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专题02 因式分解
目录
【考点一 判断是否是因式分解】 1
【考点二 已知因式分解的结果求参数】 3
【考点三 找公因式】 4
【考点四 判断能否用公因式法分解因式】 5
【考点五 综合提公因式和公式法分解因式】 6
【考点六 利用因式分解求代数式的值】 8
【考点七 十字相乘法】 9
【考点八 分组分解法】 13
【考点九 因式分解法的应用】 16
【过关检测】 19
1.因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式.
2.因式分解的方法：
考点剖析
【考点一 判断是否是因式分解】
例题：（23-24八年级上·陕西渭南·期末）下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解本题的关键，
【详解】解：A、属于整式的乘法计算，不符合题意；
B、因式分解错误，不符合题意；
C、属于因式分解，符合题意；
D、因式分解错误，不符合题意；；
故选：C．
【变式训练】
1．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．
【详解】解：A、，结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误；
B、是因式分解，选项正确；
C、，左右两边不相等，选项错误；
D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误．
故选：B．
2．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）下列各式的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A．的右边不是积的形式，不是因式分解；
B．的右边不是积的形式，不是因式分解；
C．是因式分解；
D．的右边不是积的形式，不是因式分解；
故选C．
【考点二 已知因式分解的结果求参数】
例题：（23-24八年级上·福建泉州·期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（ ）
A． B．5 C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解的应用，整式乘法与因式分解的关系，理解题意得出多项式的另一个因式为是解本题的关键．
【详解】解：设，
则，
∴，
解得：，
故选C．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据多项式乘法把等式右边展开得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．（22-23八年级上·河北张家口·期末）若，则、的值分别为（ ）
A．，2 B．4， C． ， D．4，2
【答案】B
【分析】把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到、的值．
【详解】解：，
，
，，
，
，
、的值分别为：4，．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解的意义；根据多项式乘多项式的法则，再根据对应项系数相等求解是解本题的关键．
【考点三 找公因式】
例题：（23-24八年级上·山东威海·期末）在多项式中，各项的公因式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式的公因式，根据多项式的公因式定义来进行求解．
【详解】解：在多项式中，各项的公因式是，
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）把分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据即可得出答案，找出公因式是解此题的关键．
【详解】解：，
把分解因式，应提取的公因式是，
故选：C．
2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式是解题的关键．
根据公因式的概念逐一判断选项即可．
【详解】A、和的公因式是，不符合题意；
B、和，没有公因式，符合题意；
C、和的公因式是，不符合题意；
D、和的公因式是5，不符合题意；
故选B．
【考点四 判断能否用公因式法分解因式】
例题：（22-23七年级下·湖南益阳·期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式的特征，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，不是完全平方公式，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是完全平方公式也不符和平方差公式，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，是完全平方公式，故该选项正确，符合题意；
D. ，不能用完全平方公式或平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
根据平方差公式分析判断即可．
【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据完全平方公式进行判断，即可．
【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式；
②；
③，不能用完全平方公式分解因式；
④；
⑤．，
所以能用完全平方公式分解因式的有3个．
故选：C
【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：．
【考点五 综合提公因式和公式法分解因式】
例题：（23-24八年级上·新疆喀什·期末）分解因式：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）首先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可；
（2）首先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【详解】（1）原式；
（2）原式．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南南阳·期末）分解因式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解．
（1）先提公因式后，运用完全平方公式进行分解；
（2）先提公因式后，运用平方差公式进行分解．
【详解】（1）
；
（2）
．
2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）利用平方差公式分解即可；
（2）利用完全平方公式分解即可；
（3）整理后，利用完全平方公式分解即可；
