广东省北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中6校2023-2024学年高二下学期联合质量监测考试数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 广东省北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中6校2023-2024学年高二下学期联合质量监测考试数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-28 08:16:17 | ||
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文档简介
北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中
2023～2024学年度第二学期联合质量监测考试
高二数学
命题单位：阳江一中数学备课组
说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。答案须做在答题卡上；选择题填涂需用2B铅笔，非选择题需用黑色字迹钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交答题卡。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ）
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
2.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3.设，，，是非零实数，则“”是“，，，成等比数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里有放回地随机抽取4个球，用表示取到红球的个数，则（ ）
A. B. C. D.
6.椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）
A.72种 B.84种 C.88种 D.100种
8.若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数，则（ ）
A.有两个极值点 B.点是曲线的对称中心
C.有三个零点 D.若方程有两个不同的根，则或5
10.下列命题正确的是（ ）
A.若样本数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为12
B.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则，
C.若某校高三（1）班8位同学身高（单位：）分别为：，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（即第25百分位数）为170
D.根据变量与的样本数据计算得到，根据的独立性检验（），可判断与有关，且犯错误的概率不超过0.05
11.已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与交于，两点，点在第一象限，点，若，则（ ）
A.直线的斜率为 B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某市有30000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩服从正态分布，若，则成绩在140分以上的大约有______人.
13.设直线与圆相交于，两点，若，则圆的面积为______.
14.已知和分别是函数（且）的极大值点和极小值点.若，则实数的取值范围是.______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
设，.
（1）若，求的值域；
（2）若存在极值点，求实数的取值范围.
16.（本小题满分15分）
如图，直四棱柱的底面为菱形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销.短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程.企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间.某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货.
（1）已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为，，且小李如果第一天选择“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.7.求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率；
（2）三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为，，，三人是否抢购成功互不影响.若为三人中下单成功的总人数，且，求的值及的分布列.
18.（本小题满分17分）
双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围.
19.（本小题满分17分）
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类.现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数，第一行是以1为首项，2为公差的等差数列.从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数.
……
（1）求第2行和第3行的通项公式和；
（2）一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立.”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数都成立，这种方法即数学归纳法.请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式；
（3）若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有.
北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中
2023~2024学年度第二学期联合质量监测考试，高二数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B B A D C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 ABD AB ACD
1.A 根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数一定不变，故选A.
2.D ，，，，又与互相垂直，，解得.故选D.
3.B 若，，，成等比数列，则，反之数列，，，满足，但数列，，，不是等比数列，即“”是“，，，成等比数列”的必要不充分条件.故选B.
4.B ，则，又，则由点斜式可得，所求切线方程为，即.故选B.
5.B 袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里随机抽取一个球，该球为红球的概率为，所以，因此.故选B.
6.A 由题知，设，则，则由得：，由得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.
7.D ①甲救援队去受灾点，则其余四支救援队，可能分为两组去，，或者分为3组，分别去、、，则有（种）安排方法；②甲救援队去受灾点，同理也有50种安排方法，故总的安排方法数为（种）.
8.C 由题意，在上有两解，即在，上有两解，令，，故，令，，则，在上单调递增，且，当时，，，当时，，，在上单调递减，在上单调递增，.又，，.故选C.
9.ABD ，令可得.当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以是的极大值点，1是的极小值点，所以有两个极值点，故A正确；
设，则，所以为奇函数，图象关于点对称.又，所以的图象关于点对称，故B正确；，，且时，，所以只有1个零点，故C错误；
因为时，，的极大值为5，极小值为1，若方程有两个不同的根，则或5，故D正确.故选ABD.
10.AB 对于A，根据，可得数据，，…，的方差为，故A正确；
对于B，对两边同时取对数可得，因为，所以，，所以，，故B正确；
对于C，从小到大排列这组数据为，，，，，，，，，因为为整数值，则这组数据的下四分位数（即第25百分位数）为，故C错误；
对于D，因为，在犯错误的概率不超过0.05的情况下，不能判断与有关，故D错误，故选AB.
11.ACD 对于A，设中点为，则，
所以，所以，故，A正确；
对于B，，
所以，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，由选项A，B知，，
所以，所以为钝角；
又，所以为钝角，
所以.D正确.故选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.150 由题意，数学成绩服从正态分布，其正态曲线关于直线对称，，，，该市成绩在140分以上的人数大约为.
