西藏山南市普通高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)

西藏山南市普通高中2023～2024学年第一学期期末考试
高二数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：必修第二册第七章、第九章、第十章，选择性必修第一册。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，，则（ ）
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（ ）
A. B.3 C.4 D.
4.无论m为何值，直线所过定点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5.已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
6.小张某一周的总开支分布如图①所示，该星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A.储蓄比通信开支多50元 B.日常开支比食品中的其他开支少150元
C.娱乐支出为100元 D.肉类开支占总开支的
7.已知椭圆：的离心率为，双曲线：的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
8.在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
9.抛掷一枚硬币出现正面或反面，记事件A表示“出现正面”，事件B表示“出现反面”，则（ ）
A.A与B相互独立 B.
C.A与不相互独立 D.
10.已知点，，若点A，B到直线的距离都为2，则直线的方程不可能为（ ）
A. B.
C. D.
11.已知抛物线C：，O为坐标原点，点P为抛物线上的一点，且点P在x轴的上方，若线段的垂直平分线过点，则直线的斜率为（ ）
A.1 B.2 C. D.
12.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为的中点，F为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线被圆所截得的弦长为√，则实数___________.
14.某校高一年级共有300名同学参加法制知识竞赛，已知所有学生成绩的第70百分位数是75分，则成绩大于或等于75分的学生至少有__________名.
15.已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________.
16.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，且点P位于第一象限，，则_______，________.（本题第一空2分，第二空3分）
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知直线经过直线与的交点P.
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
18.（本小题满分12分）
为了实现中国梦的构想，在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功相互独立.
（1）求恰有两个项目成功的概率；
（2）求至少有一个项目成功的概率.
19.（本小题满分12分）
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点P为双曲线上一点，且点P在第一象限，.
（1）求的正弦值；
（2）求点的纵坐标.
20.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知抛物线：的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点.
（1）求的值；
（2）证明：.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆：的一个长轴顶点到另一个短轴顶点的距离为，且椭圆的短轴长与焦距长之和为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆C相交于M，N两点（异于椭圆长轴顶点），求（O为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线的方程.
西藏山南市普通高中2023～2024学年第一学期期末考试·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1.D因为，，
所以.故选D.
2.B抛物线的标准方程为，可得，，故抛物线的准线方程为.
3.D由，，可得.
4.C当时，，可知直线过定点（-2，1）.
5.A由题意有，解得.
6.C由食品开支图，可知食品开支有30+40+100+80+50=300（元），
所以一星期的总开支300÷30%=1000（元），
其中娱乐支出为1000×10%=100（元），故C正确；
储蓄比通信开支多1000×（30%-5%）=250（元），故A错误；
日常开支为1000×20%=200（元），故日常开支比食品中的其他开支多150元，故B错误；
肉类开支占总开支的，故D错误.故选C.
7.D由，，可得.
8.A连，，
.
9.C由题意得，，，故A与B，A与均不相互独立，A，B，D不正确，故选C.
10.D直线的斜率为，①直线与直线平行时，
设直线的方程为，有，解得；
②若直线过的中点（1，3）时，若直线的斜率存在，
设直线的方程为，整理为，有，解得，有；
若直线的斜率不存在，符合题意.
11.A设点P的坐标为，有的中点为，直线的斜率为，直线的斜率为，有，解得，故直线的斜率为1.
12.A由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，点，，，，，，
可得，，
设异面直线与所成的角为，
有，.
13. 由直线被圆截得的弦长为，可得圆心到直线的距离为，有，解得.
14.90 200-200×70%=90.
15. ，点到平面的距离.
16. 设，，焦点，有，有，解得，.
17.解：（1）由解得即.
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即；
（2）显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，令，解得，
令，解得，
所以，
解得或，所以直线的方程为或.
18.解：（1）只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为，
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为，
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为，
∴恰有两个项目成功的概率为；
（2）三个项目全部失败的概率为，
∴至少有一个项目成功的概率为；
19.解：（1）由双曲线的定义，有，
又由，可得，，
在中，可得，
有；
（2）设点的纵坐标为，
，
，
有，得.
20.（1）证明：∵，，∴，∴，
∵平面，平面，∴，
∵，，，平面，
∴平面；
（2）解：以点C为坐标原点，向量，方向分别为x，y轴的正方向，
过点C且与向量同向的方向为z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
各坐标如下：
，，，，.
设平面的法向量为，
由，，有
取，，，可得平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
由，，有
取，，，可得平面的一个法向量为.
有，，可得，
故平面与平面所成二面角的正弦值为.
21.解：（1）设A，B两点的坐标分别为，，
由点F的坐标为（1，0），设直线的方程为，
联立方程消去x后整理为，
有，，
可得，
有；
（2）由，，
有
，
又由，
故有.
22.解：（1）设椭圆的焦距为，
由题意有解得，，，
故椭圆的标准方程为；
（2）设M，N两点的坐标分别为，，直线的方程为，
联立方程消去x后整理为，
有，，
由，可得或.
由
，
由，当且仅当时等号成立，
可得，
故面积的最大值为，此时直线的方程为.