1.1.1 空间向量及其线性运算(1) 学案（含答案）

1．1　空间向量及其运算
1.1.1空间向量及其线性运算(1)
1. 运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程．
2. 理解空间向量及相关概念，掌握空间向量的线性运算及其性质，借助图形理解空间向量线性运算及其运算的意义．
3. 理解空间向量共线的充要条件．
活动一 回顾平面向量的相关内容
1. 基本概念：
(1) 向量的定义：
(2) 向量的模：
(3) 零向量、单位向量、平行向量：
(4) 相等向量、共线向量、相反向量：
2. 平面向量a(a≠0)与b共线的充要条件：
3. 平面向量的加法、减法、数乘运算的定义及运算法则：
几何方法 坐标方法 运算性质
向量的加法 (1) 平行四边形法则 (2) 三角形法则
向量的减法 三角形法则
向量的数乘 λa是一个向量，则 (1) |λa|＝|λ||a| (2) 若a≠0，则 当λ>0时，λa与a同向； 当λ<0时，λa与a反向； 特别地， 当λ＝0时，λa＝0； 当a＝0时，λa＝0
活动二 类比平面向量探究空间向量的概念及运算
1. 空间向量的概念：
(1) 定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2) 长度或模：空间向量的大小．
(3) 表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或 ||.　
(4) 几类特殊的空间向量：
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
2. 空间向量的加减法运算与数乘运算律：
空间向量的线性运算 类型 表示方法 图示
加法 a＋b＝＋＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0
运算律 加法 运算律 交换律：a＋b＝b＋a 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
数乘 运算律 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)； (λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R) 结合律：λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)
思考1
如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，分别标出＋＋，＋＋表示的向量．从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
3. 空间向量共线的充要条件：
思考2
类似平面向量共线的充要条件，你能给出空间向量共线的充要条件吗？
思考3
如何用向量来表示直线的方向？
思考4
除了由两点确定一条直线外，还可以由什么来确定一条直线？
思考5
平面向量与空间向量有哪些相同点与不同点？
活动三　空间向量的运算　
例1　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1) ＋；
(2) ＋＋；
(3) －－.
空间向量加法、减法运算的两个技巧：
(1) 巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接；
(2) 巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
利用数乘运算进行向量表示的技巧：
(1) 数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用向量的三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；
(2) 明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)
①－－；
②＋－；
③－－；
④－＋.
A. ①②　　　　　　B. ②③　　　　　　C. ③④　　　　　　D. ①④
例2　(2023江苏专题练习)已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.求证：AC∥EG.
1. (2023日照阶段练习)下列命题中，为真命题的是(　　)
A. 向量与的长度相等
B. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C. 空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
2. 如图，在三棱锥O-ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)
A. (－a＋b＋c) B. (a＋b－c)
C. (a－b＋c) D. (－a－b＋c)
3. (多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是(　　)
A. ＋与＋
B. －与－
C. －与－
D. ＋＋＋与＋＋＋
4. (2023漯河阶段练习)如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，与是________向量，与是________向量(用“相等”“相反”填空).
5. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列向量表达式：
(1) ＋＋＋；
(2) ＋＋.
【参考答案与解析】
【活动方案】
1. (1) 我们把既有大小又有方向的量叫做向量．
(2) 向量的大小称为向量的长度(或称为模).
(3) 长度为0的向量叫做零向量．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．
(4) 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．平行向量也叫做共线向量．我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．
2. 存在唯一一个实数λ，使b＝λa(a≠0).
3. 填表略
思考1：可以发现，＋＋＝＋＋＝.一般地， 对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量．另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．
思考2：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
思考3：在直线上任取一个非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量都称为该直线的方向向量，则直线的方向向量的方向就可以表示直线的方向．
思考4：直线上一点和它的方向向量确定．
思考5：略
例1 　(1) ＋ ＝.
(2) ＋ ＋ ＝ ＋ ＝.
(3) － － ＝ － ＝ .
跟踪训练　A　①－－＝－＝；②＋－＝＋＝；③－－＝－＝－＝≠；④－＋＝＋＋＝＋≠.
例2　因为＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m，所以＝－＋m(－)＝k(－)＋km(－)＝k＋km＝k(＋m)＝k，所以∥.因为AC，EG无公共点，所以AC∥EG.
【检测反馈】
1. A　对于A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，故A正确；对于B，将空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故B错误；对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，故C错误；对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，故D错误．
2. B　 ＝＋＝(－)＋＝－＋(－)＝＋－＝(a＋b－c).
3. ACD　如图，设M，N分别为AD，B1C1的中点，O1，O2分别为上、下底面的中心. ＋＝2，1＋＝2，互为相反向量，故A正确； －＝，－＝，互为相等向量，故B错误；－＝，－＝，互为相反向量，故C正确；＋＋＋＝2，＋＋＋＝2，互为相反向量，故D正确．故选ACD.
4. 相等　相反　在三棱柱ABC-A′B′C′中，四边形ACC′A′是平行四边形，则＝，即与是相等向量；四边形ABB′A′是平行四边形，＝＝－，即与是相反向量．
5. (1) ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝－＝0.
(2) ＋＋＝＋＋＝.