13. 圆的圆心坐标为，半径为，直线与圆相交于，两点，且，而圆心到直线的距离，，解得，故圆的半径，所以圆的面积.
14. 至少要有两个变号零点和，构造函数，对其求导，.
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，此时若和分别是函数的极大值点和极小值点，则，不合题意；
若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，令，则，此时若和分别是函数的极大值点和极小值点，且，则需满足，即，，，故，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15.解：（1）若，，，，
当时，单调递增；
当时，，单调递减.
又，，，
所以，即的值域为.
（2），
存在极值点，则在上有解，
即有解，
令，则在上有解，
因为函数在区间上单调递减，
所以，
所以.
16.（1）证明：四边形是菱形，，
又平面，平面，.
，，平面，
平面.
平面，平面平面.
（2）解：设下底面、上底面菱形对角线交点分别为，，连接，依题意可知，平面，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，
，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则
取，
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
17.解：（1）设事件为小李3月7日选择“抖音”平台，事件为小李3月7日选择“快手”平台，事件为小李3月8日选择“抖音”平台，
则，，，，
则.
（2）由题意得，的取值为，，，，
且，
，，
，
所以，解得，
故的分布列为
0 1 2 3
0.06 0.34 0.44 0.16
18.解：（1）依题意，，半焦距，
由得，
即，解得（其中舍去），
所以，
故双曲线的方程为.
（2）显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，设，则，，
由，得，即，
整理得，
将（*）式代入得.
化简可消去所有含的项，得，
解得或（舍去），
则直线的方程为，则，
又、都在双曲线右支上，故有，得，
此时，，
所以点到直线的距离的取值范围为.
19.解：（1），，，…，，
，，，…，.
（2）当时，第一行是以1为首项，2为公差的等差数列，满足要求，
假设当时成立，即第行为公差为的等差数列，
则当时，
，
故第行的数也依次成等差数列，公差为，
综上，数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列.
由于，，，
所以，，
，
由于，故，即，
即，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故.
（3），
故，
令，则，
故
，
因为，所以，
故，
令，则当时，都有，
综上，为满足要求的等比数列.
2023～2024学年度第二学期联合质量监测考试
高二数学
命题单位：阳江一中数学备课组
说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。答案须做在答题卡上；选择题填涂需用2B铅笔，非选择题需用黑色字迹钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交答题卡。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ）
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
2.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3.设，，，是非零实数，则“”是“，，，成等比数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里有放回地随机抽取4个球，用表示取到红球的个数，则（ ）
A. B. C. D.
6.椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）
A.72种 B.84种 C.88种 D.100种
8.若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数，则（ ）
A.有两个极值点 B.点是曲线的对称中心
C.有三个零点 D.若方程有两个不同的根，则或5
10.下列命题正确的是（ ）
A.若样本数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为12
B.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则，
C.若某校高三（1）班8位同学身高（单位：）分别为：，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（即第25百分位数）为170
D.根据变量与的样本数据计算得到，根据的独立性检验（），可判断与有关，且犯错误的概率不超过0.05
11.已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与交于，两点，点在第一象限，点，若，则（ ）
A.直线的斜率为 B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某市有30000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩服从正态分布，若，则成绩在140分以上的大约有______人.
13.设直线与圆相交于，两点，若，则圆的面积为______.
14.已知和分别是函数（且）的极大值点和极小值点.若，则实数的取值范围是.______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
设，.
（1）若，求的值域；
（2）若存在极值点，求实数的取值范围.
16.（本小题满分15分）
如图，直四棱柱的底面为菱形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销.短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程.企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间.某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货.
（1）已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为，，且小李如果第一天选择“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.7.求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率；
（2）三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为，，，三人是否抢购成功互不影响.若为三人中下单成功的总人数，且，求的值及的分布列.
18.（本小题满分17分）
双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围.
19.（本小题满分17分）
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类.现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数，第一行是以1为首项，2为公差的等差数列.从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数.
……
（1）求第2行和第3行的通项公式和；
（2）一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立.”完成这两个步骤就可以断定命题对开始的所有正整数都成立，这种方法即数学归纳法.请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于的表达式；
（3）若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数，当时，都有.
北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中
2023~2024学年度第二学期联合质量监测考试，高二数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B B B A D C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 ABD AB ACD
1.A 根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数一定不变，故选A.
