2023-2024学年江西省上饶市余干县蓝天实验学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省上饶市余干县蓝天实验学校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数列，，，，中，根据前项的规律写出的第个数为( )
A. B. C. D.
2.下列数列中等差数列的是( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列中，，公比，则( )
A. B. C. D.
4.在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
5.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.一个小球从的高处下落，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则时小球的瞬时速度单位：为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象与直线相切于点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述不正确的是( )
A. ，，，与，，，是相同的数列
B. ，，，，是等比数列
C. 数列，，，，的通项公式为
D. 数列是递增数列
10.数列，，，，的通项公式可以是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则( )
A. 在区间上单调递减 B. 的最小值为
C. 的对称中心为 D. 方程有个不同的解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列中，，则通项公式 ______．
13.如图所示为函数的图象，则不等式的解集为______．
14.已知数列的前项和为，若，且，则 ______， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列的通项公式是．
这个数列的第项是多少？
是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
16.本小题分
已知，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
等比数列的公比为，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，点在曲线上．
求函数的解析式；
求曲线在点处的切线方程；
求曲线过点的切线方程．
19.本小题分
已知函数．
若，求的单调区间；
讨论函数的单调性；
若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：数列，，，，，
则该数列的通项为，
第个数为．
故选：．
先求出数列的通项，再将代入通项公式，即可求解．
本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，，相邻两项的差为常数，是等差数列；
对于，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；
对于，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；
对于，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列．
故选：．
利用等差数列的定义判断．
本题主要考查了等差数列的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由等比数列中，，公比，
又由，可得．
故选：．
根据题意，结合等比数列的通项公式，得到，即可求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意，，，，，
故数列的周期为，
故．
故选：．
逐项计算，再根据数列的周期性求解即可．
本题主要考查了数列的递推式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
选项，，A错误；
选项，，B错误；
选项，，C错误；
选项，，D正确．
故选：．
根据题意，由导数的计算公式依次分析选项，综合可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意知位移单位：与时间单位：之间的关系为，
故，故时小球的瞬时速度为．
故选：．
求出函数的导数，根据导数的物理含义，即可求得答案．
本题主要考查了函数平均变化率定义的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，直线与函数的图象相切于点，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以，
又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以，
所以则．
故选：．
根据导数的几何意义直接求解出的值，再根据点在直线上求解出的值，即可计算出结果．
本题主要考查利用导数研究切线方程，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，因为，所以，
令，则，
变形可得．
故选：．
根据题意，对等式两边求导，再令即可得出答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于：，，，与，，，显然不是相同的数列，因为顺序不一样，故A错误；
对于：当时常数数列，，，，不是等比数列，故B错误；
对于：数列，，，，的通项公式为，故C错误；
对于：因为，
又，函数在上单调递增且，
所以，所以，
即，
所以数列是递增数列，故D正确．
故选：．
根据数列的概念判断，当时可判断，写出的通项即可判断，利用作差法判断数列的单调性，即可判断．
本题主要考查了数列的概念，考查了数列的函数特征，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，，，，符合题意，是；
对于，，，，，符合题意，是；
对于，，，，，符合题意，是；
对于，，，，，不符合题意，不是．
故选：．
根据给定条件，逐项验证判断即得．
本题主要考查了数列的通项公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：函数，
对于：，令，解得或，
令，解得，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
且，，可画出函数的大致图象如图所示，故A正确；
对于：此函数无最小值，故B错误；
对于：，故C正确；
对于：根据图象可知有个不同的解，故D错误．
故选：．
根据已知条件，利用导数研究函数的单调性，以及图象，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，即，
则，
，
，
，，
，
所以上述个式子左右分别相加得：
，
即，
又因为，所以，
当时，也满足上式，
所以通项公式．
故答案为：．
利用累加法求数列的通项公式，同时右边求和时需要利用裂项相消法求和．
本题考查累加法求数列的通项公式和裂项相消法求和，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，当时，，
因为，所以或，
即或或，解得或，
所以原不等式的解集为．
故答案为：．
由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式．
本题主要考查了导数与单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：当时，可得，
当时，可得，依次可求得，
依此类推可知该数列的周期为，
所以，．
故答案为：；．
利用数列性质求出数列的周期为，再进一步即可求出，即可．
本题考查数列的递推式，考查周期数列，属基础题．
15.【答案】解：数列的通项公式是．
这个数列的第项是：
．
，即，
解得或舍，
是这个数列的项，是第项．
【解析】利用数列的通项公式能求出这个数列的第项．
由，能求出结果．
本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：依题意，由及，
可知数列是以为首项，为公差的等差数列，
，．
由题意，设数列的前项和为，
则由及等差数列的求和公式，
可得
．
【解析】先根据题干已知条件判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，即可计算出数列的通项公式；
根据第题的结果及等差数列的求和公式即可计算出数列的前项和．
本题主要考查等差数列的基本运算．考查了转化与化归思想，等差数列的定义，等差数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：等比数列的公比，且，，成等差数列，
，
，
，又，
；
，
．
【解析】根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；
根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．
18.【答案】解：由在曲线上，
可得，即，
则；
的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
则切线方程为，
即为；
设切点为，可得，
则切线方程为，
代入，可得，
解得或，
则切线的方程为或．
【解析】代入的坐标，可得，即可得到的解析式；
求得的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线的方程；
设切点为，可得切线的斜率和方程，代入的坐标，解得，可得切线的方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：当时，，，
令可得，故当时，单调递减，
当时，单调递增，
故递减区间为，递增区间为；
由可得：函数定义域为，，
当时，，此时函数在定义域上单调递减，
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
因为函数在处取得极值，
所以，即，解得．
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，故．
所以．
因为对，恒成立，
所以对，恒成立．
令，则．
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：．
所以实数的取值范围为
【解析】先求出函数的导函数，进而分析导函数的正负区间与单调区间；
先求出函数的导函数；再分和两种情况，再每一种情况中借助导数即可解答；
先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
第1页，共1页