2023-2024学年上海市黄浦区大同中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市黄浦区大同中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过点，且方向向量为的直线方程是( )
A. B. C. D.
2.若为常数，则( )
A. B. C. D.
3.关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是( )
A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于对称 D. 关于原点中心对称
4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示用过点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.直线的倾斜角为______．
6.椭圆的长轴的长为______．
7.抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程是______．
8.函数的导函数为______．
9.若方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是______．
10.已知直线：与直线：平行，则______．
11.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是______．
12.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是______．
13.直线为参数，和曲线为参数，交于、两点，则 ______．
14.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为______．
15.年卡塔尔世界杯会徽如图近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线已知点是双纽线上一点，下列说法中正确的是 填上你认为所有正确的序号
双纽线关于原点中心对称；
双纽线上满足的点有两个；
；
的最大值为．
16.已知双曲线左右焦点分别为，，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则 ______．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆经过点和，且圆心在直线：上，求圆的方程．
18.本小题分
已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程．
19.本小题分
设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且
若，且的周长为，求；
若，求椭圆的离心率．
20.本小题分
设函数，函数在点处的切线方程为．
求的解析式；
证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
21.本小题分
已知直线与椭圆：有且只有一个公共点．
求椭圆的方程；
是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；
椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查用点斜式求出直线的方程，属于基础题．
由题意求出直线的斜率，用点斜式求得直线的方程．
【解答】
解：由于直线的方向向量为，故直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据极限的运算和导数的定义即可得解．
本题考查了导数的定义和极限的运算，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，将方程中换为，则有，
则，与原方程不同，所以方程不关于轴对称；所以不正确；
对于，将方程中换为，则有，
则，与原方程不同，所以方程不关于轴对称；所以不正确；
对于，将方程中换为，换为，则有，
与原方程不相同，所以方程不关于轴对称；所以不正确；
对于，将方程中换为，换为，则有，
则，与原方程相同，所以方程关于原点中心对称．所以D正确．
故选：．
根据题意，由曲线方程，依次分析选项即可得出答案．
本题考查曲线方程的应用，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：设交于，
以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立如图所示坐标系，
因为圆锥的高，是中点，且截面垂直于底面，
所以，所以，
又因为底面圆半径，
所以，所以，
设双曲线方程为，
将，代入解得，
则双曲线的两条渐近线方程为，
由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为，
所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为．
故选：．
以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立坐标系，求出，坐标代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，先求出两渐近线所夹锐角的正切值，再求余弦值即可．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，
直线倾斜角的范围为，
则所求倾斜角为．
故答案为：．
根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解，，
长轴的长．
故答案为：．
利用椭圆方程即可得到结果．
本题考查椭圆性质的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，抛物线的准线方程，
若抛物线的准线方程为，则，解可得，
则抛物线的标准方程是．
故答案为：．
根据题意，分析可得抛物线的准线方程，由此可得关于的方程，解可得的值，即可得答案．
本题考查抛物线的标准方程，涉及抛物线的几何性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据复合函数的求导法则即可得．
本题考查复合函数的导数，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为方程表示的曲线是一个圆，
所以有，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
根据圆的一般方程的性质可得到不等式，解不等式即可解得实数的取值范围．
本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：直线：与直线：平行，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
根据双曲线的标准方程求解．
本题主要考查了双曲线的标准方程，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：圆化为直角坐标方程为
直线化为直角坐标方程为．
圆心到直线的距离是
故答案为：．
