山东省日照市五莲县2015-2016学年八年级上学期期中数学试卷【解析版】

2015-2016学年山东省日照市五莲县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分40分）
1．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． D． ( http: / / www.21cnjy.com )
2．小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为( )的木条．
A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm
3．点P（a﹣5，a﹣2）与点A（﹣4，a2）关于x轴对称，则P的坐标为( )
A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣4，﹣1）
4．已知一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么它的边数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
5．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为( )
A．11cm B．7.5cm C．11cm或7.5cm D．以上都不对
6．如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为( )
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A．m+2n=1 B．m﹣2n=1 C．2n﹣m=1 D．n﹣2m=1
7．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=( )
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A．52° B．38° C．42° D．60°
8．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( )
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A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
9．如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于( )
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A．5 B．4 C．3 D．2
10．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是( )
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A．如图1，展开后测得∠1=∠2
B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2
D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
11．如图，△ABC中，AB=AC，D是 ( http: / / www.21cnjy.com )BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( )
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A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
12．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有( )
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=30°，则∠3=__________．
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14．如图，AB、CD相交于点O，AD=CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是__________．
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15．如图是标准跷跷板的示意图．横板AB的 ( http: / / www.21cnjy.com )中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动．如果∠OCA=90°，∠CAO=25°，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为__________．
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16．如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB=__________．
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三、解答题（共6小题，满分64分）
17．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．
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18．已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE．求证：
（1）∠AEC=∠BED；
（2）AC=BD．
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19．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1__________；B1__________；C1__________；
（3）△A1B1C1的面积为__________；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
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20．如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC，分别在AB、AD的中点E、F处挂两根彩线EC、FC．求证：EC=FC．
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21．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠DFC的度数．
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22．如图①，已知等腰直角△ABC中，BD为斜边上的中线，E为DC上的一点，且AG⊥BE于G，AG交BD于F．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图②，若点E在DC的延长线上，其它条件不变，①的结论还能成立吗？若不能，请说明理由；若能，请予以证明．
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2015-2016学年山东省日照市五莲县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分40分）
1．下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、不是轴对称图形，故错误；
D、是轴对称图形，故正确．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为( )的木条．
A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】计算题．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边用排除法即可得出答案．
【解答】解：对A，∵4+5=9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；
对B，∵4+3＜9，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；
对C，∵4+9＜17，不符合三角形两边之和大于第三边，故错误；
对D，∵4+9＞12，12﹣9＜4，符合两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，故正确；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形三边关系，属于基础题，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
3．点P（a﹣5，a﹣2）与点A（﹣4，a2）关于x轴对称，则P的坐标为( )
A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣4，﹣1）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】利用关于x轴对称点的性质得出关于a的等式进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a﹣5，a﹣2）与点A（﹣4，a2）关于x轴对称，
∴a﹣5=﹣4，a﹣2=﹣a2，
解得：a=1，
则P（﹣4，﹣1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标关系是解题关键．
4．已知一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么它的边数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和等于它的外角和的3倍可求得多边形的内角和，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：∵多边形的内角和等于它的外角和的3倍，
∴多边形的内角和=360°×3．
设多边形的边数为n，根据题意得：（n﹣2）×180°=360°×3．
解得n=8．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
5．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为( )
A．11cm B．7.5cm C．11cm或7.5cm D．以上都不对
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】分边11cm是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：①11cm是腰长时，腰长为11cm，
