2023-2024学年湖北省孝感市重点高中教科研协作体高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省孝感市重点高中教科研协作体高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
2.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知为虚数单位，复数，则( )
A. B. C. D.
4.已知三角形的三边长分别为、、，则此三角形为( )
A. 等边三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，，则下列结论正确的是( )
A. 的图像关于直线对称
B. 的图像关于点对称
C. 在区间上单调递增
D. 将的图像向右平移个单位长度可以得到的图像
7.在中，，，分别为角，，所对的边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，其中，，为虚数单位，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是( )
A. 当时，为纯虚数
B. 满足的点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆
C. 的虚部为
D. 若，且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为
10.如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：米在水面下则为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：秒之间的关系为，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D. 盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒
11.在中，，，，，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，则
B. 若，则
C.
D. 当且时，若点为平面内任意一点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，向量，，若点是线段靠近点的三等分点，则点的坐标为______．
13. ______．
14.已知函数，若在闭区间上存在，使成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，．
求与的夹角；
若向量为在上的投影向量，求
16.本小题分
如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到达处，在测得山顶的仰角为．
若，，，，求山的高度；
若，，，，求的余弦值．
17.本小题分
已知将曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图像向右平移个单位长度得到函数的图像．
求函数在区间上的单调递增区间；
已知，，，，求的值．
18.本小题分
已知函数，，，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为．
求函数的解析式；
若，解不等式；
若，且关于的方程有三个不等的实根，求实数的取值范围．
19.本小题分
在中，，，分别为角，，所对的边，，．
求角；
若的内切圆半径为，求边长；
若为钝角三角形，点为平面内一点且满足，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据正切函数的性质可知，的最小正周期．
故选：．
由已知结合正切函数的周期公式即可求解．
本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于：因为，即，故不能作为基底，A错误；
对于：因为是零向量，故不能作为基底，B错误；
对于：因为，即与为不共线的非零向量，可以作为基底，C正确；
对于：因为，即，故不能作为一组基底，D错误．
故选：．
由已知结合向量共线的坐标表示检验各选项即可判断．
本题主要考查了向量共线的坐标表示及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：复数．
故选：．
结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：三角形的三边长分别为、、，
不妨设、、所对的边分别为、、，且，，
是最大边，角是最大角
根据余弦定理，得
角是钝角，可得是钝角三角形
故选：．
不妨设，，，可得是最大角．根据余弦定理，算出是负数，从而得到角是钝角，由此得到此三角形为
钝角三角形．
本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和余弦函数的取值等知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
则．
故选：．
由题意利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解的值．
本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为不是函数的最值，A错误；
因为，即的图象关于对称，B错误；
当时，，
因为在上单调递减，
所以在区间上单调递减，C错误；
将的图像向右平移个单位长度可得，
即可得函数的图像，D正确．
故选：．
结合正弦函数的对称性检验选项A，，结合余弦函数的单调性检验选项C；结合三角函数图象的变换检验选项D．
本题主要考查了正弦函数及余弦函数性质的综合应用，还考查了函数图象的变换，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解，
故．
故选：．
直接利用正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以，
则．
故选：．
由已知结合同角基本关系先求出，然后结合两角和的正弦公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，当时，不为纯虚数，故A错误；
对于，，
则，
