2023-2024学年河南省商丘市高一（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）

2023-2024学年河南省商丘市高一（下）期中数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
4.( )
A. B. C. D.
5.已知向量，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，的对边分别为，，，若，则为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
7.若向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列命题正确的是( )
A. 若为纯虚数，则
B. 若为实数，则
C. 若在复平面内对应的点在直线上，则
D. 在复平面内对应的点可能在第三象限
10.关于平面向量，下列说法不正确的是( )
A.
B.
C. 若，且，则
D.
11.如图，已知正八边形的边长为，是它的中心，是它边上任意一点，则( )
A. 与不能构成一组基底
B.
C. 在上的投影向量的模为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则 ______．
13.已知，其中，是实数，则 ______．
14.已知平面内，，三点不共线，且点满足，则是的______心填“重”或“垂”或“内”或“外”
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知在正四棱锥中，，．
求四棱锥的表面积；
求四棱锥的体积．
16.本小题分
已知复数，且为纯虚数．
求复数；
若，求复数及
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求和的值；
求的面积．
18.本小题分
已知单位向量满足．
求的值；
设与的夹角为，求的值．
19.本小题分
已知函数．
证明：在上单调递减；
求不等式的解集．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：若化简，
根据向量减法的三角形法则可知，．
故选：．
由已知结合向量减法运算法则即可求解．
本题主要考查了向量的减法运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，
故选：．
根据复数的除法运算求解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，，所以，
由正弦定理得，即，
即．
故选：．
由题意可得角的大小，再由正弦定理可得的值．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用和幂的运算性质计算可得结果
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
则，，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，又，
即，由正弦定理可得，
即，所以为直角三角形且为直角．
故选：．
利用诱导公式及正弦定理将角化边即可判断．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设向量与的夹角为，，
向量，的夹角是，是单位向量，，
则，
，
则，解得，
，
故，解得．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的数量积运算法则，以及平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算法则，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意如图所示：设为的中点，连接，，设，分别为，的外接圆的圆心，
过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心，
连接，，则为外接球的半径，
由与均为边长为的等边三角形，则
又，则由余弦定理可得，
所以，
因为，分别为，的外接圆的圆心，
所以，，
可得，可得，而，
所以，
在中：，
所以外接球的表面积．
故选：．
取的中点，设和的外接圆的圆心，分别在，上，过，分别作两个半平面的垂线，交于，可得为三棱锥的外接球的球心，且可得，由等边三角形的边长为，可得，及的值，进而求出外接球的半径的值，再求出外接球的表面积．
本题考查三棱锥的外接球问题，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，若为纯虚数，则，解得，故A正确；
对于，若为实数，则，，此时，故B正确；
对于，在复平面内对应的点为，
由题意可得，即，解得或，故C错误；
对于，若在复平面内对应的点在第三象限，
则，此不等式组无解，在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D错误．
故选：．
由复数的基本概念及复数的代数表示法及其几何意义逐一分析四个选项得答案．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由向量的运算法则知正确，故A正确；
对于，向量数量积满足分配律，故B正确；
对于，向量数量积不满足消去律，故C错误；
对于，是与共线的向量，是与共线的向量，故D错误．
故选：．
由向量数量积的定义和运算律，对选项中的说法进行判断．
本题考查平面向量数量积的运算律，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：正八边形的边长为，是它的中心，是它边上任意一点，
对于选项：连接，，，
，
，
，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建系如图，
则，
，
，
，与不能构成一组基不能构成一组基底，故A选项正确；
对于选项：，，
，
，
，
，故B选项错误；
对于选项：，，，
，，
，，
在向量上的投影向量的模长为，故C选项错误；
对于选项：取的中点，则，，
，，
两式相减得：，
当点与点或重合时，最大，最大值为，
的最大值为，
当点与点重合时，最小为，的最小值为，故D选项正确．
故选：．
连接，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到与平行，即可判断；根据平面向量加法法则计算判断；利用投影向量公式进行计算判断；利用向量线性运算及向量数量积的运算法则结合图形得到的最值，即可判断．
本题考查平面向量的运算和性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，
可得．
故答案为：．
由向量减法的坐标运算即可求解．
本题考查向量减法的坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，解得，，
所以．
故答案为：．
根据复数相等的充要条件可解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】垂
【解析】解：因为，同理，，故为的垂心．
故答案为：垂．
由条件等式移项后，逆用数量积的分配律将其化简成，即得，同理可得另外两个垂直关系，即得点为其垂心．
本题主要考查逆用数量积的分配律，属于基础题．
15.【答案】解：连接，相交于，连接，
过点作于点，连接，则是斜高，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，
，
所以正四棱锥的表面积为．
，
所以正四棱锥的体积为．
【解析】根据表面积公式即可求解；根据体积公式即可求解．
本题考查锥体的体积与表面积，属于中档题．
16.【答案】解：由，所以，
又为纯虚数，所以，解得，
所以复数；
由知，所以，
故，．
【解析】进行复数的乘法运算，根据纯虚数的定义即可得出复数；
根据共轭复数的定义，复数的乘法和除法运算即可得解．
本题考查了复数的乘法和除法运算，共轭复数的定义，复数模的求法，是基础题．
17.【答案】解：在中，由，可得，
又由及，可得．
由余弦定理得，得，
由，解得．
所以．
由知，，
所以的面积．
【解析】根据同角的三角函数关系求出，结合正、余弦定理计算即可求解；
由，结合三角形的面积公式计算即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：因为单位向量满足．
所以，所以，解得负值舍去，
所以；
由知，，，
所以，
，
因为与的夹角为，
所以，
又因为，所以．
【解析】由数量积的运算律求出，再根据计算可得；
首先求出，，再由夹角公式求出，即可得解．
本题考查平面向量的数量积与夹角运算，属于中档题．
19.【答案】解：证明：任取，，且，
则，
又易知单调递增，且，所以，即，
所以，即，所以在上单调递减．
根据题意，的定义域为，
又，所以为奇函数，
由知在上单调递减，所以当，，
由奇函数的性质知，在上单调递减，所以当时，，
又易知，所以在定义域上单调递减，
又，即，
所以，即，解得或，
所以原不等式的解集为：．
【解析】根据条件，利用函数单调性的定义法，即可证明结果；
利用的奇偶性和单调性，得到，即可求出结果．
本题考查函数单调性的判断和性质的应用，涉及作差法的应用，属于基础题．
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