（4）整理后，利用提公因式法分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【考点六 利用因式分解求代数式的值】
例题：（22-23七年级下·湖南益阳·期末）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】因式分解：先提公式，再运用公式法，将待求的代数式用已知的代数表示，代入求解．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解的应用，求代数式值，掌握因式分解的步骤，公式的运用是解题的关键．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·安徽六安·期末）已知，则代数式 ．
【答案】
【分析】把所求式子因式分解为，再把已知条件整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确把所求式子因式分解为是解题的关键．
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解、分母有理化、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键．
由分母有理化可得，然后再对因式分解，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【考点七 十字相乘法】
例题：（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)结合本题知识，分解因式：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．
第一步：二次项；
第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；
第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．
即．
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
运用结论：
(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；
(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．
【答案】(1)
(2)图见解析，，，，16
【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可；
（2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可．
【详解】（1）解：，常数项，
，
，
故答案为：；
（2）解：，常数项，
画“十字图”如下：
，，，16．
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键．
2．（22-23八年级下·四川达州·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：
1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；
4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）______；
②（十字相乘法）______；
(2)已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
【答案】(1)①；②
(2)是直角三角形
【分析】（1）①把原式分组成，然后提公因式法分解因式即可；②直接利用十字相乘法分解即可；
（2）把原式进行因式分解得到，进而求出，再利用勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】（1）解：①
，
故答案为：；
②
，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．
【考点八 分组分解法】
例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组分解是解题关键．
（1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
（2）首先分别将与组合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式）
请在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)若，求式子的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题．
（1）可先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式因式分解；
（2）的公因式是，再次提公因式后代入数值计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴
2．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识．
第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）______．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
①______．
②______．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可；
（2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；
（3）移项后分解因式，可得出，则可得出答案．
【详解】解：（1）
故答案为：；
（2）①
；
②
；
（3）这个三角形为等边三角形．
理由如下：
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴这个三角形是等边三角形．
【考点九 因式分解法的应用】
例题：（22-23八年级上·北京朝阳·期末）在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为，的正方形，以及长为，宽为的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：
请你解答下面的问题：
(1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式： ；
(2)利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为的长方形，请你分析这个长方形的长和宽．
【答案】(1)；
(2)图形见解析，长方形的长为，宽为．
【分析】（1）本题考查多项式乘法的几何形式，根据图形，利用直接求和间接求两种方法，列出等式即可；
