西藏山南市第二高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）

山南二高2023～2024学年高二期末考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第二册第九章、第十章，选择性必修第一册第二章、第三章.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.经过点和的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.过点的等轴双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
3.抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为86，84，88，86，89，89，90，87，85，92，则该学生这10次成绩的40%分位数为（ ）
A.86.5 B.89 C.91 D.87.5
4.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则（ ）
A. B.3 C.4 D.
5.两平行直线：和：之间的距离为（ ）
A. B.2 C. D.3
6.小王为了了解现在人们的网购途径，随机对1000名市民进行走访调查，统计结果如图所示，下列表述错误的是（ ）
A.
B.这1000名市民中，不在淘宝网购物的人数为545人
C.这1000名市民中，通过其他方式购物的人数超过100人
D.这1000名市民中，在京东商城购物的人数比在唯品会购物的人数多165人
7.若圆：和圆：（）相切，则等于（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
8.已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对于直线：，下列说法错误的是（ ）
A.直线经过点 B.直线的倾斜角为60°
C.直线与直线平行 D.直线在轴上的截距为
10.下列直线中，与圆相切的有（ ）
A. B.
C. D.
11.实验：甲、乙、丙三名同学各自从、、中选了一个字母（不可重复）.记事件为“乙同学选字母”，事件为“甲同学没有选字母”，则下列正确的有（ ）
A. B.
C. D.
12.设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ）
A.1 B.3 C.5 D.4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.抛物线的焦点到准线的距离为______.
14.已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为______.
15.已知四位数4521，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为.______.
16.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，若点在的渐近线上，且，则的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
一个圆经过点与点，圆心在直线上，求此圆的标准方程.
18.（本小题满分12分）
求符合下列条件的直线的方程：
（1）过点，且斜率为；
（2）过点，；
（3）过点且在两坐标轴上的截距相等.
19.（本小题满分12分）
已知抛物线：（）过点.
（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于，两点，求线段的长度.
20.（本小题满分12分）
某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）估计所打分数的众数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
（2）该部门在第一、二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率.
21.（本小题满分12分）
已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点.
（1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；
（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为8，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程.
山南二高2023～2024学年高二期末考试 数学
参考答案，提示及评分细则
1. D 由直线斜率为，即，解得.
2. B 设双曲线的方程为，代入点的坐标，有，
故所求双曲线的方程为，标准方程为.故选B.
3. A 该学生10次的数学成绩从小到大分别为84，85，86，86，87，88，89，89，90，92.
又，这10次成绩的40%分位数为.
4. D 由，，可得.
5. A 两平行直线，之间的距离为，故选A.
6. C 对于A选项：，，A正确；
B选项中，（人），所以B正确；C选项中，
∵，∴（人），，所以C错误；
D选项中，（人），D正确.
7. C 若两圆外切，则，所以，即.
若两圆内切，则，∴.又，∴.
8. C ，.故选C.
9. BC 令，，故直线经过点，A项正确；直线的斜率为，倾斜角为120°，B项错误；直线的斜率为，在轴上的截距为，直线在轴上的截距为，所以直线与直线重合，故C项错误；令，则，D项正确.
10. BC 圆的圆心为，半径.
对于选项A，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交；
对于选项B，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；
对于选项C，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；
对于选项D，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.
11. AC 由题意可知，实验有，，，，，，共6种结果.其中满足事件的共有2种，故；其中满足事件的共有4种，故.可计算出，.
12. BD 设，∵，，
∴，，
由可得，
又∵点在椭圆上，即，
∴，要使得成立的点恰好是4个，
则，解得.
13. 2 焦点，准线，所以焦点到准线的距离为2.
14. 设圆：，圆：，，
由题意可知为的垂直平分线，，的中点为，
则的方程为即.
15. 4521任意交换两个数的位置之后有：5421，2541，1524，4251，4125，4512，共6种，
两个奇数相邻有3种，所以两个奇数相邻的概率为.
16. 1 设，由，得，
整理得，即，所以点在圆上，
又渐近线与圆有交点，
所以，即，整理得，解得，
所以的最小值为1.
17.解：线段的中垂线方程为，即.
由，解得即圆心为，
∴半径为.
∴圆的标准方程为.
18.解：（1）∵所求直线过点，且斜率为，
∴，即；
（2）∵所求直线过，，
∴，
∴，即；
（3）当直线过原点时，设直线方程为，
∵直线过点，
∴，直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
将点代入上式，得，解得，
故直线的方程为，
综上，直线方程为或.
19.解：（1）∵（）过点，∴，解得，
∴抛物线：，准线方程为；
（2）由（1）知，抛物线焦点为，
设直线：，，，
由得，则，
则.
20.解：（1）由众数概念可知，人数出现最多的为之间，所以众数为70，
平均值
；
（2）由直方图知，第一、二组的频率分别为0.05和0.1，
则第一、二组人数分别为5和10，
所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第一组和第二组的人数之比为1:2，
则第一组有2人，记为，；第二组有4人，记为，，，.
从中随机抽取2人的所有情况如下：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中，两人来自不同组的情况有：，，，，，，，，共8种，
故两人来自不同组的概率为，
答：监督员来自不同组的概率为.
21.解：（1）∵点是双曲线的一个焦点，∴，
又∵且，解得，∴双曲线的方程为，
∴双曲线的渐近线方程为；
（2）设直线的方程为，且，
联立可得，
则，∴，即，
∴，
解得，即由可得，
故双曲线的离心率.
22.解：（1）由题意可知，
又因为，
则椭圆的标准方程为；
（2）设直线与椭圆的交点为、，
∵为的中点，∴，，
∵又、两点在椭圆上，则，，
两式相减得，
于是，
∴，即，
故所求直线的方程为，即.