山东省临沂市沂水县2015-2016学年八年级上学期期中数学试卷【解析版】

2015-2016学年山东省临沂市沂水县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．
2．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．两点之间的线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性 D．长方形的四个角都是直角
3．将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．45° B．50° C．60° D．75°
4．已知三角形的两边长是2cm，3cm，则该三角形的周长l的取值范围是( )
A．1＜l＜5 B．1＜l＜6 C．5＜l＜9 D．6＜l＜10
5．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCB
C．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠DBC=∠ACB
7．使两个直角三角形全等的条件是( )
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
8．△ABC≌△AEF，有以下结论：
①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC； ④∠EAB=∠FAC，
其中正确的个数是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．10 B．7 C．5 D．4
10．如图，△ABC中BD、CD平分∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BC、∠ACB过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．EF=BE+CF B．EF＞BE+CF C．EF＜BE+CF D．不能确定
11．如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，点E在AC上，且AE=AD，则∠EDC=( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．15° B．18° C．20° D．25°
12．如图，△ABC中，BD平分∠ABC， ( http: / / www.21cnjy.com )BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．48° B．36° C．30° D．24°
13．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70 ( http: / / www.21cnjy.com )°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
14．如图，AD是△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
15．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是__________度．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是__________．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件__________，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）
( http: / / www.21cnjy.com )
18．已知∠AOB=30°，点P在∠A ( http: / / www.21cnjy.com )OB的内部，P′与P关于OA对称，P″与P关于OB对称，则△OP′P″一定是一个__________三角形．
19．如图所示，直线a经过正方形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为__________．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题（共7小题，满分63分）
20．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求△BDE各内角的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
22．如图，在Rt△ABC中，在斜 ( http: / / www.21cnjy.com )边AB和直角边AC上分别取一点D，E，使DE=DA，延长DE交BC的延长线于点F．△DFB是等腰三角形吗？请说明你的理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
23．如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB=DF，∠A=∠F，求证：BC=DE．
( http: / / www.21cnjy.com )
24．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：（1）CF=EB；
（2）AB=AC+CF．
( http: / / www.21cnjy.com )
25．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
( http: / / www.21cnjy.com )
26．如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）求证：AE∥BC；
（2）如图（2），将（1）中的动点D运动到边BA的延长线上，仍作等边△EDC，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
( http: / / www.21cnjy.com )
2015-2016学年山东省临沂市沂水县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共14小题，每小题3分，满分42分）
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．两点之间的线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性 D．长方形的四个角都是直角
【考点】三角形的稳定性．
【分析】根据三角形的稳定性，可直接选择．
【解答】解：加上EF后，原图形中具有△AEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选C．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
3．将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．45° B．50° C．60° D．75°
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】本题主要根据直角尺各角的度数及三角形内角和定理解答．
【解答】解：∵∠C=30°，∠DAE=45°，AE∥BC，
∴∠EAC=∠C=30°，∠FAD=45﹣30=15°，
在△ADF中根据三角形内角和定理得到：∠AFD=180﹣90﹣15=75°．
故选D．
【点评】本题主要考查两直线平行，内错角相等，以及三角形的内角和定理．
4．已知三角形的两边长是2cm，3cm，则该三角形的周长l的取值范围是( )
A．1＜l＜5 B．1＜l＜6 C．5＜l＜9 D．6＜l＜10
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：第三边的取值范围是大于1而小于5．
又∵另外两边之和是5，
∴周长的取值范围是大于6而小于10．
故选D．
【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题．
【分析】根据多边形的外角和为360°及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°，
∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2） 180°=900°，
解得：n=7，
则这个多边形的边数是7，
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键．
6．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCB
C．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠DBC=∠ACB
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．
【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．
A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．使两个直角三角形全等的条件是( )
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】压轴题．
【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；
D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．
8．△ABC≌△AEF，有以下结论：
①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC； ④∠EAB=∠FAC，
其中正确的个数是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴BC=EF，∠BAC=∠EAF，故③正确；
∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，故④正确；
AC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB，
故①、②错误；
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质；做题时要运用三角形全等的基本性质，结合图形进行思考是十分必要的．
9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．10 B．7 C．5 D．4
【考点】角平分线的性质．
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE=BC EF=×5×2=5，
故选C．
【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
10．如图，△ABC中B ( http: / / www.21cnjy.com )D、CD平分∠ABC、∠ACB过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．EF=BE+CF B．EF＞BE+CF C．EF＜BE+CF D．不能确定
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】由平行的性质和角平分线的定义可得ED=BE，DF=CF，可得到EF=BE+CF．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=BE，同理可得FD=CF，
∴EF=ED+DF=BE+CF，
故选A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握平行线的性质和等角对等边是解题的关键．
11．如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，点E在AC上，且AE=AD，则∠EDC=( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．15° B．18° C．20° D．25°
【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】先根据△ABC是等边三角形，D为BC的中点得出∠DAC的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠ADE的度数，故可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=∠BAC=30°，
∵AE=AD，
∴∠ADE===75°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
故选A．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解答此题的关键．
12．如图，△ABC中，BD平分∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．48° B．36° C．30° D．24°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC ( http: / / www.21cnjy.com )=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°﹣24°=48°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
