2023-2024学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省南阳市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的导数( )
A. B. C. D.
2.是等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的图象如图所示，下列关系正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.在一组样本数据，，，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组数据的样本相关系数为( )
A. B. C. D.
5.已知数列为等比数列，，则( )
A. B. C. D.
6.若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款小明与银行约定：每个月月末还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为则小明每个月所要还款的钱数为元．( )
A. B. C. D.
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列是等比数列，且，则下列结论正确的是( )
A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列
C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列
10.小明研究函数的图象与导函数，经查阅资料，发现具有下面的性质：若函数在上的导函数为，且在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”请你根据以上信息和所学知识，判断以下函数在其定义域上是“凹函数”的有( )
A. B. C. D.
11.已知等差数列的公差，数列为正项等比数列，且，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
12.设数列为正项等比数列，为公比，为前项的积，且，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 与均为的最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列的前项依次为，则的一个通项公式为 ______．
14.已知，则 ______，
15.垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾千克所需的费用角的情况作了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列正确说法的序号是______．
变量，之间呈正相关关系；
可以预测当时，的值为；
表中的值为；
样本中心点为．
16.已知数列满足，且前项和为，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知曲线：．
求与直线平行，且与曲线相切的直线方程；
设曲线上任意一点处切线的倾斜角为，求的取值范围．
18.本小题分
已知数列的前项和．
求证：是等差数列；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知公差不为的等差数列，前项和为，且，_____．
现有条件：；；请从这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解决下面问题．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
20.本小题分
为了了解高中学生课后自主学习数学时间分钟每天和他们的数学成绩分的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据表一．
表一
编号
学习时间
数学成绩
经分析，可用线性回归模型拟合与的关系，请求出线性回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为分钟时的数学成绩参考数据：的方差为
基于上述调查，某校提倡学生周末自主学习经过一学期的实施后，抽样调查了位学生按照是否参与周末自主学习以及成绩是否有进步进行统计，得到列联表表二依据表中数据，判断是否有的把握认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
表二
没有进步 有进步 合计
参与周末自主学习
末参与周末自主学习
合计
附：
21.本小题分
设函数，过点作轴的垂线交函数图象于点，以为切点作函数图象的切线交轴于点，再过作轴的垂线交函数图象于点，，以此类推得点，记的横坐标为，．
证明数列为等比数列并求出通项公式；
设直线与函数的图象相交于点，记其中为坐标原点，求数列的前项和．
22.本小题分
在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”如数列，第次“和扩充”后得到数列，，，第次“和扩充”后得到数列，，，，设数列，，经过第次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
求、；
若，求的最小值；
是否存在实数、、，使得数列为等比数列？若存在，求出、、满足的条件；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
其导数．
故选：．
根据题意，由导数的计算公式计算可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
则，，解得，，
故．
故选：．
结合等差数列的性质，等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前项和公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，的几何意义为在点处切线的斜率，
的几何意义为在点处切线的斜率，
，其几何意义为割线的斜率，
则有．
故选：．
根据题意，分析、和的几何意义，结合图象分析可得答案．
本题考查函数导数的几何意义，涉及函数的图象分析，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在一组样本数据，，，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，故相关性比较强，
则这组数据的样本相关系数为．
故选：．
直接利用相关系数和离散点的关系求出结果．
本题考查的知识要点：相关系数和离散点的关系，主要考查学生的理解能力，属于基础题和易错题．
5.【答案】
【解析】解：数列为等比数列，，
，
可得，
，，且，
故，可得．
故选：．
根据等比数列的性质直接求解即可．
本题主要考查等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，公比，
，，成等比数列，
则，
故，
所以，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，基本不等式的公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：，
第二个月末所欠银行贷款数为：，
，
第个月末所欠银行贷款为：
，
由于分次还清所有的欠款，所以，解得．
故选：．
根据等额本息还款法，分别写出第一个月末，第二个月末，，第个月末所欠银行贷款，其中第月末还清所有的欠款，由此列方程求出结果．
本题考查了递推数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为二二数之剩一的数为的形式，三三数之剩一的数为的形式，其中，，
则数列的项即为以上两类数的公共项，即为的形式，，
即，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
由已知先求出，然后结合等差数列的求和公式及通项公式及基本不等式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题
