2023-2024学年河南省信阳市高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省信阳市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
2.若向量，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，是平面直角坐标系内的三点，若，，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.曲线与曲线关于轴对称，则( )
A. B. C. D.
5.若复数满足，则在复平面上所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.若函数的图象关于直线对称，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间的距离为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.课本第页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图在锐角中，过点作与垂直的单位向量，因为，所以由分配律，得，即也即．
请用上述向量方法探究，如图直线与的边，分别相交于点，设，，，则与的边和角之间的等量关系为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，同时满足：在上是增函数；为偶函数的是( )
A. B. C. D.
10.下列命题中正确的是( )
A. 若向量，满足，则
B. 若非零向量，满足，则
C. 若，，为平面向量，则
D. 若，，为非零向量，且满足，则
11.已知的三个内角，，的对边分别是，，，面积为，则下列说法正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 若为边的中点，且，则的面积的最大值为
C. 若是锐角三角形，则的取值范围是
D. 若角的平分线与边相交于点，且，则等于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量均为单位向量，且，则向量与的夹角为______．
13.若，则 ______．
14.如图所示，在平行四边形中，，垂足为点设，，，，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为何实数时，复数满足下列要求：
是纯虚数；
在复平面内对应的点在第二象限．
16.本小题分
已知，，点在直线上，且，求点的坐标．
17.本小题分
已知函数的一部分图象如图所示，如果，，．
求函数的解析式；
求函数在上的单调递增区间．
18.本小题分
如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，同时测得．
求和的长度；
求，之间的距离．
19.本小题分
对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系其中称为的像．
若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
若，；，，且与具有关系，求的像；
若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的模，考查了共轭复数的概念，是基础题；
由共轭复数的定义知，，从而求解．
【解答】
解：，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：依题意得，即．
故选：．
利用向量平行的坐标表示直接求解．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，可得，即
又因为，，
所以的面积．
故选：．
根据题意利用数量积的运算性质，判断出，然后求出的长度，利用三角形的面积公式算出答案．
本题主要考查平面向量的数量积及其性质、三角形的面积公式等知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：曲线与曲线关于轴对称，
则．
故选：．
根据已知条件，结合函数关于轴的性质，即可求解．
本题主要考查余弦函数的图象，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
则在复平面上所对应的点位于第二象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为的图象关于直线对称，
所以，得，
因为，所以．
故选：．
由余弦函数的对称性直接求解．
本题主要考查余弦函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，，
所以，，
因为为偶函数，所以，，
因为，
所以，，
若，则，
两边平方得，，即，
．
故选：．
由已知先求出周期，进而可求，再由偶函数定义求出，结合已知及二倍角公式及同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，还考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数的性质，涉及到向量的运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．
设，则，然后可得，再根据向量的数量积的运算性质化简即可求解．
【解答】
解：设，则，
因为，所以，
即，
即，
所以，
即．
故答案选：．
9.【答案】
【解析】解：根据正弦函数图象的变换可知，为偶函数且在上是增函数，A正确；
为偶函数且在上是增函数，B正确；
在上是减函数，C错误；
为偶函数且在上是增函数，D正确．
故选：．
由已知结合基本初等函数的图象变换及函数的单调性及奇偶性检验各选项即可．
本题主要考查了三角函数图象的变换及函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，若向量，满足，
当，至少有一个为时，
则，
当，均不为时，
则，
即或，
即，
即选项A正确；
对于选项B，若非零向量，满足，
则，
则，
即选项B正确；
对于选项C，若，，为平面向量，
取，，为非零向量，且，，
则，，其中，
此时，
即选项C错误；
对于选项D，若，，为非零向量，且满足，
则，
则或，
即选项D错误．
故选：．
由平面向量数量积的运算，结合向量共线及垂直的运算逐一判断．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，由三角形面积公式及余弦定理可得，
可得，，所以，
中，可得
，
因为，所以，
所以，所以，所以A正确；
中，为边的中点，且，
可得，所以，
所，
则的面积的最大值为，所以不正确；
中，为锐角三角形，可得，可得，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，所以C正确；
中，由等面积可得，，
可得，
所以，所以不正确．
故选：．
由三角形面积公式及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小，中，可得表达式，再由角的范围，可得的范围，判断出的真假；中，由中线的向量表示及基本不等式可得的范围，进而求出三角形的面积的最大值，判断出的真假；中，由正弦定理及锐角三角形中角的范围，可得的范围，进而可得的范围，判断出的真假；中，由三角形的面积相等可得，进而可得的值，判断出的真假．
本题考查正弦定理，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设向量与的夹角为，，
平面向量均为单位向量，且，
则，即，解得，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的夹角公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
利用诱导公式可求得，再利用二倍角的余弦公式计算可得答案．
本题考查两角和与差的三角函数及二倍角的余弦公式，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设，
由于，则，
因为，且，
所以，
即，
所以，得，
又，
解得，，
所以，，
所以，
则，
所以，
又因为，
由可知，，
所以．
故答案为：．
由已知结合向量的线性运算及向量向量数量积的性质可求出，，代入即可求解．
本题主要考查了向量的线性运算及向量数量积的性质的综合应用，属于中档题．
15.【答案】解：
．
由，得，
即时，是纯虚数．
由，得，
即时，在复平面内对应的点在第二象限．
【解析】利用复数的实部为，虚部不为，求解即可．
利用复数的对应点在第二象限．列出不等式组求解即可．
本题考查复数的基本概念的应用，考查计算能力．
16.【答案】解：由点在直线上，且，
可得，设，
则，，
则有或，
解得或，
则点的坐标为或．
【解析】由向量共线的坐标表示，即可求得．
本题考查向量的坐标运算，属基础题．
17.【答案】解：由图象可知，，
所以，
设的最小正周期为，．
，，
又，且，
．
函数的解析式为；
，，
由和．
可得函数的单调递增区间为和．
【解析】由最值求出，，结合函数图象求出周期，进而可求，代入特殊点的坐标求出，进而可求函数解析式；
结合正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了的解析式的求解，还考查了正弦函数的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：在中，由题知，，，
所以，
由正弦定理得，所以，
在中，又因为，，，
所以，
所以；
在，由，，，
所以，
在中，，，，
由余弦定理得，
所以．

【解析】在中，利用正弦定理即可求解出，再利用条件得到；
在中，利用条件和中的结果，求出，在中，再利用余弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：与不具有关系，
理由如下：
时，，，
所以，
，
即不存在，使任取，成立，
所以与不具有关系；
由题意可知，
所以，
即，
又，所以，
所以，，
解得或或，
所以的像为或或；
当时，则，
所以，
即，
因为与具有关系，
所以要满足题意需，使得，
即，
所以
令，
令，则，
设，则对称轴为，开口向上，
若，即时，，
则，
若，即时，，
则，
若，即时，，
则或，显然无解，
若，即时，，
则或，显然无解，
综上所述：或．
实数的取值范围为．
【解析】根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可；
根据具有关系及三角函数的性质计算即可；
利用三角函数的性质先确定，根据具有关系的定义得出，再根据二次函数的性质求解即可．
本题属于新概念题，考查了三角函数、二次函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
第1页，共1页