(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学第五章一元函数的导数及其应用 章末测试(提升)（含解析）

第五章 一元函数的导数及其应用 章末测试（提升）
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2022·河南 ）函数在处取得极值，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2022贵州省）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·贵州 ）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·青海）下列函数中，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·河南 ）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．的极大值点为0
C．的极大值为1 D．有3个零点
6．（2022·宁夏 ）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·湖北· ）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·河南 ）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·广东·饶平县第二中学 ）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
10．（2022·重庆）已知函数，曲线关于点中心对称，则（ ）
A．将该函数向左平移个单位得到一个奇函数
B．在上单调递增
C．在上只有一个极值点
D．曲线关于直线对称
11．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
12．（2022·辽宁 ）已知，则（ ）
A．曲线在x＝e处的切线平行于x轴 B．的单调递减区间为
C．的极小值为e D．方程没有实数解
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2022·重庆八中）已知函数的导数为，且满足，则____.
14．（2022·河北保定）过点且与曲线相切的直线方程为____________________.
15．（2022·内蒙古）已知函数，，若对于，恒成立，则实数的取值集合是_______．
16．（2023·四川省 ）若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·浙江 ）已知函数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.
18．（2022·安徽 ）已知，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上的最小值是，求的值．
19．（2022·宁夏六盘山 ）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)求曲线过坐标原点的切线.
20．（2022·吉林长春·模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的值域；
(2)讨论函数的零点个数．
21．（2022·山东聊城 ）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围．
22．（2023·四川资阳 ）已知函数．
(1)若单调递增，求a的取值范围；
(2)若有两个极值点，其中，求证：．
第五章 一元函数的导数及其应用 章末测试（提升）
单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)
1．（2022·河南 ）函数在处取得极值，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
答案：D
【解析】，
因为函数在处取得极值，所以，即，解得，
经检验符合题意，所以.故选：D.
2．（2022贵州省）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】因为，所以，
则当时，，
故曲线在处的切线方程为，
整理得，
故选：B
3．（2022·贵州 ）设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或.
故选：B.
4．（2022·青海）下列函数中，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
【解析】由函数的图象关于原点对称知，函数为奇函数，
A中，，则在定义域内单调递减，故不满足题意；
B中，函数的定义域为，其图象不关于原点对称，故不满足题意；
C中，，所以函数为偶函数，故不满足题意；
D中，，所以在定义域内单调递增，
又，且的定义域为，
所以的图象关于原点对称，故D正确．
答案：D．
5．（2022·河南 ）已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．的极大值点为0
C．的极大值为1 D．有3个零点
答案：C
【解析】，，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
当，，为减函数.
对选项A，，为减函数，，为增函数，故A错误.
对选项B、C，当时，函数取得极小值为，
当时，函数取得极大值为，故B错误，C正确.
对选项D，令，解得，，
所以函数有两个零点，故D错误.
故选：C
6．（2022·宁夏 ）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【解析】由，令，则，令，则，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
由，则，即，
故选：C.
7．（2022·湖北· ）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【解析】构造，
则在上显然递增，
由得
，
即，
，
，
令，
则，
由得，递增，
由得，递减，
，
．
故选：B．
8．（2022·河南 ）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】定义域为，
故有两个不同的根，即，与两函数有两个交点，
其中，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
从而在处取得极大值，也是最大值，
，
且当时，恒成立，
当时，恒成立，
画出的图象如下：
显然要想，与两函数有两个交点，
需要满足，
综上：实数a的取值范围是.
故选：B
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2022·广东·饶平县第二中学 ）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．有两个零点
C．曲线在点处切线的斜率为
D．是奇函数
答案：AC
【解析】对A：，定义域为，则，
由都在单调递增，故也在单调递增，
又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；
对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，
故只有一个零点，B错误；
对C：，根据导数几何意义可知，C正确；
对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.
故选：AC.
10．（2022·重庆）已知函数，曲线关于点中心对称，则（ ）
A．将该函数向左平移个单位得到一个奇函数
B．在上单调递增
C．在上只有一个极值点
D．曲线关于直线对称
答案：BC
【解析】因为函数关于点中心对称，
所以，，
所以，而，所以，
，
对于A，将该函数向左平移个单位得到，因为，，所以为偶函数，故A错误；
对于B， 因为，所以，
因为在在上单调递增，所以在上单调递增，
故B正确；
对于C， 由得的单调递增区间为，
由得的单调递减区间为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处有一个极值点，故C正确；
对于D， 曲线，
时，故D错误.
故选：BC.
11．（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
答案：AD
【解析】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C错误；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D正确.
故选：AD.
12．（2022·辽宁 ）已知，则（ ）
A．曲线在x＝e处的切线平行于x轴 B．的单调递减区间为
C．的极小值为e D．方程没有实数解
答案：AC
【解析】因为（x＞0且），得，
所以，，
所以曲线在x＝e处的切线平行于x轴，故A正确；
令，得x＞e，令，得0＜x＜1或1＜x＜e，
所以在上单调递增，在和上单调递减，
所以的极小值为，故B错误，C正确；
因为当0＜x＜1时，的图象与直线y＝－1有一个交点，
所以方程有一个实数解，故D错误．
故选：AC
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2022·重庆八中）已知函数的导数为，且满足，则____.
