湖北省襄阳市第五中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题(含答案)
文档属性
| 名称 | 湖北省襄阳市第五中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题(含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-28 08:07:07 | ||
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文档简介
襄阳五中2023-2024届高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题（每题5分）
1．若i为處数单位，复数z满足，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点B到x轴的距离是（ ）
A． B．4 C． D．
5．已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
6．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若相邻两条对称轴的距离为，则
B．若，则时，的值域为
C．若在上单调递增，则
D．若在上恰有2个零点，则
8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分）
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．
B．在中，是的充要条件
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在锐角中，不等式恒成立
10．下列命题中正确的是（ ）
A．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为
B．圆柱形容器底面半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为
C．正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为
D．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为
11．如图，正方体的棱长为1，E为的中点，下列判断正确的是（ ）
A．平面
B．直线与直线是异面直线
C．在直线上存在点F，使平面
D．直线与平面所成角是
三、填空题（每题5分）
12．四边形是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为____________．
13．已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，球O的表面积为____________．
14．如图所示，在直三棱柱中，，，，点P是线段上的一动点，则线段的最小值为____________．
四、解答题
15．（13分）已知向量，，
（1）若，求实数x的值；
（2）若，求向量与的夹角的余弦值．
16．（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求的值；
（2）若，点M是的中点，且，求的面积．
17．（15分）已知函数，求：
（1）的最小正周期及最大值；
（2）若且，求的值；
（3）若，在有两个不等的实数根，求m的取值范围．
18．（17分）如图，在正方体中，，E为的中点．
（1）求证：平面；
（2）连接交于点G，三棱锥的体积；
（3）已知点F为中点，点P为平面内的一个动点，若平面，求长度的最小值．
19．（17分）设A，B是单位圆上不同的两个定点，点O为圆心，点C是单位圆上的动点，点C满足（为锐角），线段交于点D（不包括A，B），点P在射线上运动且在圆外，过P作圆的两条切线，．
（1）求的范围；
（2）求的最小值；
（3）若，，求的最小值．
参考答案：
DBBA CBDD ABD BCD AC
12． 13． 14．
15．（1） （2）
16．（1） （2）
（2）∵，，所以，
联立，∴，，在中，由余弦定理得：
①
在中，由余弦定理得：模糊②
由式得：，故模糊，
∴，．
∴．
17．（1）函数的最小正周期为，最大值为；（2）；（3）．
【详解】（1）∵，
所以，函数的最小正周期为，最大值为；
（2）∵，则，
∵，可得，∴，解得；
（3）当时，，令，则．
由可得，即，即，
所以，直线与曲线在上的图象有两个交点，如下图所示：
由上图可知，当时，即当时，
直线与曲线在上的图象有两个交点，
因此，实数m的取值范围是．
18．（1）证明略 （2） （3）
（2）由（1）知，平面，点G为中点，
则点G到平面的距离等于点B到平面的距离，
所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积．
正方体的棱长是1，E是的中点，所以，则的面积，
所以三棱锥的体积．
（3）连接，，因为和平行且相等，故四边形为平行四边形，所以．又面，面，故面．
又由（1）知，面，而，、面，
故面面．因此满足题意的P点轨迹为线段．
要求最小值，即求F到最小值．
在中，，，故为等腰三角形，
求最小值即求底边上的高，求得．
19．（1） （2） （3）
【详解】（1）∵，
∴，
∵为锐角，∴，∴，∴．
解法一：∵
．
∵取的中点为E，，
∵，∴．
解法二：以O为原点，以，为x，y轴，建立直角坐标系，
∵，，，
∴，．
∴
∵，，∴，
∴．故小问1答案为：．
（2）解法一：由题意知：
∵，
∴，
∴
，
∴当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法二：由题意知：
以O为原点，以，为x，y轴，建立直角坐标系设点，则．
，．
．
∴当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法三：
设，
，
∴，，
∴
∴当且仅当时，等号成立，的最小值为．
故小问2答案为：
（3）解法一：由题意知：
∵，，∴
∴，∴
∴，∴
∴
令，则原式
当且仅当即，等号成立，的最小值为
