(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学拓展1利用递推公式求通项公式常用的方法(精练)（含解析）
文档属性
| 名称 | (人教A版2019选择性必修第二册)高二数学拓展1利用递推公式求通项公式常用的方法(精练)（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 796.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-28 08:30:05 | ||
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文档简介
拓展1 利用递推公式求通项公式常用的方法（精练）
1 公式法
1．（2022·上海）已知数列的前项和为，则数列的通项公式_________.
2．（2022·云南）已知数列满足，则____．
3．（2022·江西）已知数列的前n项和为，且，，则__________．
4．（2022·山西忻州）已知为数列的前n项和，且，．
(1)求，；
(2)求的通项公式．
5．（2022·甘肃）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
6．（2022·广东）已知数列满足，求的通项公式.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1＝1，（ ），求数列{an}的通项公式an ；
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，求的通项公式 ．
2 累乘法
1．（2022·福建省 ）在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________.
2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））数列满足：，，则数列的通项________________.
3．（2023·云南）已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.
4．（2022江苏）已知数列的项满足，，则数列的通项公式为___________.
5．（2022河北）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
6．（2022·安徽）已知在数列中，，，则__________．
7．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式______.
8．（2022·安徽）已知数列满足：，，求数列的通项公式.
3 累加法
1．（2022·河北唐山·三模）已知正项数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
2．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，则数列的通项公式.
3．（2021·安徽·马鞍山二中高三阶段练习（理））数列满足，且，求数列的通项公式．
4 构造法
1．（2022·江苏省）已知数列的首项，且满足，则的前项和_____．
2．（2022·陕西·西安中学高二期中）设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.
3．（2022·上海市晋元高级中学 ）设数列满足，且，则数列的通项公式为___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，且满足，则___________.
5．（2023·天津）在数列中，，，，则该数列的通项公式______．
6．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高二期中）已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______．
7．（2022重庆）已知数列满足，，求数列的通项公式 .
8．（2022·安徽宿州·高二期中）已知数列的首项，且，数列的通项公式 ；
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式 ；
10（2022·四川）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式 .
11．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式 .
拓展1 利用递推公式求通项公式常用的方法（精练）
1 公式法
1．（2022·上海）已知数列的前项和为，则数列的通项公式_________.
答案：
【解析】 ,故当时，；
当时，，
不适合上式，
，
故答案为： .
2．（2022·云南）已知数列满足，则____．
答案：
【解析】由数列满足①，
可得，且②，
①-②可得且，所以，
当时，满足通项公式，
所以，
故答案为：．
3．（2022·江西）已知数列的前n项和为，且，，则__________．
答案：
【解析】由题意得，所以，解得，
又因为，于是，
因此数列是以为首项、2为公比的等比数列，
故，于是，
因此数列是以1为首项、1为公差的等差数列，
故，故,
故答案为：
4．（2022·山西忻州）已知为数列的前n项和，且，．
(1)求，；
(2)求的通项公式．
答案：(1)，.(2)
【解析】（1）当时，，即，
又，所以，
当时，有，解得.
故，.
（2）因为，所以，
两式相减得：，
即，
化简得：，
所以，即，
，
化简得：.
故的通项公式.
5．（2022·甘肃）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
答案：(1)3；6(2)an＝.
【解析】（1）由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2，
又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.
由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，
∴a3＝ （a1＋a2）＝6.
（2）∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
∴an＝an－1，即＝.
∴an＝··…···a1
＝··…···1
＝.
又a1＝1满足上式，
∴an＝.
6．（2022·广东）已知数列满足，求的通项公式.
答案：.
【解析】因为，，则当时，，解得，
于是得：，当时有，
因此，显然满足上式，
所以的通项公式是.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1＝1，（ ），求数列{an}的通项公式an ；
答案：an
【解析】∵an＞0，当时，
∵，
∴Sn﹣Sn﹣1，
∴2，
又∵，
∴{}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
∴ ，
当 时， ， 不满足该式，
∴an；
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，求的通项公式 ．
答案：，.