（2）本题考查考查了因式分解的应用，根据已知等式画出相应的图形，然后根据图形写出长方形的长和宽即可．
【详解】（1）解：由图知，；
故答案为：．
（2）解：，
由图知，长方形的长为，宽为．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东东营·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，设，则原式．
再将代入，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）将看成整体，令代入原式即可求解；
（）将看成整体，令代入原式即可求解；
本题考查了整体代入的思想，运用完全平方公式因式分解，整体代入是解题的关键．
【详解】（1）设，
则原式，
，
把代入得，
原式，
；
（2）设，
则原式，
，
，
把代入得，
原式，
，
．
2．（23-24八年级上·四川南充·期末）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把和这样的式子叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
例1：分解因式：；
原式；
例2：求代数式的最小值．
原式，所以当时，代数式有最小值，最小值是－6．请根据材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)m的值为，n的值为3
【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式和平方差公式即可得到结论；
（2）根据完全平方公式即可得到结论；
（3）把原式配方，然后根据非负数的性质即可得到结论．
【详解】（1）解： ；
（2）解：原式
，
∵
多项式 有最小值，最小值是；
（3）解：，
，
即，
，，
解得：，，
的值为，的值为3．
1
【过关检测】
过关检测
一、单选题
1．（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．
【详解】解：单项式与的公因式是．
故选：C．
2．（22-23八年级下·山东济南·期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用因式分解的意义分析得出答案．
【详解】解：A、，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；
B、，右边不是乘积形式，不合题意；
C、，从左到右是整式的乘法运算，，不合题意；
D、，从左到右是因式分解，符合题意．
故选：D．
3．（22-23八年级下·四川成都·期末）已知长方形的长和宽分别是a，b，周长是20，面积是15．则的值是（ ）
A．35 B．150 C．300 D．600
【答案】B
【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，提公因式分解因式，先根据长方形的周长和面积求出和的值，然后代入化简后的代数值求解即可．
【详解】解：∵长方形周长为20，
∴，
∴．
∵长方形的面积为15，
∴，
∴．
故选：B．
4．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列因式分解：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题主要考查提公因式法，公式法，十字相乘法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的方法一一判断即可求解．
【详解】解：①，故原式错误；
②，故原式正确；
③，故原式错误；
④，故原式错误；
综上所述，正确的有②，共个，
故选：．
5．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）已知，直角三角形的两直角边为，斜边为，满足且，则此直角三角形的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此题考查了平方差公式的应用、直角三角形的面积等知识，利用已知条件变形得到，，得到，，即可得到直角三角形的面积．
【详解】解：∵，
∴，
∴为直角三角形的两直角边，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴此直角三角形的面积为
故选：A
二、填空题
6．（23-24八年级上·云南昆明·期末）分解因式： ．
【答案】/
【分析】
本题考查因式分解．先提公式后，再用平方差公式即可分解因式．
【详解】．
故答案为：
7．（23-24八年级上·吉林长春·期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了分解因式，能熟记是解此题的关键．
根据十字相乘法分解因式即可．
【详解】解： ．
故答案为：．
8．（23-24八年级上·山东日照·期末）若多项式分解因式的结果为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据题意可得，据此可推出，再代值计算即可．
【详解】解：∵多项式分解因式的结果为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（23-24八年级上·山东烟台·期末）已知，，则多项式的值为 ．
【答案】88
【分析】本题考查因式分解和代数式求值，将多项式分解为含有，的式子，再将，代入整理后的式子求解，即可解题．
【详解】解：
，
，，
上式，
故答案为：88．
10．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）的三边a，b，c为互不相同的整数，且，则的周长为 ．
【答案】13
【分析】将原式变形后进行因式分解可得到，再利用三角形的三边关系以及三边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案．
【详解】解：
∴
，，为互不相同的整数，且是的三边
，，也是互不相同的正整数，且都大于1．
故可分为以下3种情况：
（1），即的三边长分别为1，6，8；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（2），即的三边长分别为2，5，6；由三角形的三边关系可知符合题意．
（3），即的三边长分别为1，2，20；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
∴综上所述：的周长为
综上可知，的周长为13．
故答案为13．
【点睛】本题是一道结合因式分解和三角形三边关系的综合性题目，有一定难度，能将原式变形后进行因式分解是解出此题的关键．考生们也应该多加练习这种形式的因式分解习题，做到熟能生巧．
三、解答题
11．（23-24八年级上·山东威海·期末）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解；
（1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解；
