(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学第五章一元函数的导数及其应用 章末测试(基础)（含解析）
文档属性
| 名称 | (人教A版2019选择性必修第二册)高二数学第五章一元函数的导数及其应用 章末测试(基础)（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1018.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-28 12:20:46 | ||
图片预览
文档简介
第五章 一元函数的导数及其应用 章末测试（基础）
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2022·天津中）若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川省），则（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
3．（2022·全国·高三阶段练习（文））函数的极小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．e
4．（2022·黑龙江 ）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·江西 ）已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·福建·莆田第三中学高三期中）已知函数，若在R上单调递增，求实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南 ）如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2022·四川绵阳）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0 B． C．0或 D．或
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·安徽）在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·湖北襄阳）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．有两个极值点
C．的极小值为 D．在上的最大值为
11．（2022·黑龙江 ）函数的导函数是，下图所示的是函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．是的零点
B．是的极大值点
C．在区间上单调递减
D．在区间上不存在极小值
12．（2022·浙江·绍兴一中 ）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（河南省豫南九校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学（文）试题）若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．
14．（2022·浙江杭州 ）已知，过点可作曲线的三条切线，则的范围是________．
15．（2022·天津·大港一中 ）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.
16．（2022·湖北 ）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数m的取值为________．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·湖北 ）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．
18．（2023·四川资阳 ）已知函数．
(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)当时，对于任意，证明：．
19．（2021·陕西·无高二期中（理））已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值.
20．（2023·江西 ）已知函数.
(1)当时，求在上的最值；
(2)讨论的极值点的个数.
21．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)已知直线是曲线的切线，求a的值．
22．（2022·海南 ）设函数
(1)讨论的单调性；
(2)求在区间的最大值和最小值．
第五章 一元函数的导数及其应用 章末测试（基础）
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2022·天津中）若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由得，，
令且，解得即的解集为故选：C.
2．（2021·四川省），则（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
答案：C
【解析】，则.故选：C.
3．（2022·全国·高三阶段练习（文））函数的极小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．e
答案：B
【解析】由，得，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为.
故选：B.
4．（2022·黑龙江 ）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】由得，
故，而，
故曲线在点处的切线方程为，即，
故选：C.
5．（2022·江西 ）已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】当时，在单调递减，
且最小值为，满足条件，故可排除A，B；
当时，，，
时，，在单调递减，
所以最小值为，满足条件，故可排除C；
故选：D
6．（2022·福建·莆田第三中学高三期中）已知函数，若在R上单调递增，求实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】，设，则，
当时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故.
因为在R上单调递增，故，故，
故选：D.
7．（2022·河南 ）如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（ ）．
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】对于A：定义域为，
当时，则，即函数在上单调递增，故A错误；
对于B：定义域为，且，，所以，故B错误；
对于C：定义域为，
又，所以当时，
当或时，即函数在，上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D：定义域为，
所以当或时，当时，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，符合题意；
故选：D
8．（2022·四川绵阳）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0 B． C．0或 D．或
答案：D
【解析】,,，设切点分别为，
则曲线的切线方程为：，化简得，，
曲线的切线方程为：，化简得，，，故，解得e或.
当e，切线方程为，故.
当，切线方程为，故，则.
故的取值为或.
故选：D
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·安徽）在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
答案：AB
【解析】切线的斜率，设切点为，则，
又，所以，所以或，所以切点坐标为或．故选：AB．
10．（2022·湖北襄阳）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．有两个极值点
C．的极小值为 D．在上的最大值为
答案：ABD
【解析】因为，所以，
当时，；当时，，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，
则有两个极值点，B正确；
且当时，取得极小值，A正确；
且极小值为，C错误；
又，，所以在上的最大值为，D正确.
故选：ABD.