解法二：由题意知：
以O为原点，以，为x，y轴，建立直角坐标系
∵，D，A，B三点共线
∴，∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴
模糊
∵，∴．
解法三：由题意知：
∵，，∴，
∴，，
∴，∴下同解法二．
故小问3答案为：．
数学试卷
一、单选题（每题5分）
1．若i为處数单位，复数z满足，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点B到x轴的距离是（ ）
A． B．4 C． D．
5．已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（ ）
A． B． C． D．
6．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若相邻两条对称轴的距离为，则
B．若，则时，的值域为
C．若在上单调递增，则
D．若在上恰有2个零点，则
8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分）
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．
B．在中，是的充要条件
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在锐角中，不等式恒成立
10．下列命题中正确的是（ ）
A．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为
B．圆柱形容器底面半径为，两直径为的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为
C．正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为
D．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为
11．如图，正方体的棱长为1，E为的中点，下列判断正确的是（ ）
A．平面
B．直线与直线是异面直线
C．在直线上存在点F，使平面
D．直线与平面所成角是
三、填空题（每题5分）
12．四边形是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为____________．
13．已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，球O的表面积为____________．
14．如图所示，在直三棱柱中，，，，点P是线段上的一动点，则线段的最小值为____________．
四、解答题
15．（13分）已知向量，，
（1）若，求实数x的值；
（2）若，求向量与的夹角的余弦值．
16．（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求的值；
（2）若，点M是的中点，且，求的面积．
17．（15分）已知函数，求：
（1）的最小正周期及最大值；
（2）若且，求的值；
（3）若，在有两个不等的实数根，求m的取值范围．
18．（17分）如图，在正方体中，，E为的中点．
（1）求证：平面；
（2）连接交于点G，三棱锥的体积；
（3）已知点F为中点，点P为平面内的一个动点，若平面，求长度的最小值．
19．（17分）设A，B是单位圆上不同的两个定点，点O为圆心，点C是单位圆上的动点，点C满足（为锐角），线段交于点D（不包括A，B），点P在射线上运动且在圆外，过P作圆的两条切线，．
（1）求的范围；
（2）求的最小值；
（3）若，，求的最小值．
参考答案：
DBBA CBDD ABD BCD AC
12． 13． 14．
15．（1） （2）
16．（1） （2）
（2）∵，，所以，
联立，∴，，在中，由余弦定理得：
①
在中，由余弦定理得：模糊②
由式得：，故模糊，
∴，．
∴．
17．（1）函数的最小正周期为，最大值为；（2）；（3）．
【详解】（1）∵，
所以，函数的最小正周期为，最大值为；
（2）∵，则，
∵，可得，∴，解得；
（3）当时，，令，则．
由可得，即，即，
所以，直线与曲线在上的图象有两个交点，如下图所示：
由上图可知，当时，即当时，
直线与曲线在上的图象有两个交点，
因此，实数m的取值范围是．
18．（1）证明略 （2） （3）
（2）由（1）知，平面，点G为中点，
则点G到平面的距离等于点B到平面的距离，
所以三棱锥的体积等于三棱锥的体积．
正方体的棱长是1，E是的中点，所以，则的面积，
所以三棱锥的体积．
（3）连接，，因为和平行且相等，故四边形为平行四边形，所以．又面，面，故面．
又由（1）知，面，而，、面，
故面面．因此满足题意的P点轨迹为线段．
要求最小值，即求F到最小值．
在中，，，故为等腰三角形，
求最小值即求底边上的高，求得．
19．（1） （2） （3）
【详解】（1）∵，
∴，
∵为锐角，∴，∴，∴．
解法一：∵
．
∵取的中点为E，，
∵，∴．
解法二：以O为原点，以，为x，y轴，建立直角坐标系，
∵，，，
∴，．
∴
∵，，∴，
∴．故小问1答案为：．
（2）解法一：由题意知：
∵，
∴，
∴
，
∴当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法二：由题意知：
以O为原点，以，为x，y轴，建立直角坐标系设点，则．
，．
．
∴当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法三：
设，
，
∴，，
∴
∴当且仅当时，等号成立，的最小值为．
故小问2答案为：
（3）解法一：由题意知：
∵，，∴
∴，∴
∴，∴
∴
令，则原式
当且仅当即，等号成立，的最小值为
解法二：由题意知：
以O为原点，以，为x，y轴，建立直角坐标系
∵，D，A，B三点共线
∴，∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴
模糊
∵，∴．
解法三：由题意知：
∵，，∴，
∴，，
∴，∴下同解法二．
故小问3答案为：．
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