【解析】．①
当时，，可得，
当时，，②
①－②得，则，而不为零，
故是首项为1，公比为2的等比数列，则，
∴数列的通项公式为，．
2 累乘法
1．（2022·福建省 ）在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________.
答案：
【解析】由，得，
则，
，
，
，
累乘得，
所以.
故答案为：.
2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））数列满足：，，则数列的通项________________.
答案：
【解析】因为，，
所以，
当 时，，
所以，
，
，
当时，，适合上式，
所以数列的通项，
故答案为：
3．（2023·云南）已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.
答案：
【解析】根据题意，数列中，，，
①，
②，
①②可得：，
变形可得：，
则；
时，符合；
故答案为：．
4．（2022江苏）已知数列的项满足，，则数列的通项公式为___________.
答案：
【解析】因为，所以，
所以
以上式子累乘得：，
因为，所以.
故答案为：.
5．（2022河北）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
答案：
【解析】由得，，
则，
即，又，所以.
故答案为：.
6．（2022·安徽）已知在数列中，，，则__________．
答案：
【解析】因为，当时，，
则，即有，当时，，得，满足上式，
，，因此数列是常数列，即，所以.
故答案为：
7．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式______.
答案：
【解析】，
即，
当时，，
，
整理得，
，
将以上各式左右两边分别相乘得，
又，
所以，
当时，符合，
故数列的通项公式.
故答案为：.
8．（2022·安徽）已知数列满足：，，求数列的通项公式.
答案：.
【解析】由题意得，
当时，
，
又也满足上式，所以.
故.
3 累加法
1．（2022·河北唐山·三模）已知正项数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
答案：(1)
(2)证明见解析
【解析】(1)
由已知，
即．
又，故，即（且）．
所以，当时，
当时，．
所以．
36．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，则数列的通项公式.
答案：
分析：利用累加法求解即可
【详解】由题意得，，
则，
，
……
，
.
由累加法得，，
即，
则时也满足 ，所以.
2．（2021·安徽·马鞍山二中高三阶段练习（理））数列满足，且，求数列的通项公式．
答案：
【解析】∵，且，∴，
∴当时，
，
又也满足，
∴．
4 构造法
1．（2022·江苏省）已知数列的首项，且满足，则的前项和_____．
答案：
【解析】，，
，故，，
是以3为首项，以3为公比的等比数列，
，，
．
故答案为：．
2．（2022·陕西·西安中学高二期中）设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.
答案：
【解析】由题意得，而，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
，，当时，，也满足此式，
综上，
故答案为：
3．（2022·上海市晋元高级中学 ）设数列满足，且，则数列的通项公式为___________.
答案：
【解析】因为，
，，
，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
，
所以，
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，且满足，则___________.
答案：
【解析】因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以
所以
故答案为：
5．（2023·天津）在数列中，，，，则该数列的通项公式______．
答案：
【解析】因为数列中，，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则，解得.
故答案为：.
6．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高二期中）已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______．
答案：
【解析】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以
故答案为：.
7．（2022重庆）已知数列满足，，求数列的通项公式 .
答案：.
【解析】由两边同除以得，令，
则，设，解得，
，而，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，得
8．（2022·安徽宿州·高二期中）已知数列的首项，且，数列的通项公式 ；
答案：
【解析】∵，等式两边同时加1整理得
又∵，∴
∴是首项为2，公比为2的等比数列．
∴， ∴
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式 ；
答案：．
【解析】由，
得：，
∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，
得．
10（2022·四川）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式 .
答案：
【解析】令.先求出数列的不动点，
解得.
将不动点代入递推公式，
得，
整理得，，
∴.
令，
∴，.
∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列.
∴的通项公式为.
将代入，得.
∴.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式 .