11．（2022·黑龙江 ）函数的导函数是，下图所示的是函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．是的零点
B．是的极大值点
C．在区间上单调递减
D．在区间上不存在极小值
答案：AD
【解析】观察图象知，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，而不一定为0，A不正确；
是的极大值点，B正确；
，即在区间上单调递减，C正确；
是的极小值点，在区间上存在极小值，D不正确.
故选：AD
12．（2022·浙江·绍兴一中 ）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：BCD
【解析】令
所以
因为，
所以
故在单调递减
所以，得，即，故A错误；
，得，即，故B正确；
，得，即，故C正确；
得，即，故D正确.
故选：BCD
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（河南省豫南九校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学（文）试题）若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．
答案：
【解析】已知，则,
因为曲线在处的切线与直线相互垂直，
所以，解得.
故答案为：.
14．（2022·浙江杭州 ）已知，过点可作曲线的三条切线，则的范围是________．
答案：
【解析】设切点坐标为，由，得，所以切线方程为，将代入切线方程，得，即为方程的解，设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取极小值，极小值为，当时，函数取极大值，极大值为，因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的解， 与的图像有三个不同的交点， 所以，即的范围是.
故答案为：.
15．（2022·天津·大港一中 ）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.
答案：
【解析】，
又在上是减函数，
在上恒成立，即，
即
故答案为： .
16．（2022·湖北 ）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数m的取值为________．
答案：
【解析】的零点满足，即的根，
由于，所以，是的一个根；
所以的根三个，则满足当时，有一个根即可
又时，，所以，
所以在时有一个根，即在时有一个根
令，所以，得
所以时，，在上单调递减；时，，在上单调递增
又，；比增长的快，所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·湖北 ）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．
答案：(1)的减区间为，增区间为，
(2)，
【解析】（1）若，有，定义域为
则，
得；得或
所以，的减区间是，增区间是，；
（2）∵，
即：
∴
∴
∴
∴当或时，；当时，
∴在，上递增，在上递减
∴的极大值为，的极小值为.
又∵当 时， ，当时，
，．
18．（2023·四川资阳 ）已知函数．
(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)当时，对于任意，证明：．
答案：(1)或
(2)证明见解析
【解析】（1）由题，时，，，
设切点，则切线方程为，
该切线过点，则，即，
所以或．又；；，．
所以，切线方程为或；
（2）设，则，
令，则，
可知，时，；时，，
故时均有，则即在上单调递增，，
因为时，则，，故在上单调递增，
此时，．
所以，当时，对于任意，均有．
19．（2021·陕西·无高二期中（理））已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值.
答案：(1)；
(2)函数的增区间为、，单调递减区间为，，.
【解析】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，
即.
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
20．（2023·江西 ）已知函数.
(1)当时，求在上的最值；
(2)讨论的极值点的个数.
答案：(1)最大值为，最小值为
(2)时,无极值点, 时,有2个极值点.
【解析】（1）当时，，
，故在上单调递增，
，.
（2）,
①当时,恒成立,此时在上单调递增，不存在极值点.
②当时,令,即，解得:或，
令,即，解得
故此时在递增,在递减,在递增,
所以在时取得极大值，在时取得极小值，故此时极值点个数为2，
综上所述:时,无极值点，
时,有2个极值点.
21．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)已知直线是曲线的切线，求a的值．
答案：(1)极小值，无极大值
(2)2
【解析】（1），，
由得，或（舍去）．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以时，取到极小值，无极大值．
（2）设直线与曲线相切于点，则．
即，消去a得，，
易知函数在上为增函数，又当时，，
所以方程有唯一解，代入得，．
22．（2022·海南 ）设函数
(1)讨论的单调性；
(2)求在区间的最大值和最小值．
答案：(1)函数单调递增区间为；单调递减区间为；
(2)在区间上的最大值为，最小值为.
【解析】（1）函数的定义域为，
又.
令，解得或；令，解得.
所以函数单调递增区间为；单调递减区间为；
（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.
