2023-2024学年湖南省长沙市麓山外国语中学人教版九年级下学期5月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年湖南省长沙市麓山外国语中学人教版九年级下学期5月月考数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面得到的视图是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比为（ ）

A．1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9
5．如图，折叠矩形纸片，使与重合，折痕为；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，折痕为与相交于点N，直线交于点G，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（　　）
A．增长了1m B．缩短了1m C．增长了1.2m D．缩短了1.2m
7．如图7，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．质量一定时，物体的体积（单位：）是其材料密度（单位：）的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．该物体的质量是 B．当时，
C．当时， D．函数解析式为
9．如图，是正方形的对角线，过点C作，在上取点E﹐使得，连接，点Р是线段上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，点E在边上（不与端点重合），点F是延长线上的点，且，连接交于点G，过点A作，垂足为H，连接 ，．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．某工厂要加工一批茶叶罐，设计者给出了茶叶罐的三视图如图，则制作每个茶叶罐所需钢板的面积为 ．．
12．如图，在坡度为的山坡上种树，已知，相邻两树的坡面距离为10米，则两树的水平距离为 米．
13．如图，在中，分别交于点D，E．交于点F，，，则的长为 ．

14．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，若，则b的值为 ．
15．如图，正方形中，、分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，则 ．
16．如图，点，分别是正比例函数和反比例函数图象上一点，点在轴上，，于点．若，则与的面积之差是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．计算：
18．某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按的比例画出准确的三视图（如图②）．已知在中，，又知．求：
(1)的长；
(2)这个直三棱柱的体积．
19．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且于点，．
(1)求证：．
(2)求的长．
20．如图，中，，为上一点，以为圆心，以为半径的与相切于点，交于点，过作的切线，交于点．
(1)若，用含的代数式表示；
(2)若，求的长．
21．小林想利用无人机测量某塔（图的高度．阳光明媚的一天，该塔倒映在平静的河水中，如图2所示，当无人机飞到点处时，点到水平面的高度米，在点处测得该塔顶端的仰角为．该塔顶端在水中倒影的俯角为．已知，，、、三点共线，，求该塔的高度．（光线的折射忽略不计．，
22．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，．
(1)分别求出两个函数的表达式．
(2)当时，，请根据图象求的取值范围，
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为3时，求点P的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，以A，B，C为顶点作平行四边形，点D落在第二象限，与y轴交于点E，反比例函数()经过点A，与边交于点F，反比例函数()经过点D．
(1)求和的值；
(2)连接，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由
25．和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看，一共有两列，从左到右小正方形的个数分别为2、1．
故选：A．
2．C
【分析】过点作交的延长线于点，则为等腰三角形，由点为线段的中点可得出为的中位线，进而可得出，代入即可得出结论．本题考查了角平分线的性质、线段的中点以及平行线的性质，根据角平分线的性质结合线段的中点，找出是解题的关键．
【详解】解：过点作交的延长线于点，如图1所示．
，是的平分线，
，
．
是中点，，
∴
∴点F是的中点，
为的中位线，
．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，根据反比例函数性质，反比例函数反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大，进行判断即可．
【详解】解：，，
反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大，
，，
，，
．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了位似的性质和相似三角形的性质，得到和的相似比是解题的关键．
根据位似的性质得到，相似比为,再根据相似三角形的性质得和的面积之比即为相似比的平方．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，，
，
，
故选：C．
5．A
【分析】此题考查了矩形的折叠问题、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识， 先证明，N是的中点，再证明，，进一步得到，，即可得到的长．
【详解】解：由题意可知，点E是的中点，，
∴
∴
∴，
∴，N是的中点，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故选：A．
6．D
【分析】由题意过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，证△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，得，解得BC=1.2（m），DE=2.4（m），即可解决问题．
【详解】解：过B作BG⊥AE交PC于G，过D作DH⊥AE交PE于H，
则AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BG∥AP∥DH，
∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，
∴，
即，
解得：BC=1.2，DE=2.4，
∴DE-BC=2.4-1.2=1.2（m），
即此时小明影子的长度缩短了1.2m.
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及中心投影等知识；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
7．D
【分析】本题主要考查了解直角三角形，求反比例函数解析式，折叠的性质等等，过点作轴，作轴，根据一次函数的解析式得出坐标，进而根据特殊角的三角函数值得出，根据折叠的性质可得，，，用锐角三角函数的定义求出，的长，则求出点的坐标，即可得出的值．
【详解】解：如图，过点作轴，作轴，
∵与轴交于点，与轴交于点，
令，解得，则,
令，解得：，则,
∴，，
∵，
∴
将沿直线翻折，
，，，
∴，，
，
，
，
，
点在第二象限，
，
点恰好落在双曲线上，
．
故答案为：．
8．C
【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标，熟练运用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．先利用待定系数法求反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行解答即可．
【详解】解：根据图象可知物体的质量为：，故A错误；
设反比例函数解析式为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为，故D错误；
把代入得：，
∴当时，，故B错误；
∵反比例函数解析式为，，
∴随的增大而减小，
∴时，，故C正确．
故选：C．
9．C
【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过的中点M作交于点N，连接，过点E作，交的延长线于点H，设正方形的边长为a，则，设，由勾股定理得，解得，证明得到，即，求出，勾股定理求出，由，得到，进而推出，由此求出，得到，即可得到答案，熟练掌握各定理是解题的关键．
【详解】过的中点M作交于点N，连接，过点E作，交的延长线于点H，如图，
设正方形的边长为a，则，
∵，
∴，
∴，
设，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∵，
∴
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．C
