三明市2023—2024学年高一下期中六校联考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先求出复数z和,再求出在复平面内的共轭复数对应的点的位置得解.
【详解】由题得，所以，
所以在复平面内的共轭复数对应的点为，在第一象限.
故选：A.
【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的平行的坐标表示，即可求解.
【详解】因为，则，得.
故选：D
3. 已知a、b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可.
【详解】对于A：若，，则或，故A错误；
对于B：若，，则或与相交，故B错误；
对于C：若，，则，故C正确；
对于D：若，，，则或与异面，故D错误.
故选：C.
4. 在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（ ）
A. B. 或 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理及三角形内角和性质求角的大小.
【详解】由，则，而，故或，
显然，所得角均满足.
故选：B
5. 若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设正方体的棱长为，则外接球的直径为正方体的体对角线，从而可得球的半径，利用公式求出两者的表面积后可得它们的比值．
【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，则，
故球的表面积为，而正方体的表面积为，
故正方体与这个球表面积之比为．
故选：C．
【点睛】本题考查正方体和其外接球的表面积的计算，注意弄清楚球的半径与正方体的棱长的关系，本题属于基础题．
6. 在中，已知，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦定理化角为边，然后通过代数式的变形可得．
【详解】因为，所以，
，，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为，则该方亭的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由棱台的体积求出，再由棱台的表面积公式求解即可.
【详解】
由题意得，，则方亭的体积为，
解得，则，画出的平面图，作于，，，
则，，则该方亭的表面积为.
故选：A.
8. 设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（ ）
A. B. 18 C. 16 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由，利用向量数量积公式得，面积公式求得，由定义得，结合基本不等式求的最小值.
【详解】设中，角的对边分别为，
，由，得，
，若，则，，
有，得，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值是18.
故选：B
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每题给出的四个选项中，有多项是符合题意的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）
9. 已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）
A. 若复数，则．
B. 复数满足在复平面内对应的点为，则．
C. 复数的虚部是3．
D. 复数满足，则最小值为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过复数的运算和轨迹方程化简求解判断即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，即，故B正确；
对于C，复数的虚部为-3，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，则，
所以，
所以最小值为1，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 与的夹角的余弦值为
B. 在方向上的投影向量为
C. 与垂直的单位向量的坐标为
D. 若向量与向量共线，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据夹角公式的坐标运算判断A；根据投影向量的计算公式判断B；设与垂直的单位向量的坐标为,根据平面向量的模及垂直向量的坐标运算判断C；根据共线定理判断D.
【详解】设与夹角为，则，故A正确；
在方向上的投影向量为，故B错误；
设与垂直的单位向量的坐标为,则，解得或，
所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；
若向量与向量共线，设,
因为不共线，所以，解得，故D正确.
故选：AD.
11. 已知中，在上，为的角平分线，为中点，连接，使交于点，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在的外接圆上，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用余弦定理计算，利用余弦定理计算即可判断A；计算每个角的大小，根据正弦定理得，再通过向量三角形法则计算即可判断B；在中利用余弦定理得， 在中通过正弦定理即可判断C；设，用表示出，得出关于的三角函数，从而得到的最大值即可判断D.
【详解】对于A，在中，由余弦定理得
，
又因为，所以.
在中，由余弦定理得
，
所以，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以，
所以.
因为平分，
所以，，
在中，由正弦定理得，
所以，故.
所以
，
故B错误；
对于C，在中，由余弦定理得
，
所以.
在中，，
所以，
所以由正弦定理得，，所以C正确；
对于D，由B选项可知，即为外接圆的直径，
故外接圆的半径，，
故当取得最大值时，在优弧上.
设，则，，
所以在中由正弦定理得，
所以，
所以，
其中，
所以当时，最大值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的周长为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据斜二测画法可得原图形三边长，进而可得周长.
【详解】由题意，，则，故原图形中，，，周长为.
故答案为：
13. 已知圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而求得体积即可
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，又，
所以圆锥的母线长，所以圆锥的高，
所以圆锥的体积，
故答案为：.
14. 如图，在平面四边形中，．若点为边上的动点，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算，结合二次函数性质可得.
【详解】连接AC，因为，，，，
所以，又，所以，所以.
过点B作AD的垂线BF，垂足为F，易知，在中，，，所以，，
以D为原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，设，则，，
，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，，，
当时，有最小值；当时，有最大值，
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若，的周长为，求的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得，结合可得结果；（2）利用三角形周长得到；利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值；代入三角形面积公式可求得结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：
即：
，由得：
（2），的周长为
由余弦定理可得：
的面积：
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型.
16. 如图，四棱锥中，分别为线段，中点，与交于点，是线段上一点．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位线可得线线平行，利用线面平行的判定定理得证；
（2）证明线面平行，再由面面平行的判定定理证明.