②11cm是底边时，腰长=（26﹣11）=7.5cm，
所以，腰长是11cm或7.5cm．
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
6．如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为( )
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A．m+2n=1 B．m﹣2n=1 C．2n﹣m=1 D．n﹣2m=1
【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】压轴题．
【分析】根据OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C，得出C点在∠BOA的角平分线上，进而得出C点横纵坐标相等，进而得出答案．
【解答】解：∵OA=OB；分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C，
∴C点在∠BOA的角平分线上，
∴C点到横纵坐标轴距离相等，进而得出，m﹣1=2n，
即m﹣2n=1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标点的性质，利用角平分线的作法得出C点坐标性质是解题关键．
7．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=( )
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A．52° B．38° C．42° D．60°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质求出∠3=∠2=38°，代入∠1+∠3=90°求出即可．
【解答】解：如图： ( http: / / www.21cnjy.com )
∵AB∥CD，∠2=38°，
∴∠3=∠2=38°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=52°，
故选A．
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出∠3的度数是解此题的关键．
8．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( )
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A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两 ( http: / / www.21cnjy.com )边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．
【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；
C、∵BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了对平行线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
9．如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于( )
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A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】三角形的外角性质；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】过D作DG⊥AC于G，根据三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEG=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DG的长度是4，又DE∥AB，所以∠BAD=∠ADE，所以AD是∠BAC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，得DF=DG．
【解答】解：如图，∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DEG=∠DAE+∠ADE=15°+15°=30°，
DE=AE=8，
过D作DG⊥AC于G，
则DG=DE=×8=4，
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴DF=DG=4．
故选：B．
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【点评】本题主要考查三角形的外角性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
10．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是( )
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A．如图1，展开后测得∠1=∠2
B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C．如图3，测得∠1=∠2
D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
【考点】平行线的判定；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【解答】解：A、∠1=∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；
B、∵∠1=∠2且∠3=∠4，由图可知∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确；
C、测得∠1=∠2，
∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误；
D、在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD，
∴∠CAO=∠DBO，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理．
11．如图，△ABC中，AB=AC ( http: / / www.21cnjy.com )，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( )
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A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【考点】全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据已知条件“AB=AC，D为BC中 ( http: / / www.21cnjy.com )点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．
12．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有( )
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】过M作ME⊥AD于E，得出∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=90°，根据三角形内角和定理求出∠AMD，即可判断①；根据角平分线性质求出MC=ME，ME=MB，即可判断②和⑤；由勾股定理求出DC=DE，AB=AE，即可判断③；根据SSS证△DEM≌△DCM，推出S三角形DEM=S三角形DCM，同理得出S三角形AEM=S三角形ABM，即可判断④．
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )
过M作ME⊥AD于E，
∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，
∴∠MDE=∠CDA，∠MAD=∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠MDA+∠MAD=（∠CDA+∠BAD）=×180°=90°，
∴∠AMD=180°﹣90°=90°，∴①正确；
∵DM平分∠CDE，∠C=90°（MC⊥DC），ME⊥DA，
∴MC=ME，
同理ME=MB，
∴MC=MB=ME=BC，∴②正确；
∴M到AD的距离等于BC的一半，∴⑤正确；
∵由勾股定理得：DC2=MD2﹣MC2，DE2=MD2﹣ME2，
又∵ME=MC，MD=MD，
∴DC=DE，
同理AB=AE，
∴AD=AE+DE=AB+DC，∴③正确；
∵在△DEM和△DCM中
，
∴△DEM≌△DCM（SSS），
∴S三角形DEM=S三角形DCM
同理S三角形AEM=S三角形ABM，
∴S三角形AMD=S梯形ABCD，∴④正确；
故选D．
【点评】本题考查了角平分线性质，垂直定义，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=30°，则∠3=20°．
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【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】首先由平行线的性质可求得∠4的度数，然后再根据三角形的外角的性质即可求得∠3的度数．
【解答】解：如图：
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∵a∥b，
∴∠4=∠1=50°．
由三角形的外角的性质可知：∠4=∠2+∠3，
∴∠3=∠4﹣∠2=50°﹣30°=20°．
故答案为：20°．
【点评】本题主要考查的是三角形的外角的性质和平行线的性质，熟练掌握三角形的外角的性质和平行线的性质是解题的关键．
14．如图，AB、CD相交于点O，AD=CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是∠A=∠C或∠ADO=∠CBO．
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【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】本题证明两三角形全等的三个条件中已经具备一边和一角，所以只要再添加一组对应角或边相等即可．
【解答】解：添加条件可以是：∠A=∠C或∠ADC=∠ABC．
∵添加∠A=∠C根据AAS判定△AOD≌△COB，
添加∠ADC=∠ABC根据ASA判定△AOD≌△COB，
故填空答案：∠A=∠C或∠ADC=∠ABC．
【点评】本题考查三角形全 ( http: / / www.21cnjy.com )等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