故满足的点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆，故B正确；
对于，的虚部为，故C正确；
对于，，且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为，故D正确．
故选：．
结合复数的概念，复数的几何意义，复数的运算，即可求解．
本题主要考查复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：到水面的距离为与时间之间的关系为，
其中，，，所以，选项A正确；
因为时，，解得，
又因为，所以，选项B错误；
所以，
令，得，解得，
所以，解得，
所以盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，选项C正确；
由，得，得，
所以，，
解得，，
所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，选项D正确．
故选：．
根据与时间之间的关系为，求出、和、与，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了函数模型应用问题，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，因为，所以，
当时，，
所以，即选项A正确；
选项B，，
若，则，
所以，解得，，即选项B正确；
选项C，由题意知，，，
由知，，
因为，所以，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，所以或，即选项C错误；
选项D，由知，，
在中，由余弦定理知，，
设的中点为，连接，
则，当且仅当与重合时，等号成立，即选项D正确．
故选：．
选项A和，结合平面向量的基本定理与线性运算法则，即可判断；选项C，由，知，采用等面积法，求得，再根据角的范围，即可判断；选项D，在中，利用余弦定理求得，设的中点为，连接，由，求解即可．
本题考查平面向量的综合应用，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则，余弦定理与三角形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：设点，则，，
由题意知，，即，
所以，解得，所以点的坐标为．
故答案为：．
设出点的坐标，用坐标表示、，根据题意列方程组求解即可．
本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
由已知结合诱导公式及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】函数，
要使成立，
若闭区间上存在，，
则，，设，
则，，，
则，且，，
，，
可得，显然不成立，即不满足条件；
当时，，
当时，都符合条件，即；
综上所述：的范围为．
故答案为：．
由两角差的正弦公式，可得函数的解析式，满足条件，则和都达到最大值，求出，，，由的范围，可得的范围．
本题考查两角和的正弦公式的应用及三角函数的性质的应用，属于中档题．
15.【答案】解：，，，
则，即，解得，
设与的夹角为，，
则，解得，
故与的夹角为；
向量为在上的投影向量，
则，
故．
【解析】结合平面向量的数量积运算，即可求解；
结合投影向量的公式，并对所求向量模平方并开方，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
16.【答案】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，，
所以，，
设，
在中，，
所以，
在中，，
所以，即，
所以，解得，
所以山的高度为．
在中，，
所以，，
在中，，，
所以，
在中，，
所以，即，
所以，
整理得，
又，
所以，整理得，
所以，
因为，
所以．
【解析】过点作于点，易得，，设，根据，可得关于的方程，解之，再求得的长即可；
在中，可得，，根据，推出，结合以及的取值范围，求得的值即可．
本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由题意得，，
令，，
则，，
所以函数在区间上的单调递增区间为和；
因为，
所以，
因为，，
所以，，
又，，
所以．
【解析】结合三角函数图象变换求出，然后结合余弦函数的单调性即可求解；
由已知可先求出，，然后结合两角和的正切公式求出，即可求解．
本题主要考查了三角函数图象变换，还考查了余弦函数单调性的应用，同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：，
，
由题意可得，，
故，；
由不等式可得，，
解得，，
所以，，
因为，
所以或，
故的范围为或；
关于的方程有三个不等的实根，
则或有三个不等实根，
因为，
结合函数图象可知，有一个根，
故有两个不等实数根，
所以，
故的范围为．
【解析】结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求，即可求解函数解析式；
结合正弦函数的性质即可求解不等式；
由已知方程可得或，然后结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质在三角不等式求解中的应用，由方程根的个数求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由正弦定理及得：
，
因为角，，是的内角，
所以，即，
因为，所以．
由知，由余弦定理得：，
又，所以，
设的内切圆半径为，则，
因为的面积，
所以，即，
整理得，即，
因为，解得．
因为点为平面内一点，
设点为的中点，点为的中点，
则，，
又，
所以，
所以为线段和垂直平分线的交点，即为外接圆圆心，
因为是钝角三角形，由，可知角为钝角，所以，
即，得，
由可得，解得，所以，
由，得，即，
设外接圆半径为，由正弦定理得，
所以的取值范围是．
【解析】由正弦定理及同角三角的基本关系式，转化求解即可；
由余弦定理得：，又，设的内切圆半径为，则，因为的面积，可得，解方程可求解；
由题意可得为外接圆圆心，利用余弦定理及得，由是钝角三角形，得到，结合正弦定理求解外接圆半径的取值范围即可．
本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，属于难题．
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