答案：
分析：求导，令可求得，然后可得.
【详解】因为
所以，解得
所以.
故答案为：
14．（2022·河北保定）过点且与曲线相切的直线方程为____________________.
答案：或
【解析】设切点为的横坐标为，
因为，故，
故，整理得到：，
故或，故切线的斜率为或，
故切线方程为或，
即或，
故答案为：或
15．（2022·内蒙古）已知函数，，若对于，恒成立，则实数的取值集合是_______．
答案：
【解析】易知函数和函数的图象均过点．
①当时，，显然成立；
②当时，由可得：
当时，则；
当时，则；
当时，则；
∵，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，
∴，则；
当时，则有：
若，则，故成立；
若，则，故成立；
若，则，
当时，，当时，，
∴当时，，故成立；
故符合题意；
③当时，，即，
∴不符合题意
综上所述：的取值集合是.
故答案为：.
16．（2023·四川省 ）若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________
答案：
【解析】由，得，
∵函数有两个极值点，
∴有两个零点，且在零点的两侧，导函数符号相反，
令，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
有极小值也是最小值为，
且当时，恒成立，当时，恒成立，
画出的图象，如下：
要使有两个不等实数根，
则，即，经验证，满足要求.
故的取值范围为．
故答案为：.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·浙江 ）已知函数.
(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.
答案：(1)
(2)
【解析】（1）解:由题知在上恒成立,
即,
,
只需即可,
即,
记,
,
,
,
,
在单调递减,
;
（2）由题知,在上单调递增,
即在上恒成立,
即恒成立,
,只需恒成立,
即,
记,
,
,,
在单调递增,
,
只需即可,
综上:.
18．（2022·安徽 ）已知，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上的最小值是，求的值．
答案：(1)
(2)
【解析】（1）当时，，，
所求切线的斜率为，切点为，
所求切线的方程为，即．
（2）假设存在实数a，使有最小值3，
①当时，在上单调递减，故，解得（舍去），
所以此时不存在符合题意的实数a；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，满足条件；
③当，即时，在上单调递减，
故，解得（舍去），
所以此时不存在符合题意的实数a．
综上，存在实数，在区间上的最小值是．
19．（2022·宁夏六盘山 ）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)求曲线过坐标原点的切线.
答案：(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）由，
得.
当，即时，
，在上单调递增.
当，即时，
令，得，.
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，
在上单调递减.
（2）设曲线过坐标原点的切线与曲线的切点的坐标为，
则，
所以.
所以曲线过坐标原点的切线方程为：
.
因为切线过坐标原点，
所以将点的坐标代入并化简，得，
所以，
所以，
即，易得.
所以切点为.
所以曲线过坐标原点的切线方程为：
，
即.
20．（2022·吉林长春·模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的值域；
(2)讨论函数的零点个数．
答案：(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）由可知，
令则，
x
0
减 极小值 增
，无最大值．
即的值域为．
（2），且，
，
令，，
即在上单调递增．
当时，可知，即在单调递增，即此时有唯一零点．
当时，令，即，．
即，
①当k＝1时，，，此时有唯一零点．
②当时，，，
且，即在存在一个零点，此时共有2个零点．
③当时，，，
且，即在存在一个零点，此时共有2个零点．
综上，当或k＝1时，有唯一零点．
当或时，有2个零点．
21．（2022·山东聊城 ）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围．
答案：(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）定义域为，
，
令，得或．
当即时：
，，函数在上单调递减；
，，函数在单调递增；
当，即时：
，，函数在单调递增；
，，函数在上单调递减；
，，函数在上单调递增；
当即时：，，函数在单调递增；
当即时：
，，函数在单调递增；
，，函数在上单调递减；
，，函数在上单调递增；
综上：当时，单调递减区间有，单调递增区间有；
当时，单调递减区间有，单调递增区间有，；
当时，单调递增区间有，无单调递减区间；
当时，单调递减区间有，单调递增区间有，．
（2）当时，
由（1）得函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增，
从而函数在区间上的最小值为．
即存在，使，
即存在，使得，
即，令，，则，
由，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以，所以．
22．（2023·四川资阳 ）已知函数．
(1)若单调递增，求a的取值范围；
(2)若有两个极值点，其中，求证：．
答案：(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由得，
由单调递增，则，得，
设，则，
可知时，，单调递增；时，﹐单调递减，则时，取得极大值，也即为最大值，则．
所以，a的取值范围是．
（2）由题，函数有两个极值点，则即有两个不相等实数根，
由（1），可知时，取得极大值，且时，时，故有两个不等实根时，且．
过点与的直线方程为，
构造函数，，
令，则，
则时，，即单调递减；时，，即单调递增，所以时，极小值为，
所以时，，则，
即，故当时，，
设方程根为，则．构造函数，
设，
可知时，则，
所以时，，
设方程解为，则．
于是有，如图，
所以，证毕．