（2）将看作整体，根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：原式=．
（2）解：原式．
12．（23-24八年级上·河南安阳·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了因式分解,掌握运用提取公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键．
（1）先写出完全平方的形式，然后运用完全平方公式分解即可；
（2）先提取公因式，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
．
13．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用提取公因式法以及公式法分解因式是解题的关键．
（1）利用提取公因式法分解因式解答即可；
（2）利用公式法分解因式解答即可；
【详解】（1）原式
（2）原式
14．（23-24八年级上·天津和平·期末）分解因式：
(1)___________；
(2)___________；
(3)（要求写过程）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）根据十字相乘法进行因式分解；
（2）先去括号，再根据公式法进行因式分解；
（3）提公因式，再根据公式法进行因式分解．
【详解】（1）解：根据十字相乘法，得
原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
15．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查的就是因式分解．如果有公因式，我们首先都需要进行提取公因式，然后再利用别的方法进行因式分解．
（1）先分组，再利用提取公因式进行因式分解；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式分解即可；
（3）先运用完全平方公式因式分解，然后再利用平方差公式进行分解解题即可．
【详解】（1）
（2）
（3）
16．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则原式
再将“A”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：______；
(2)因式分解：；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
（1）将“”看成整体，得原式，利用完全平方公式因式分解即可；
（2）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式．
【详解】（1）解：
＝
＝；
故答案为：；
（2）解：设，
原式，
将A还原，则原式．
17．（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)结合本题知识，分解因式：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
．
18．（23-24八年级上·河南商丘·期末）【材料阅读】
若，求m和n的值．
解：由题意得．
．
解得，．
【问题解决】
(1)对于代数式，存在最大值还是最小值？此时x，y分别取何值？并求出该代数式的最大值或最小值；
(2)已知的边长a，b，c满足，若c是最长边且为偶数，求的周长．
【答案】(1)，代数式存在最小值为4
(2)14
【分析】本题考查因式分解的应用，学会使用非负数的性质计算最小值和最大值，三角形三边关系在题目中的运用．
（1）利用配方法将代数式配方成偶次方，再确定代数式取最大值还是最小值，让后计算出此时，的值；
（2）先使用配方法计算出中的，值，其次根据三角形的三边关系，确定边长的取值范围，最后根据题意确定边长和的周长．
【详解】（1）解：代数存在最小值，
，
，
，
代数式，存在最小值，
当代数式取最小值时，，
代数式的最小值为4，
答：代数式存在最小值，，代数式存在最小值为4；
（2）解：，
，
解得：
的边长a，b，c，
，
是最长边且为偶数，
，
的周长为，
答：的周长为14．
19．（23-24八年级上·山东济南·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．
例如：（1）分解因式：
（2） 求代数式 的最小值．
∴当时，代数式有最小值
结合以上材料解决下面的问题：
(1)若二次三项式 恰好是完全平方式，k的值是 ；
(2)分解因式：；
(3)当x为何值时，有最小值 最小值是多少
【答案】(1)或
(2)
(3)时，最小值
【分析】本题考查完全平方式、因式分解：
（1）利用完全平方式的结构特点求解；
（2）仿照材料中方法进行因式分解；
（3）仿照材料中方法将变形为，即可求解．
【详解】（1）解： 恰好是完全平方式，
，
即k的值是或；
（2）解：
，
，
；
（3）解：
，
，
∴当时，代数式有最小值．
20．（23-24八年级上·云南昆明·期末）【阅读材料】
配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
①用配方法分解因式
例1：分解因式．
解：．
②用配方法求值
例2：已知求的值．
解：原方程可化为，，即，
，，，，．
③用配方法确定范围
例3：，利用配方法求M的最小值．
解：
，当时，M有最小值．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法分解因式；
(2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围；
(3)已知，．试比较P，Q的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了配方法的应用，分解因式，构成三角形的条件：
（1）仿照题意进行配方得到，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）把原式变形为，利用非负数的性质求出，再根据构成三角形的条件进行求解即可；
（3）利用作差法求出，进而得到，即．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即
∴；
（3）解：∵，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 因式分解
目录
【考点一 判断是否是因式分解】 1
【考点二 已知因式分解的结果求参数】 3
【考点三 找公因式】 4
【考点四 判断能否用公因式法分解因式】 5
【考点五 综合提公因式和公式法分解因式】 6
【考点六 利用因式分解求代数式的值】 8
【考点七 十字相乘法】 9
【考点八 分组分解法】 13
【考点九 因式分解法的应用】 16
【过关检测】 19
1.因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式.