答案：
【解析】因为，故且，
故，而 ，故，故，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，解得.
1 公式法
1．（2022·上海）已知数列的前项和为，则数列的通项公式_________.
2．（2022·云南）已知数列满足，则____．
3．（2022·江西）已知数列的前n项和为，且，，则__________．
4．（2022·山西忻州）已知为数列的前n项和，且，．
(1)求，；
(2)求的通项公式．
5．（2022·甘肃）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
6．（2022·广东）已知数列满足，求的通项公式.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1＝1，（ ），求数列{an}的通项公式an ；
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，求的通项公式 ．
2 累乘法
1．（2022·福建省 ）在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________.
2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））数列满足：，，则数列的通项________________.
3．（2023·云南）已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.
4．（2022江苏）已知数列的项满足，，则数列的通项公式为___________.
5．（2022河北）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
6．（2022·安徽）已知在数列中，，，则__________．
7．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式______.
8．（2022·安徽）已知数列满足：，，求数列的通项公式.
3 累加法
1．（2022·河北唐山·三模）已知正项数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
2．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，则数列的通项公式.
3．（2021·安徽·马鞍山二中高三阶段练习（理））数列满足，且，求数列的通项公式．
4 构造法
1．（2022·江苏省）已知数列的首项，且满足，则的前项和_____．
2．（2022·陕西·西安中学高二期中）设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.
3．（2022·上海市晋元高级中学 ）设数列满足，且，则数列的通项公式为___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，且满足，则___________.
5．（2023·天津）在数列中，，，，则该数列的通项公式______．
6．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高二期中）已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______．
7．（2022重庆）已知数列满足，，求数列的通项公式 .
8．（2022·安徽宿州·高二期中）已知数列的首项，且，数列的通项公式 ；
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式 ；
10（2022·四川）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式 .
11．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式 .
拓展1 利用递推公式求通项公式常用的方法（精练）
1 公式法
1．（2022·上海）已知数列的前项和为，则数列的通项公式_________.
答案：
【解析】 ,故当时，；
当时，，
不适合上式，
，
故答案为： .
2．（2022·云南）已知数列满足，则____．
答案：
【解析】由数列满足①，
可得，且②，
①-②可得且，所以，
当时，满足通项公式，
所以，
故答案为：．
3．（2022·江西）已知数列的前n项和为，且，，则__________．
答案：
【解析】由题意得，所以，解得，
又因为，于是，
因此数列是以为首项、2为公比的等比数列，
故，于是，
因此数列是以1为首项、1为公差的等差数列，
故，故,
故答案为：
4．（2022·山西忻州）已知为数列的前n项和，且，．
(1)求，；
(2)求的通项公式．
答案：(1)，.(2)
【解析】（1）当时，，即，
又，所以，
当时，有，解得.
故，.
（2）因为，所以，
两式相减得：，
即，
化简得：，
所以，即，
，
化简得：.
故的通项公式.
5．（2022·甘肃）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
答案：(1)3；6(2)an＝.
【解析】（1）由S2＝a2，得（a1＋a2）＝a2，
又a1＝1，∴a2＝3a1＝3.
由S3＝a3，得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，
∴a3＝ （a1＋a2）＝6.
（2）∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
∴an＝an－1，即＝.
∴an＝··…···a1
＝··…···1
＝.
又a1＝1满足上式，
∴an＝.
6．（2022·广东）已知数列满足，求的通项公式.
答案：.
【解析】因为，，则当时，，解得，
于是得：，当时有，
因此，显然满足上式，
所以的通项公式是.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足S1＝1，（ ），求数列{an}的通项公式an ；
答案：an
【解析】∵an＞0，当时，
∵，
∴Sn﹣Sn﹣1，
∴2，
又∵，
∴{}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
∴ ，
当 时， ， 不满足该式，
∴an；
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，求的通项公式 ．
答案：，.
