2023-2024学年广西钦州市高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西钦州市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.化简( )
A. B. C. D.
2.已知扇形的半径为，面积为，则该扇形的圆心角的大小为( )
A. B. C. D.
3.在中，，则( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.已知向量，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
6.已知函数其中，，的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A.
B.
C.
D.
7.设的内角，，的对边分别为，，，若的周长为，则( )
A. B. C. D.
8.已知内有一点满足，则向量与的夹角为( )
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 是偶函数
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增
10.某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔的示意图，其中与地面垂直，从地面上点看塔顶的仰角为，沿直线向外前进米到点处，此时看塔顶的仰角为，根据以上数据得到塔高为米，则( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
11.已知是平面内两两不共线的向量，且，则( )
A.
B.
C.
D. 当时，与的夹角为锐角
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.在边长为的菱形中，，分别为，的中点，，则 ______．
14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知向量．
若，求实数的值；
若向量满足且，求向量的坐标．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若的面积为，，求的周长．
18.本小题分
如图，在梯形中，，点，，，分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点．
求的值；
求的值；
直线分别交线段，于，两点，若，，三点在同一直线上，求的值．
19.本小题分
对于分别定义在，上的函数，以及实数，若存在，，使得，则称函数与具有关系．
若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
若与具有关系，求实数的取值范围；
已知，为定义在上的奇函数，且满足：
在上，当且仅当时，取得最大值；
对任意，有．
判断是否存在实数，使得与具有关系，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用平面向量的加法和减法运算求解．
本题主要考查向量的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：扇形的半径为，面积为，
由扇形的面积公式得．
故选：．
根据已知条件，结合扇形的面积公式，即可求解．
本题主要考查扇形的面积公式，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：中，，
所以，
由正弦定理得，
即，解得．
故选：．
由三角形内角和可得角的大小，然后由正弦定理可得的大小．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，．
即．
不等式的解集为．
故选：．
根据正切函数的性质即可得．
本题考查正切函数的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
则，，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由函数的图象可得：，，
可得，解得，
则，
因为点在图象上，
所以则，即，
因为，则，
所以，
将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到．
故选：．
先根据图象求得，再根据三角函数图象变换求．
本题主要考查由函数的部分图象确定解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知，
由正弦定理得，
即，整理得，
由余弦定理得，
所以，
又，所以．
故选：．
由题意即正弦定理可得，再由余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，
所由向量数量积的运算可得，，
所以，
则，
所以，
所以，
所以，则，
所以向量的夹角为直角．
故选：．
由已知结合向量数量积的性质即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，则，故A错误；
，由于，
则是偶函数，故B正确；
故C正确；
，．
在不单调，故D错误．
故选：．
根据余弦函数的性质逐项判断即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：在中，由正弦定理可得：，
所以米，所以A错误；
在中，米，所以B正确；
在中，由正弦定理可得：，
所以米，所以C正确；
在中，米，
所以米，所以D正确．
故选：．
由正弦定理及直角三角形的性质可判断出所给命题的真假．
本题考查正弦定理，直角三角形的性质的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由于，变形有，则有，所以，A正确；
对于，由于，两边同时平方可得，所以，则有所以B错误；
对于，已知是平面内两两不共线的向量，即不共线，则有得所以，C正确；
对于，因为是两个不共线的向量，所以不共线，要使与的夹角为锐角，则，即，所以，D正确．
故选：．
根据题意，由向量数量积的性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
由已知结合诱导公式即可求解．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为边长为的菱形中，，分别为，的中点，
所以，
，
因为，
所以，所以，
因为．
故答案为：．
由平面向量的线性运算将用表示出来，由求出，再由平面向量的数量积计算即可．
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：在中，，
根据正弦定理化简得，结合余弦定理，可得，
而角为的内角，即，可得．
根据的外接圆的半径，
结合正弦定理可得，所以，
由余弦定理得，即，
而，可得，即，当且仅当时取等号，
因此，的面积，当时，面积的最大值为．
故答案为：．
利用正弦定理和余弦定理化简已知等式，求出，结合的外接圆的半径为，算出，进而可得，然后根据基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式求得面积的最大值．
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形、运用基本不等式求最值、三角形的面积公式等知识，属于中档题．
15.【答案】解：根据三角函数的定义，得，
所以；
，
又，
故原式．
【解析】根据任意角的三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式即可求解；
利用诱导公式以及任意角的三角函数的定义即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
16.【答案】解：由，
得，
所以，
由，得，
解得；
若向量满足且，
设，
所以，，
由，得，
所以，
由，得，所以，则，
由得，
故．
【解析】先根据的坐标，得到的坐标，再由求解；
设，由求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
17.【答案】解：中，由，得，
由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，
又，，
可得，
因为，
所以；
若的面积为，
则，得，
因为，
由余弦定理，可得，
解得，
所以的周长为．
【解析】由，余弦定理边化角，利用同角三角函数的商数关系化简，再由正弦定理边化角，得，可得角的大小；
由的面积求出，再由余弦定理求出，可得的周长．
本题考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数的商数关系以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：设，，以，为基向量，得，
所以，解得，即．
，
所以，
所以．
连接，因为，，三点共线，，
所以，所以，为的中点，
所以．
设，则，
设．
在中，，所以，
所以，
因为、不共线，所以，解得，
所以，所以．
【解析】设，，以，为基向量，表示，计算的模长，即可得出的值．
用、表示，求出模长即可．
连接，因为，，三点共线，利用得出为的中点，根据中线的向量表示，和共线定理，列方程求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算问题，是中档题．
19.【答案】解：与具有关系，
理由如下：
当时，
在上单调递增，
，
，
在上单调递减，
，
当时，，
当时，，
此时，
故与具有关系；
，
，
又，
则当时，取最小值，为，
当时，取最大值，为，
，
，
则；
不具有关系，理由如下：
在上，当且仅当时，取得最大值，
且为定义在上的奇函数，
在上，当且仅当时，取得最小值．
由对任意，有，
即，
关于点对称，
又为奇函数，
，
即为，
的周期为，
的值域为；
，，
当时，，；时，，
当，时，
此时有；
当时，，；时，，．
若，则，，时，
有．
，
，
不存在，，使得，
与不具有关系．
【解析】按照关系的定义判断即可；
由题意可得，，从而可得，即可得答案；
由题意可得的值域为，由，，可得，，从而得，所以不存在，，使得，即可得结论．
本题属于新概念题，考查了三角函数性质、二次函数的性质，考查了奇函数的对称性及周期性，理解定义是关键，属于中档题．
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