2.因式分解的方法：
考点剖析
【考点一 判断是否是因式分解】
例题：（23-24八年级上·陕西渭南·期末）下面从左到右的变形，进行因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）下列各式的变形中，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点二 已知因式分解的结果求参数】
例题：（23-24八年级上·福建泉州·期末）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则a的值为（ ）
A． B．5 C．1 D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（ ）
A． B． C． D．4
2．（22-23八年级上·河北张家口·期末）若，则、的值分别为（ ）
A．，2 B．4， C． ， D．4，2
【考点三 找公因式】
例题：（23-24八年级上·山东威海·期末）在多项式中，各项的公因式是( )
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）把分解因式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各组中的两个代数式，没有公因式的一组是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【考点四 判断能否用公因式法分解因式】
例题：（22-23七年级下·湖南益阳·期末）下列各式中能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）下列多项式中，不能用公式法进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点五 综合提公因式和公式法分解因式】
例题：（23-24八年级上·新疆喀什·期末）分解因式：
(1)
(2)．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南南阳·期末）分解因式：
(1)
(2)
2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【考点六 利用因式分解求代数式的值】
例题：（22-23七年级下·湖南益阳·期末）若，则的值为 ．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·安徽六安·期末）已知，则代数式 ．
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，则代数式的值为 ．
【考点七 十字相乘法】
例题：（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)结合本题知识，分解因式：．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·湖南岳阳·期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．
第一步：二次项；
第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；
第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．
即．
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
运用结论：
(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；
(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．
2．（22-23八年级下·四川达州·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：
1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；
4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）______；
②（十字相乘法）______；
(2)已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
【考点八 分组分解法】
例题：（23-24八年级上·陕西西安·期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式）
请在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：；
(2)若，求式子的值．
2．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）阅读材料，拓展知识．
第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法．
第二步：理解知识，尝试填空．
（1）______．
第三步：应用知识，解决问题．
（2）因式分解：
①______．
②______．
第四步：提炼思想，拓展应用．
（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【考点九 因式分解法的应用】
例题：（22-23八年级上·北京朝阳·期末）在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图1中边长分别为，的正方形，以及长为，宽为的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：
请你解答下面的问题：
(1)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式： ；
(2)利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为的长方形，请你分析这个长方形的长和宽．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东东营·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：．
解：将“”看成整体，设，则原式．
再将代入，得原式．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：．
2．（23-24八年级上·四川南充·期末）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把和这样的式子叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
例1：分解因式：；
原式；
例2：求代数式的最小值．
原式，所以当时，代数式有最小值，最小值是－6．请根据材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知，求m，n的值．
【过关检测】
过关检测
一、单选题
1．（23-24八年级上·浙江台州·期末）单项式与的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23八年级下·山东济南·期末）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23八年级下·四川成都·期末）已知长方形的长和宽分别是a，b，周长是20，面积是15．则的值是（ ）
A．35 B．150 C．300 D．600
4．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列因式分解：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）已知，直角三角形的两直角边为，斜边为，满足且，则此直角三角形的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·云南昆明·期末）分解因式： ．
7．（23-24八年级上·吉林长春·期末）分解因式： ．
8．（23-24八年级上·山东日照·期末）若多项式分解因式的结果为，则的值为 ．
9．（23-24八年级上·山东烟台·期末）已知，，则多项式的值为 ．
10．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）的三边a，b，c为互不相同的整数，且，则的周长为 ．
三、解答题
11．（23-24八年级上·山东威海·期末）因式分解：
(1)
(2)
12．（23-24八年级上·河南安阳·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
13．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）因式分解：
(1)；
(2)．
14．（23-24八年级上·天津和平·期末）分解因式：
(1)___________；
(2)___________；
(3)（要求写过程）．
15．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
16．（22-23八年级上·河南洛阳·期末）阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则原式
再将“A”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：______；
(2)因式分解：；
17．（23-24八年级上·北京东城·期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：；
(2)用十字相乘法分解因式：；
(3)结合本题知识，分解因式：．
18．（23-24八年级上·河南商丘·期末）【材料阅读】
若，求m和n的值．
解：由题意得．
．
解得，．
【问题解决】
(1)对于代数式，存在最大值还是最小值？此时x，y分别取何值？并求出该代数式的最大值或最小值；
(2)已知的边长a，b，c满足，若c是最长边且为偶数，求的周长．
19．（23-24八年级上·山东济南·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．
例如：（1）分解因式：
（2） 求代数式 的最小值．
∴当时，代数式有最小值
结合以上材料解决下面的问题：
(1)若二次三项式 恰好是完全平方式，k的值是 ；
(2)分解因式：；
(3)当x为何值时，有最小值 最小值是多少
20．（23-24八年级上·云南昆明·期末）【阅读材料】
配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
①用配方法分解因式
例1：分解因式．
解：．
②用配方法求值
例2：已知求的值．
解：原方程可化为，，即，
，，，，．
③用配方法确定范围
例3：，利用配方法求M的最小值．
解：
，当时，M有最小值．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法分解因式；
(2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围；
(3)已知，．试比较P，Q的大小．