【解析】．①
当时，，可得，
当时，，②
①－②得，则，而不为零，
故是首项为1，公比为2的等比数列，则，
∴数列的通项公式为，．
2 累乘法
1．（2022·福建省 ）在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式________.
答案：
【解析】由，得，
则，
，
，
，
累乘得，
所以.
故答案为：.
2．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））数列满足：，，则数列的通项________________.
答案：
【解析】因为，，
所以，
当 时，，
所以，
，
，
当时，，适合上式，
所以数列的通项，
故答案为：
3．（2023·云南）已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.
答案：
【解析】根据题意，数列中，，，
①，
②，
①②可得：，
变形可得：，
则；
时，符合；
故答案为：．
4．（2022江苏）已知数列的项满足，，则数列的通项公式为___________.
答案：
【解析】因为，所以，
所以
以上式子累乘得：，
因为，所以.
故答案为：.
5．（2022河北）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
答案：
【解析】由得，，
则，
即，又，所以.
故答案为：.
6．（2022·安徽）已知在数列中，，，则__________．
答案：
【解析】因为，当时，，
则，即有，当时，，得，满足上式，
，，因此数列是常数列，即，所以.
故答案为：
7．（2022·全国·高二单元测试）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式______.
答案：
【解析】，
即，
当时，，
，
整理得，
，
将以上各式左右两边分别相乘得，
又，
所以，
当时，符合，
故数列的通项公式.
故答案为：.
8．（2022·安徽）已知数列满足：，，求数列的通项公式.
答案：.
【解析】由题意得，
当时，
，
又也满足上式，所以.
故.
3 累加法
1．（2022·河北唐山·三模）已知正项数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
答案：(1)
(2)证明见解析
【解析】(1)
由已知，
即．
又，故，即（且）．
所以，当时，
当时，．
所以．
36．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，则数列的通项公式.
答案：
分析：利用累加法求解即可
【详解】由题意得，，
则，
，
……
，
.
由累加法得，，
即，
则时也满足 ，所以.
2．（2021·安徽·马鞍山二中高三阶段练习（理））数列满足，且，求数列的通项公式．
答案：
【解析】∵，且，∴，
∴当时，
，
又也满足，
∴．
4 构造法
1．（2022·江苏省）已知数列的首项，且满足，则的前项和_____．
答案：
【解析】，，
，故，，
是以3为首项，以3为公比的等比数列，
，，
．
故答案为：．
2．（2022·陕西·西安中学高二期中）设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.
答案：
【解析】由题意得，而，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
，，当时，，也满足此式，
综上，
故答案为：
3．（2022·上海市晋元高级中学 ）设数列满足，且，则数列的通项公式为___________.
答案：
【解析】因为，
，，
，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
，
所以，
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，，且满足，则___________.
答案：
【解析】因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以
所以
故答案为：
5．（2023·天津）在数列中，，，，则该数列的通项公式______．
答案：
【解析】因为数列中，，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则，解得.
故答案为：.
6．（2022·黑龙江·建三江分局第一中学高二期中）已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______．
答案：
【解析】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以
故答案为：.
7．（2022重庆）已知数列满足，，求数列的通项公式 .
答案：.
【解析】由两边同除以得，令，
则，设，解得，
，而，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，得
8．（2022·安徽宿州·高二期中）已知数列的首项，且，数列的通项公式 ；
答案：
【解析】∵，等式两边同时加1整理得
又∵，∴
∴是首项为2，公比为2的等比数列．
∴， ∴
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式 ；
答案：．
【解析】由，
得：，
∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，
得．
10（2022·四川）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式 .
答案：
【解析】令.先求出数列的不动点，
解得.
将不动点代入递推公式，
得，
整理得，，
∴.
令，
∴，.
∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列.
∴的通项公式为.
将代入，得.
∴.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式 .
答案：
【解析】因为，故且，
故，而 ，故，故，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，解得.