13．如图，一艘海轮位于灯塔P的南 ( http: / / www.21cnjy.com )偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质．
【专题】应用题．
【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=7 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．
【解答】解：MN=2×40=80（海里），
∵∠M=70°，∠N=40°，
∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，
∴∠NPM=∠M，
∴NP=MN=80（海里）．
故选：D．
【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．
14．如图，AD是△ABC的角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得 ( http: / / www.21cnjy.com )到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．
【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
15．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是60度．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】三角形的外角性质．
【分析】由∠A=80°，∠B= ( http: / / www.21cnjy.com )40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD=∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．
【解答】解：∵∠ACD=∠B+∠A，
而∠A=80°，∠B=4°，
∴∠ACD=80°+40°=120°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=60°，
故答案为60
【点评】本题考查了三角形的外角定理，关键是根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和．
16．点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是（1，0）．
【考点】坐标与图形变化-对称．
【专题】计算题．
【分析】点P（1，2）关于直线y=1对称的点与点P的连线平行于y轴，因而横坐标与P的横坐标相同，纵坐标与2的平均数是1，因而纵坐标是0．
【解答】解：点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是（1，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣对称的知识；解决本题的关键是正确理解如何作一个点关于已知直线的对称点．
17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件AB=CD，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】先根据平行线的性质得∠ABD=∠CDB，加上公共边BD，所以根据“SAS”判断△ABD≌△CDB时，可添加AB=CD．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
而BD=DB，
∴当添加AB=CD时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CDB．
故答案为AB=CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全 ( http: / / www.21cnjy.com )等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
18．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，P′与P关于OA对称，P″与P关于OB对称，则△OP′P″一定是一个等边三角形．
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．
【解答】解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P′、P″，
∴OP=OP′=OP″且∠P′OP″=2∠AOB=60°，
∴△OP′P″是等边三角形．
故答案为：等边．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】此题考查了轴对称的性质，对应点的连 ( http: / / www.21cnjy.com )线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
19．如图所示，直线a经过正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为13．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据正方形的性质、直角三角形两 ( http: / / www.21cnjy.com )个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF=DE、BF=AE，所以EF=AF+AE=13．
【解答】解：∵ABCD是正方形（已知），
∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°；
又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，
∴∠FBA=∠EAD（等量代换）；
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴在Rt△AFB和Rt△AED中，
∵，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），
∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质．实际上，此题就是将EF的长度转化为与已知长度的线段DE和BF数量关系．
三、解答题（共7小题，满分63分）
20．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；点B1坐标为：（﹣2，﹣1）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点C2的坐标为：（1，1）．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，根据图形的性质得出对应点位置是解题关键．
21．如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求△BDE各内角的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】利用三角形的外角性质，先求∠A ( http: / / www.21cnjy.com )BD，再根据角平分线的定义，可得∠DBC=∠ABD，运用平行线的性质得∠BDE的度数，根据三角形内角和定理可求∠BED的度数．
【解答】解：∵∠A=45°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=15°．
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=∠EBD=15°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBC=15°；
∴∠BED=180°﹣∠EBD﹣∠EDB=150°．
【点评】本题综合考查了平行线的性质及三角形内角与外角的关系，三角形内角和定理．
22．如图，在Rt△ABC中，在斜边AB ( http: / / www.21cnjy.com )和直角边AC上分别取一点D，E，使DE=DA，延长DE交BC的延长线于点F．△DFB是等腰三角形吗？请说明你的理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】根据等腰三角形的性质，得出∠A=∠A ( http: / / www.21cnjy.com )ED，根据对顶角相等得出∠AED=∠CEF，由直角三角形的两个锐角互余，得出∠B=∠F，则DB=DF，即可证明△DFB是等腰三角形．
【解答】证明：△DFB是等腰三角形．
理由是：∵DE=DA，
∴∠A=∠AED，
∵∠AED=∠CEF，
∵∠A=∠CEF，
∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠A+∠B=∠CEF+∠F，
∴∠B=∠F，
∴DB=DF，
∴△DFB是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，以及直角三角形的两个锐角互余的性质，掌握等角对等边是解题的关键．
23．如图，点C，D在线段BF上，AB∥DE，AB=DF，∠A=∠F，求证：BC=DE．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先由平行线得出∠B=∠EDF，再由ASA证明△ABC≌△FDE，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵AB∥DE
∴∠B=∠EDF；
在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（ASA），
∴BC=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
24．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
求证：（1）CF=EB；
（2）AB=AC+CF．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据角平分线的性质“角 ( http: / / www.21cnjy.com )的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；
（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AC进行转化．
【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL），
∴CF=EB；
（2）在△ADC与△ADE中，
，
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+CF．
【点评】本题主要考查平分线的性质，全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质与判定，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键．
25．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；探究型．
【分析】要证（1）△BAD≌△CAE，现 ( http: / / www.21cnjy.com )有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．
【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD
即∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠E．
∵∠DAE=90°，
∴∠E+∠ADE=90°．
∴∠ADB+∠ADE=90°．
即∠BDE=90°．
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
26．如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）求证：AE∥BC；
（2）如图（2），将（1）中的动点D运动到边BA的延长线上，仍作等边△EDC，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）证明△ACE≌△BCD推出∠ACB=∠EAC即可证．
（2）证明△DBC≌△EAC可推出∠EAC=∠ACB，由此可证．
【解答】解：（1）证明：∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中，
∵，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC=∠B=60°．
又∵∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC．
（2）结论：AE∥BC，
理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△DBC和△EAC中，
∵，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC=∠B=60°，
又∵∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质．关键是证明△ACE≌△BCD．