所以当时，函数取得最小值，
又，，
而，
所以当时，函数取得最大值为：.
即在区间上的最大值为，最小值为.
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2022·天津中）若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川省），则（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
3．（2022·全国·高三阶段练习（文））函数的极小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．e
4．（2022·黑龙江 ）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·江西 ）已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·福建·莆田第三中学高三期中）已知函数，若在R上单调递增，求实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南 ）如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2022·四川绵阳）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0 B． C．0或 D．或
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·安徽）在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·湖北襄阳）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．有两个极值点
C．的极小值为 D．在上的最大值为
11．（2022·黑龙江 ）函数的导函数是，下图所示的是函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．是的零点
B．是的极大值点
C．在区间上单调递减
D．在区间上不存在极小值
12．（2022·浙江·绍兴一中 ）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（河南省豫南九校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学（文）试题）若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．
14．（2022·浙江杭州 ）已知，过点可作曲线的三条切线，则的范围是________．
15．（2022·天津·大港一中 ）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.
16．（2022·湖北 ）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数m的取值为________．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·湖北 ）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．
18．（2023·四川资阳 ）已知函数．
(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)当时，对于任意，证明：．
19．（2021·陕西·无高二期中（理））已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值.
20．（2023·江西 ）已知函数.
(1)当时，求在上的最值；
(2)讨论的极值点的个数.
21．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)已知直线是曲线的切线，求a的值．
22．（2022·海南 ）设函数
(1)讨论的单调性；
(2)求在区间的最大值和最小值．
第五章 一元函数的导数及其应用 章末测试（基础）
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2022·天津中）若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】由得，，
令且，解得即的解集为故选：C.
2．（2021·四川省），则（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2
答案：C
【解析】，则.故选：C.
3．（2022·全国·高三阶段练习（文））函数的极小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．e
答案：B
【解析】由，得，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为.
故选：B.
4．（2022·黑龙江 ）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】由得，
故，而，
故曲线在点处的切线方程为，即，
故选：C.
5．（2022·江西 ）已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】当时，在单调递减，
且最小值为，满足条件，故可排除A，B；
当时，，，
时，，在单调递减，
所以最小值为，满足条件，故可排除C；
故选：D
6．（2022·福建·莆田第三中学高三期中）已知函数，若在R上单调递增，求实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】，设，则，
当时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故.
因为在R上单调递增，故，故，
故选：D.
7．（2022·河南 ）如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（ ）．
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】对于A：定义域为，
当时，则，即函数在上单调递增，故A错误；
对于B：定义域为，且，，所以，故B错误；
对于C：定义域为，
又，所以当时，
当或时，即函数在，上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D：定义域为，
所以当或时，当时，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，符合题意；
故选：D
8．（2022·四川绵阳）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0 B． C．0或 D．或
答案：D
【解析】,,，设切点分别为，
则曲线的切线方程为：，化简得，，
曲线的切线方程为：，化简得，，，故，解得e或.
当e，切线方程为，故.
当，切线方程为，故，则.
故的取值为或.
故选：D
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·安徽）在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
答案：AB
【解析】切线的斜率，设切点为，则，
又，所以，所以或，所以切点坐标为或．故选：AB．
10．（2022·湖北襄阳）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．有两个极值点
C．的极小值为 D．在上的最大值为
答案：ABD
【解析】因为，所以，
当时，；当时，，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，
则有两个极值点，B正确；
且当时，取得极小值，A正确；
且极小值为，C错误；
又，，所以在上的最大值为，D正确.
故选：ABD.
11．（2022·黑龙江 ）函数的导函数是，下图所示的是函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．是的零点
B．是的极大值点
C．在区间上单调递减
D．在区间上不存在极小值
答案：AD
【解析】观察图象知，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，而不一定为0，A不正确；
是的极大值点，B正确；
，即在区间上单调递减，C正确；
是的极小值点，在区间上存在极小值，D不正确.