【分析】根据正方形的性质，可证得，可得，，再根据等腰三角形的性质可证①正确；进而可证明点A，点B，点E，点H四点共圆，可得，可证②正确；进而可知，即：，即可证③正确，由相似三角形的性质可得，再结合等腰直角三角形的性质可求AE的长，可判断④错误．
【详解】解：∵四边形是正方形，
，
在与中，
，
，，
是等腰三角形，
，
，
，
又∵，
，
，
，故①正确；
，，
，
点A，点B，点E，点H四点共圆，
，
，故②正确；
即：，
∵点A，点B，点E，点H四点共圆，
，即：，
∴，故③正确；
，
，
，
，
∵，由等腰直角三角形可知，，，
，
，故④错误，
综上，正确的结论有①②③，
故选：C．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，勾股定理等知识，求出的长是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了由三视图判断几何体、圆柱面积的计算，正确判断出几何体的形状是解题关键．从三视图可以得出，主视图以及侧视图都是一个矩形，俯视图为一个圆形，则可得出该几何体是一个圆柱，再计算出面积即可．
【详解】解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径为，高H为，
∵每个密封罐所需钢板的面积即为该圆柱体的表面积，
∴
，
故制作每个密封罐所需钢板的面积为．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，根据坡度比可得，设，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴米，
故答案为：．
13．
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可．
【详解】∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．2
【分析】过点C作轴，垂足为D，先由一次函数解析式求出，，再根据得出，，从而求出点C坐标，再把点C坐标代入求解即可．
【详解】解：过点C作轴，垂足为D，如图：
对于，令，则，令，则，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，此题是一次函数与反比例函数综合题目，关键是求出交点C的坐标．
15．
【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，
四边形是正方形，设，利用相似三角形的性质，求出（用表示），构建方程求出，再想办法求出，即可解决问题．
解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建方程解决问题．
【详解】解：四边形是正方形，设，
，
由翻折可知，，设，
，
在中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，，，，
设，
在中，则有，
解得，
，
连接，延长交于，则四边形是平行四边形，过点作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，，
，
．
故答案为．
16．
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意可知、是等腰直角三角形，设则，，即可得出，进而得出，即可与的面积之差是．
【详解】解：点是正比例函数图象上一点，
的横坐标和纵坐标相同，
，
是等腰直角三角形，
设，则，
，，
，
于点，
得等腰直角三角形，
设，则，
点是反比例函数图象上一点，
，
，
，
与的面积之差是，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：
18．(1)厘米
(2)立方厘米
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三棱柱的三视图及三棱柱的体积计算：
（1）过点E作于点H，则根据题意可得出，然后由勾股定理计算即可得出答案；
（2）根据三棱柱的体积等于底面积乘以棱柱的高进行计算即可．
【详解】（1）解：过点E作于点H，如图．
在中，，
∴．
∴．
∴由勾股定理，得，
∴．
由图形可知．
（2）解：直三棱柱的体积．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）根据矩形的性质可得，则，，又，证明，即可得证；
（2）根据矩形的性质勾股定理求得，，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：∵矩形
∴
∴，
∵
∴
∴
（2）∵矩形，，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即
∴
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，等边对等角等等：
（1）连接，由切线的性质得到，再由等边对等角得到，则由平角的定义可得；
（2）由切线的性质得到，由勾股定理得， 证明，由（1）得，再由，可得，如图所示，过点F作于G，则，证明，求出，则，在中，由勾股定理得．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵是切线，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵与相切于点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵是切线，
∴，
∴，
由（1）得，
又∵，
∴，
如图所示，过点F作于G，则，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
21．该塔的高度约为99米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．过点作，垂足为，根据题意可得：米，，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后根据，列出关于的方程进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，，
设米，
在中，，
（米，
在中，，
（米，
，
，
，
解得：，
（米，
（米，
该塔的高度约为99米．
22．(1)反比例函数为，一次函数解析式为；
(2)．
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）结合图象可得，当时，的取值范围为或，分和两种情况解答即可求解；
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，，
∴把代入得，，
∴，
∴反比例函数为，
把代入得，，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由图可得，当时，的取值范围为或，
∵当时，，
∴当即时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上，的取值范围．
23．(1)，图见解析
(2)或
(3)或．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案；
（3）设直线与轴交于点，求出，则，再根据列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，
∴，
∴，
∴、，
把、代入中得，
解得：，
∴一次函数解析式为，
图象如图所示：
（2）解：由图象可知：当一次函数的图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围为或，
∴不等式的解集为或；
（3）解：

设直线与轴交于点，
在，当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
解得或
∴或．
24．(1)，；
(2)四边形是平行四边形，理由见解析．
【分析】（1）把点代入解析式求得，根据，，，且四边形是平行四边形，设，根据题意，得，解得，继而得到，代入解析式计算即可；
（2）求得的坐标，判定，结合，即可判断四边形是平行四边形．
本题考查了反比例函数解析式的确定，平行四边形的判定和性质，待定系数法求解析式，熟练掌握平行四边形的判定和性质，待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】（1）把点代入解析式，
得，
∵，，，且四边形是平行四边形，
设，根据题意，得，
解得，
∴，
代入解析式，得．
（2）∵，，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴，
∴；
∵，，
设直线的解析式为，，
根据题意，得，
解得，
∴，
设，
∴，
解得(舍去)，
∴；
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
25．(1)见解析；
(2)证明见解析，．
【分析】（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：；
（2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长，即可得的长，
【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）解：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质，掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页