动2s时，则BP＝ cm，BQ＝ cm．
（2）当动点P、Q同时运动t（s）时，分别用含有t的式子表示；BP＝ cm，BQ＝ cm．
（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
24．如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．
25．如图，以△ABC的边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD相交于点F．
求证：（1）△DAC≌△BAE；
（2）BE＝DC；
（3）求∠DFE的度数．
26．如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．
（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；
（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；
（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．
五．轴对称的性质（共4小题）
27．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
28．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（ ）
A．16 B．19 C．20 D．21
29．如图，∠BAC＝90°，点B是射线AM上的一个动点．点C是射线AN上一个动点，且线段BC的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连接AD，若2AD＝BC，则∠ABD的度数是 ．
30．综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小、形状完全相同的含有的直角三角板如图1放置，PA，PB在直线MN上，且三角板PAC和三角板PBD均可以点P为顶点运动．操作探究：
（1）如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；
（2）如图3，在图1基础上，若三角板PAC开始绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，同时三角板PBD绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转，当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当PC，PB，PD三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
（3）如图4，作三角板PBD关于直线PD的对称图形PB1D．三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，当AC∥B1P时，请直接写出旋转角的度数．
六．轴对称-最短路线问题（共5小题）
31．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
32．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 ．
34．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8，M、N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为8，则∠AOB＝ ．
33．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为 ．
七．翻折变换（折叠问题）（共4小题）
34．将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝8°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40° B．40.5° C．41° D．42°
35．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+……+S2022＝ ．
36．如图①，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕
（1）图①中，若∠1＝30°，求∠A′BD的度数；
（2）如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与BA′重合，折痕为BE，如图②所示，∠1＝30°，求∠2以及∠CBE的度数；
（3）如果在图②中改变∠1的大小，则BA′的位置也随之改变，那么问题（2）中∠CBE的大小是否改变？请说明理由．
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