2023-2024学年高三下学期数学模拟测试卷（浙江省杭州市适用）（含答案）

2023-2024学年高三下学期数学模拟测试卷（浙江省杭州市适用）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，且，则的取值集合为（　　）
A． B． C． D．
2． 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题为真命题的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知数列的首项（其中且），当时，，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
4．展开式中的常数项为（　　）
A．60 B．4 C． D．
5．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线（为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．3
7．在边长为4的菱形中，.将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角.若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数的定义域为，且当时，，则（　　）
A． B．是偶函数
C．是增函数 D．是周期函数
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知关于的方程的两根为和，则（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数对任意实数均满足，则（　　）
A．
B．
C．
D．函数在区间上不单调
11．过点的直线与抛物线C：交于两点．抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（　　）
A．直线与抛物线C有2个公共点
B．直线恒过定点
C．点的轨迹方程是
D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器 自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有　 　种不同的选择方案.
13． 已知，则　 　.
14． 已知分别是双曲线的左 右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则　 　.
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在等差数列中，，且等差数列的公差为4.
（1）求；
（2）若，数列的前项和为，证明：.
16．为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：，，，，，，.整理得到如下频率分布直方图.
（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）从成绩在，内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.
17．已知函数.
（1）若直线与函数和均相切，试讨论直线的条数；
（2）设，求证：.
18．如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，．
（1）证明：；
（2）若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
19．已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1．
（1）求点的坐标．
（2）过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点．
（ⅰ）证明：点在定直线上；
（ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】A,B,C
10．【答案】A,C,D
11．【答案】B,C
12．【答案】150
13．【答案】1或-3
14．【答案】2
15．【答案】（1）解：设的公差为，由题意得，
得，
所以
（2）证明：由（1）得，
，
则
16．【答案】（1）解：由图可知，，解得.
该村村民成绩的平均数约为
（2）解：从成绩在，内的村民中用分层抽样的方法选取6人，
其中成绩在内的村民有人，
则成绩在内的村民有4人.
从中任选3人，则的取值可能为1，2，3，
，，
则的分布列为
1 2 3
故.
17．【答案】（1）设直线与函数相切于点，与函数相切于点，
由，则，
直线的方程为，则，消元可得，
令，则，
令，
当在单调递增，
当在单调递减，
又时，，故存在，使得，
故在单调递增，在单调递减，
又，又，
故存在两个零点，故直线的条数有两条.
（2）令，则
由，得，又，故，
令，则，即，
故，
令
，
令，
则，故在单调递减，故，
故，故在单调递减，故，
故，即，故.
18．【答案】（1）解：在中，由余弦定理可得，
所以，所以，所以．
又因为，所以平面，所以．
显然，四边形为平行四边形，所以，
又，所以，
所以．
（2）解：因为，所以，所以平面，
取中点，连接，设，
设多面体的体积为，
则，解得，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，
，
则平面的一个法向量，所以，
设平面的一个法向量，则即取，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19．【答案】（1）解：设是椭圆上一点，则，
因为，
①若，解得（舍去），
②若，解得（舍去）或，
所以点的坐标位．
（2）解：（ⅰ）设直线，
由，消元整理可得，
由韦达定理可得：，所以①
由，得或，
易知直线的方程为②
直线的方程为③
联立②③，消去，得④
联立①④，消去，则，
解得，即点在直线上；
（ⅱ）已知如图所示：
由图可知，，即．所以点在以为直径的圆上，
设，则，
所以，即，
故直线的方程为，直线的方程与椭圆方程联立，得，
解得等于．所以，所以，
故．