【小问1详解】
连接，因为，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以为的中点．
又因为是的中点，
所以， ..
因为平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
连接，，
因为，分别是，的中点，
所以，
又平面， 平面，
所以平面． .
同理 平面，又，
平面
所以平面平面．
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足，且．
（1）若b＝c，求A的值；
（2）求B的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，结合，得到，再由b＝c求解；
（2）由，利用余弦定理得到 ，再利用余弦定理，结合基本不等式求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以，
即，
所以，
因为b＝c，
所以，
因为，
所以．
【小问2详解】
因为，
由余弦定理得，，
即，
所以，
当且仅当时，即时，取等号．
因为，
所以B的最大值为．
18. 如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于，且点是棱的中点，点在棱上．
（1）试在棱上找一点，使得平面，并加以证明；
（2）求四棱锥的体积．
【答案】（1）点为棱的中点，证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）证法1：取的中点，连接，，可得平面，再由线面平行的性质可得，则可得是棱的中点，由三角形中位线定理结合已知可得四边形是平行四边形，可得，然后由线面平行的判定定理可证得结论；证法2：由已知条件可证得平面，从而得是平行四边形，，由线面平行的判定可得面，从而得面面，再由面面平行的性质可得结论；
（2）解法一：连接，四棱锥可视为三棱锥和组合而成，然后分别求出两个三棱锥的体积即可；解法二：分别取和的中点，，连接，，连接交于点，连接，，可证得平面平面，则平面，然后结合已知条件求出等腰梯形的面积，从而可求得四棱锥的体积
【详解】（1）证法1：点为棱中点，证明如下：
取的中点，连接，．
∵，平面，平面，
∴平面，∵平面，平面平面，
∴．
又是棱中点，∴是棱的中点，
∴∥，
∵，分别为棱，的中点，∴∥，
∴∥，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面．
证法2：为的中点时，平面．
证明如下：
∵平面，平面，平面平面，
∴，平面，平面，所以平面，
又∵为的中点，为的中点，∴是平行四边形，∴，
又∵平面，平面，∴面，
又∵与在平面内相交，∴面面，
又∵面，∴平面．
（2）解法一：连接，四棱锥可视为三棱锥和组合而成，三棱锥可视为，底面积，高为，
设，体积为．
三棱锥与等高，体积比为底面积之比，
设，则，故，
因此，，即为所求．
解法二：分别取和的中点，，连接，，连接交于点，连接，．
∵和是正三角形，且，分别是和的中点，
∴，且∥，，则，，，四点共面．
∵平面，平面，∴，
又平面，平面，，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
在矩形中，，，
∴，∴，且，
∴，即．又平面平面，
平面平面，平面，∴平面．
在等腰梯形中，，，，
∴等腰梯形的高，
∴四棱锥的体积．
19. 如图，海上有A，B两个小岛相距，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上泥下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且，设.
（1）用x分别表示和，并求出x的取值范围；
（2）晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值.
【答案】（1），，
（2）10
【解析】
【分析】（1）应用余弦定理结合基本不等式求出范围即可；
（2）根据面积公式列式表示成函数，根据函数单调性求出最值即得.
【小问1详解】
在中，，
由余弦定理得，
又，所以①，
在，中，，
由余弦定理得②，
①+②得，
①-②得，即，
又，所以，即，
又，即，所以；
【小问2详解】
易知，
故，
又，设，
所以，，
,在上是增函数，
所以的最大值为，即BD的最大值为10.三明市2023—2024学年高一下期中六校联考数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知a、b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
4. 在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（ ）
A. B. 或 C. D.
5. 若一个正方体八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，已知，则的形状是（ ）
A 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形
7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为，则该方亭的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（ ）
A. B. 18 C. 16 D. 9
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每题给出的四个选项中，有多项是符合题意的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）
9. 已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）
A. 若复数，则．
B. 复数满足在复平面内对应的点为，则．
C. 复数的虚部是3．
D. 复数满足，则最小值为1
10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 与的夹角的余弦值为
B. 在方向上的投影向量为
C. 与垂直的单位向量的坐标为
D. 若向量与向量共线，则
11. 已知中，在上，为的角平分线，为中点，连接，使交于点，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在的外接圆上，则的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的周长为__________.
13. 已知圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为___________.
14. 如图，在平面四边形中，．若点为边上动点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若，的周长为，求的面积．
16. 如图，四棱锥中，分别为线段，中点，与交于点，是线段上一点．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足，且．
（1）若b＝c，求A的值；
（2）求B的最大值．
18. 如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于，且点是棱的中点，点在棱上．
（1）试在棱上找一点，使得平面，并加以证明；
（2）求四棱锥的体积．
19. 如图，海上有A，B两个小岛相距，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上泥下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且，设.
（1）用x分别表示和，并求出x的取值范围；
（2）晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值.