将极坐标方程化为直角坐标方程，再用点到直线的距离公式，即可得到结论．
本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：直线为参数，，
消去参数可得，，
曲线为参数，
则消去参数可得，，
联立直线与曲线可得，，化简整理可得，，
设，，
则，，
故．
故答案为：．
将题干条件转化为直角坐标方程，再结合韦达定理，弦长公式，即可求解．
本题主要考查参数方程化成普通方程，考查转化能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为椭圆的方程为，所以、，
如图连接，当为等腰三角形的底时，作的垂直平分线交椭圆于、两点，
连接、、、，
则此时、为等腰三角形，满足题意；
同理当、、为等腰三角形的底时，
也可以各作出个满足题意的等腰三角形；
如图连接，当为等腰三角形的腰时，
以为圆心，为半径作圆，
则圆的方程为，
联立，解得或或，
即圆与椭圆交于、、，连接、、、，
则此时、为等腰三角形，满足题意；
同理当、、为等腰三角形的腰时，
也可以各作出个满足题意的等腰三角形；
如图，以为圆心，为半径作圆，
同理可以证明圆与椭圆交于、、，
连接、、、，
则此时、为等腰三角形，满足题意；
如图，以为圆心，为半径作圆，
同理可以作出个等腰三角形；
因为由于椭圆性质知为椭圆最长弦，所以它不能为等腰三角形的腰；
综上所述满足题意的等腰三角形的个数有个．
故答案为：．
对椭圆顶点连线是等腰三角形的腰还是底，进行讨论即可求出结果．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：对于，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点，，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，
所以，
用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以正确；
对于，根据三角形的等面积法可知，
即，所以，所以正确；
对于，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即，
所以，得，所以这样的点只有一个，所以错误；
对于，因为，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以的最大值为，所以正确．
故答案为：．
对于，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于，根据三角形的等面积法分析判断，对于，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于，由向量的性质结合余弦定理分析判断．
本题考查曲线的定义和性质，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，设圆与的延长线、的延长线和线段分别切于点，，，连接，
则，，，
由双曲线方程为，可得，，，
又为右支上的一动点，，
又
，
，，
由题意可知，
又，
．
故答案为：．
结合双曲线的定义，再结合直线与圆相切的性质，转化求得，再根据数量积的的公式，即可求解．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
17.【答案】解：设圆的方程为，
圆心在直线上，得，
可得圆的方程为，
圆经过点和
，
解得，，
因此，所求圆的方程为．
【解析】根据题意，设圆的方程为，由、两点在圆上建立关于、的方程组，解出、的值即可得出所求圆的方程．
本题给出圆的圆心在定直线上，在圆经过两个定点的情况下求圆的方程．着重考查了圆的标准方程及其应用的知识，属于中档题．
18.【答案】解：显然直线和直线都是与抛物线只有一个公共点，
再设直线方程为，代入抛物线方程得，
由得，直线方程为，
它与抛物线相切，只有一个公共点，
所以所求直线方程为和．
【解析】考虑直线斜率不存在和与抛物线对称轴平行的直线，再在斜率存在时，设方程，由它与抛物线相切得结论．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
19.【答案】解：由题意可得的周长为，可得，
因为，，所以，
由椭圆的定义可知；
设，由题意可知，由椭圆的定义可知：，
，，
在中，由余弦定理可得：，
即，整理可得：，
可得或舍，即，
即，，，
所以点为短轴的定点，设为上顶点，
在中，，，
在中，由余弦定理可得：，
所以，可得，
所以椭圆的离心率为：．
【解析】由题意可知的值及的值，再由椭圆的定义可得的值；
设，由线段的关系，可得，，的值，在中，由余弦定理可得，的关系，进而可得为短轴的顶点，再由余弦定理可得，的关系，进而求出离心率的值．
本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
20.【答案】解：直线的斜率为，
将代入直线方程得，所以，
由题意，则，
所以，解得：，，
所以．
证明：设曲线上任一点为，，
曲线在点处的切线方程为，
整理为，当时，，
联立，得，
如图，，，
所以，
所以曲线上任意一点处的切线与直线和所围成的三角形面积为定值，定值为．
【解析】根据导数的几何意义以及切线方程，列方程组求解即可；
首先求曲线上任一点处的切线方程，并结合图象，求三角形的面积，即可求解．
本题考查导数的几何意义，考查直线方程的求法，属于中档题．
21.【答案】解：联立，消去并整理得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，
解得，
则椭圆的方程为；
假设存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
所以，
则，
解得，
故存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称，
且的取值范围为；
易知椭圆的左焦点为，
当对角线与中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时，
此时四边形的面积；
当对角线与的斜率即存在，又不为零时，
不妨设直线的方程为，，，，，
可得直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
同理得，
此时四边形的面积，
不妨令，，
此时
，
因为，
所以，
即，
此时，
则，
综上得，四边形的面积的最小值为．
【解析】由题意，将直线方程和椭圆方程联立，利用，列出等式再进行求解即可；
假设存在实数，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用求出的范围，结合韦达定理得到线段的中点，代入直线的方程中，求出与的关系，进而可得的取值范围；
先求出对角线与中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时的四边形面积，再求对角线与的斜率即存在，又不为零时的四边形面积，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用弦长公式求出，同理求出，代入四边形面积公式中，结合换元法再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
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