9.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
因为，所以，
对于，，所以数列是等比数列，故A正确；
对于，当时，等比数列为正项常数列，此时，所以数列不是等比数列，故B错误；
对于，，所以数列是等比数列，故C正确；
对于，，所以数列是等差数列，故D错误．
故选：．
根据等比数列的性质，以及通项公式判断．
本题主要考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，其导数，则有，不符合“凹函数”的定义，故A不符合题意；
对于，，定义域为，其导数，则，
在定义域上不恒成立，不符合“凹函数”的定义，故B不符合题意；
对于，，定义域为，其导数，
则有在上恒成立，符合“凹函数”的定义，故C符合题意；
对于，，定义域为，其导数，
则有在上恒成立，符合“凹函数”的定义，故D符合题意．
故选：．
由“凹函数”的定义逐项判断即可得解．
本题主要考查导数的运算，函数的新定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：等差数列的公差，数列为正项等比数列，设公比为，，，
设，，由，可得，
即有，
由，
设，可得，
当时，，递增；当时，，递减，可得，
又，可得，即，故A错误；
由，可得，故B正确；
由，可得，解得，
，
设，可得，
当时，递增，可得，
又，可得，即，故C正确；
由，可得，解得，
，
设，可得，
当时，递减，可得，
又，可得，即，故D正确．
故选：．
设公比为，，，，，推得，由作差法，结合函数的导数，求得单调性和最值，对各个选项分析，可得结论．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及导数的运用，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，
所以，，
由可得，故B正确；
由，可得，
由，可得，
因为为正项等比数列，所以，则，故A正确；
因为，，
因为，，
所以，故C错误；
因为，，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故为的最大值，故D正确．
故选：．
由可得即可判断；由到，结合等比数列公比的定义即可判断；已知，则可将，均表示成与的式子，比较系数的大小即可判断；根据与的大小即可判断的单调性，从而求解．
本题主要考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，数列的前项依次为，即，，，，；
则的一个通项公式为．
故答案为：．
根据题意，分析数列前项的规律，综合可得答案．
本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，则．
故答案为：．
注意是个常数，对进行求导，再代入即可得解．
本题考查了导数的运算，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：对于中，由关于的线性回归方程为，可得，
所以变量，之间呈正相关关系，所以正确；
对于中，由关于的线性回归方程为，
当时，可得，所以正确；
对于中，由表格中的数据，可得，，
可得，解得，所以错误；
对于中，由，，即样本中心点为，所以正确．
故答案为：．
由，可得判定正确；令时，求得，可判定正确；根据回归直线方程的含义与性质，可判定错误，正确．
本题主要考查了线性回归方程的性质，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
当为奇数时，，
即，，
，，，
可得；
当为偶数时，，
即，，，
可得，
则前项和为，解得．
故答案为：．
由数列的递推式，讨论为奇数和偶数时，结合等差数列的通项公式，解方程可得所求值．
本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
17.【答案】解：由，可得，
令，
解得，
当时，切点坐标为，
则切线方程为，即；
当时，切点坐标为，
则切线方程为，即；
综上，所求直线方程为或；
由结合导数的几何意义可得，，
又，
则．
【解析】根据导数的几何意义结合两直线平行的条件，可得切点坐标，进而得到直线方程；
由，即可得出答案．
本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】证明：因为，
所以时，，
当时，适合上式，
故，
所以时，，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列；
解：当时，，
则
，
当时，
，
故．
【解析】结合和与项的递推关系先求出，然后结合等差数列的定义即可证明；
结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了数列的递推关系的应用，还考查了等差数列的求和公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：设等差数列的公差为，
选条件：由可得，，
又，解得，
所以；
选条件：由可得，，
又，解得舍去，
所以；
选条件：由可得，，
又，解得，
所以；
，
所以
．
【解析】结合所选条件，利用等差数列的通项公式及求和公式即可求解；
先求出，然后利用裂项求和即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了裂项求和方法的应用，属于中档题．
20.【答案】解：，
，又的方差为，
，
，
故，
当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间达到分钟时的数学成绩为；
零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关，
根据数据，计算得到：
，
，
依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
【解析】先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；
根据题意计算出，进而由的独立性检验得出答案．
本题考查线性回归方程与独立性检验，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】证明：函数，，
以点为切点的切线方程为
当时，得，即．
又，数列以为首项，为公比的等比数列，
通项公式为
解：根据题意，得，，
，
，
相减，得
．
【解析】求导函数，可得以点为切点的切线方程，从而可得数列以为首项，为公比的等比数列，
即可求出通项公式；
利用错位相减法，可求数列的前项和．
本题考查导数知识的运用，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22.【答案】解：原数列有项，经第次拓展后的项数；
经第次拓展后的项数；
数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第次拓展后的项数为，
则经第次拓展后增加的项数为，
所以，
所以，
由得，所以是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
由，可得，解得，
所以的最小值为；
设第次拓展后数列的各项为，，，，，，，
所以，
因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以，
即，
所以，即有，
得，
由，则，，
若使为等比数列，则，或，
所以存在，、、满足的条件为，且，或，且．
【解析】根据题中“和扩充”的定义进行求解即可；
根据等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
根据等比数列的定义和性质进行求解即可．
本题主要考查数列的新定义问题，利用等比数列的定义和性质是解题的关键，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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