15．如图是标准跷跷板的示意图．横板A ( http: / / www.21cnjy.com )B的中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动．如果∠OCA=90°，∠CAO=25°，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为50°．
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【考点】全等三角形的应用．
【分析】已知如图所示：欲求∠A′OA的 ( http: / / www.21cnjy.com )度数，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可知∠A′OA=∠OAC+∠OB′C，又OA=OB′，根据等边对等角，可知∠OAC=∠OB′C=25°．
【解答】解：∵OA=OB′，∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠OB′C=25°，
∴∠A′OA=∠OAC+∠OB′C=2∠OAC=50°．
答案为50°．
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【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
16．如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB=．
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【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】由题可证△BED≌△ADF≌△CFE，则AD=BE，由勾股定理得，BE=BD，因为AB=BD+AD=BD+BE=BD+=1，所以BD=．
【解答】解：∵∠DEB=90°
∴∠BDE=90°﹣60°=30°
∴∠ADF=180﹣30°﹣60°=90°
同理∠EFC=90°
又∵∠A=∠B=∠C，DE=DF=EF
∴△BED≌△ADF≌△CFE
∴AD=BE，
由勾股定理得：
∵BE=
∵AB=BD+AD=BD+BE=BD+=1
∴BD=．
【点评】本题利用了：（1）等边三角形的性质，（2）勾股定理，（3）全等三角形的判定和性质．
三、解答题（共6小题，满分64分）
17．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．
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【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
【分析】根据AD是△ABC的角平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线，∠BAC=60°，得出∠BAD=30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE=40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠BAD=30°，
∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，
∴∠B=50°，
∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及高线的性质和三角形内角和定理，根据已知得出∠B的度数是解题关键．
18．已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE．求证：
（1）∠AEC=∠BED；
（2）AC=BD．
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【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据CE=DE得出∠ECD=∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可；
（2）根据SAS证明△AEC与△BED全等，再利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，
∵CE=DE，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠AEC=∠BED；
（2）∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（SAS），
∴AC=BD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质，关键是根据SAS证明全等．
19．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1（3，2）；B1（4，﹣3）；C1（1，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积为6.5；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
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【考点】作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）根据关于y轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中作画图形，进而得出各点坐标；
（3）利用△ABC所在矩形面积减去△ABC周围三角形面积进而求出即可；
（4）利用轴对称求最短路径的方法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）A1 （3，2）；B1 （4，﹣3）；C1 （1，﹣1）；
故答案为：（3，2）；（4，﹣3）；（1，﹣1）；
（3）△A1B1C1的面积为：3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3=6.5；
（4）如图所示：P点即为所求．
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【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法等知识，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键．
20．如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC，分别在AB、AD的中点E、F处挂两根彩线EC、FC．求证：EC=FC．
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【考点】全等三角形的应用．
【专题】证明题．
【分析】连接AC，先利用SSS证明△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C≌△ADC，根据全等三角形的对应角相等得出∠1=∠2，再利用SAS证明△EAC≌△FAC，即可得到EC=FC．
【解答】证明：如图，连结AC．
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠EAC=∠FAC．
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴AE=AB，AF=AD，
∵AB=AD，
∴AE=AF．
在△AEC与△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
∴EC=FC．
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【点评】本题主要考查全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质及学生对规律的探索能力，难度适中．本题通过作出辅助线，构造三角形全等的条件，判定三角形全等，从而利用三角形全等的性质得到边相等．
21．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠DFC的度数．
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【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】作图题．
【分析】根据等边三角形的性质，利用SA ( http: / / www.21cnjy.com )S证得△AEC≌△BDA，所以AD=CE，∠ACE=∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．
又∵AE=BD，
∴△AEC≌△BDA（SAS）．
∴AD=CE；
（2）解：
∵（1）△AEC≌△BDA，
∴∠ACE=∠BAD，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
【点评】本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．
22．如图①，已知等腰直角△ABC中，BD为斜边上的中线，E为DC上的一点，且AG⊥BE于G，AG交BD于F．
（1）求证：AF=BE；
（2）如图②，若点E在DC的延长线上，其它条件不变，①的结论还能成立吗？若不能，请说明理由；若能，请予以证明．
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【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）首先证明AD=BD，再证明∠DAF=∠DBE，可利用ASA定理判定△AFD≌△BED，进而得到AF=BE；
（2）方法与（1）类似，证明△AFD≌△BED（AAS）可得AF=BE．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，BD为斜边上的中线，
∴BD=AD=AC，∠ADB=90°，
∴∠1+∠GAD=90°，
∵AG⊥BE于G，
∴∠2+∠DBE=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠DAF=∠DBE，
在△AFD和△BED中，
，
∴△AFD≌△BED（ASA），
∴AF=BE；
（2）①的结论还能成立；
∵△ABC是等腰三角形，BD为斜边上的中线，
∴BD=AD=AC，∠ADB=90°，
∴∠DBE+∠DEB=90°，
∵AG⊥BE于G，
∴∠GBF+∠F=90°，
∵∠DBE=∠GBF，
∴∠F=∠DEB，
在△AFD和△BED中，
，
∴△AFD≌△BED（AAS），
∴AF=BE；
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【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．