2.D ，，，，又与互相垂直，，解得.故选D.
3.B 若，，，成等比数列，则，反之数列，，，满足，但数列，，，不是等比数列，即“”是“，，，成等比数列”的必要不充分条件.故选B.
4.B ，则，又，则由点斜式可得，所求切线方程为，即.故选B.
5.B 袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里随机抽取一个球，该球为红球的概率为，所以，因此.故选B.
6.A 由题知，设，则，则由得：，由得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.
7.D ①甲救援队去受灾点，则其余四支救援队，可能分为两组去，，或者分为3组，分别去、、，则有（种）安排方法；②甲救援队去受灾点，同理也有50种安排方法，故总的安排方法数为（种）.
8.C 由题意，在上有两解，即在，上有两解，令，，故，令，，则，在上单调递增，且，当时，，，当时，，，在上单调递减，在上单调递增，.又，，.故选C.
9.ABD ，令可得.当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以是的极大值点，1是的极小值点，所以有两个极值点，故A正确；
设，则，所以为奇函数，图象关于点对称.又，所以的图象关于点对称，故B正确；，，且时，，所以只有1个零点，故C错误；
因为时，，的极大值为5，极小值为1，若方程有两个不同的根，则或5，故D正确.故选ABD.
10.AB 对于A，根据，可得数据，，…，的方差为，故A正确；
对于B，对两边同时取对数可得，因为，所以，，所以，，故B正确；
对于C，从小到大排列这组数据为，，，，，，，，，因为为整数值，则这组数据的下四分位数（即第25百分位数）为，故C错误；
对于D，因为，在犯错误的概率不超过0.05的情况下，不能判断与有关，故D错误，故选AB.
11.ACD 对于A，设中点为，则，
所以，所以，故，A正确；
对于B，，
所以，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，由选项A，B知，，
所以，所以为钝角；
又，所以为钝角，
所以.D正确.故选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.150 由题意，数学成绩服从正态分布，其正态曲线关于直线对称，，，，该市成绩在140分以上的人数大约为.
13. 圆的圆心坐标为，半径为，直线与圆相交于，两点，且，而圆心到直线的距离，，解得，故圆的半径，所以圆的面积.
14. 至少要有两个变号零点和，构造函数，对其求导，.
若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，此时若和分别是函数的极大值点和极小值点，则，不合题意；
若，则在上单调递增，此时若，则在上单调递减，在上单调递增，令，则，此时若和分别是函数的极大值点和极小值点，且，则需满足，即，，，故，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15.解：（1）若，，，，
当时，单调递增；
当时，，单调递减.
又，，，
所以，即的值域为.
（2），
存在极值点，则在上有解，
即有解，
令，则在上有解，
因为函数在区间上单调递减，
所以，
所以.
16.（1）证明：四边形是菱形，，
又平面，平面，.
，，平面，
平面.
平面，平面平面.
（2）解：设下底面、上底面菱形对角线交点分别为，，连接，依题意可知，平面，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，
，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则
取，
设直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
17.解：（1）设事件为小李3月7日选择“抖音”平台，事件为小李3月7日选择“快手”平台，事件为小李3月8日选择“抖音”平台，
则，，，，
则.
（2）由题意得，的取值为，，，，
且，
，，
，
所以，解得，
故的分布列为
0 1 2 3
0.06 0.34 0.44 0.16
18.解：（1）依题意，，半焦距，
由得，
即，解得（其中舍去），
所以，
故双曲线的方程为.
（2）显然直线不可能与轴平行，故可设直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，设，则，，
由，得，即，
整理得，
将（*）式代入得.
化简可消去所有含的项，得，
解得或（舍去），
则直线的方程为，则，
又、都在双曲线右支上，故有，得，
此时，，
所以点到直线的距离的取值范围为.
19.解：（1），，，…，，
，，，…，.
（2）当时，第一行是以1为首项，2为公差的等差数列，满足要求，
假设当时成立，即第行为公差为的等差数列，
则当时，
，
故第行的数也依次成等差数列，公差为，
综上，数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列.
由于，，，
所以，，
，
由于，故，即，
即，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故.
（3），
故，
令，则，
故
，
因为，所以，
故，
令，则当时，都有，
综上，为满足要求的等比数列.
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