故选：AD
12．（2022·浙江·绍兴一中 ）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：BCD
【解析】令
所以
因为，
所以
故在单调递减
所以，得，即，故A错误；
，得，即，故B正确；
，得，即，故C正确；
得，即，故D正确.
故选：BCD
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（河南省豫南九校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学（文）试题）若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．
答案：
【解析】已知，则,
因为曲线在处的切线与直线相互垂直，
所以，解得.
故答案为：.
14．（2022·浙江杭州 ）已知，过点可作曲线的三条切线，则的范围是________．
答案：
【解析】设切点坐标为，由，得，所以切线方程为，将代入切线方程，得，即为方程的解，设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取极小值，极小值为，当时，函数取极大值，极大值为，因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的解， 与的图像有三个不同的交点， 所以，即的范围是.
故答案为：.
15．（2022·天津·大港一中 ）若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.
答案：
【解析】，
又在上是减函数，
在上恒成立，即，
即
故答案为： .
16．（2022·湖北 ）已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数m的取值为________．
答案：
【解析】的零点满足，即的根，
由于，所以，是的一个根；
所以的根三个，则满足当时，有一个根即可
又时，，所以，
所以在时有一个根，即在时有一个根
令，所以，得
所以时，，在上单调递减；时，，在上单调递增
又，；比增长的快，所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·湖北 ）已知函数．
(1)若，求的单调区间
(2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．
答案：(1)的减区间为，增区间为，
(2)，
【解析】（1）若，有，定义域为
则，
得；得或
所以，的减区间是，增区间是，；
（2）∵，
即：
∴
∴
∴
∴当或时，；当时，
∴在，上递增，在上递减
∴的极大值为，的极小值为.
又∵当 时， ，当时，
，．
18．（2023·四川资阳 ）已知函数．
(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)当时，对于任意，证明：．
答案：(1)或
(2)证明见解析
【解析】（1）由题，时，，，
设切点，则切线方程为，
该切线过点，则，即，
所以或．又；；，．
所以，切线方程为或；
（2）设，则，
令，则，
可知，时，；时，，
故时均有，则即在上单调递增，，
因为时，则，，故在上单调递增，
此时，．
所以，当时，对于任意，均有．
19．（2021·陕西·无高二期中（理））已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值.
答案：(1)；
(2)函数的增区间为、，单调递减区间为，，.
【解析】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，
即.
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
20．（2023·江西 ）已知函数.
(1)当时，求在上的最值；
(2)讨论的极值点的个数.
答案：(1)最大值为，最小值为
(2)时,无极值点, 时,有2个极值点.
【解析】（1）当时，，
，故在上单调递增，
，.
（2）,
①当时,恒成立,此时在上单调递增，不存在极值点.
②当时,令,即，解得:或，
令,即，解得
故此时在递增,在递减,在递增,
所以在时取得极大值，在时取得极小值，故此时极值点个数为2，
综上所述:时,无极值点，
时,有2个极值点.
21．（山西省吕梁市2023届高三上学期阶段性测试数学试题）函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)已知直线是曲线的切线，求a的值．
答案：(1)极小值，无极大值
(2)2
【解析】（1），，
由得，或（舍去）．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以时，取到极小值，无极大值．
（2）设直线与曲线相切于点，则．
即，消去a得，，
易知函数在上为增函数，又当时，，
所以方程有唯一解，代入得，．
22．（2022·海南 ）设函数
(1)讨论的单调性；
(2)求在区间的最大值和最小值．
答案：(1)函数单调递增区间为；单调递减区间为；
(2)在区间上的最大值为，最小值为.
【解析】（1）函数的定义域为，
又.
令，解得或；令，解得.
所以函数单调递增区间为；单调递减区间为；
（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.
所以当时，函数取得最小值，
又，，
而，
所以当时，函数取得最大值为：.
即在区间上的最大值为，最小值为.