数学：19.1 比例线段 错解诊所（北京课改版九年级上）

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比例线段错解诊所
比例线段是相似三角形的基础，是勾通代数与几何计算的桥梁，所以，同学们一定要认真学好.但仍有少数同学在具体处理有关比例线段的问题时，因缺乏慎重考虑，时常出现各种各样的错误，为了方便同学们学习，现就常见的错解问题举例说明.
一、对比的概念认识模糊
　　例1　因为＝，所以a＝4，b＝3，你认为这种说法正确吗？为什么？
错解　正确.因为a＝4，b＝3，所以＝，反过来则有＝，即a＝4，b＝3.
剖析　＝仅表示a、b在同一长度单位下的比值，并不表示a＝4，b＝3.
正解　这种说法是错误的.因为＝仅表示a、b在同一长度单位下的比值，它表示a＝4k，b＝3k(k＞0)，所以这种说法是错误的.
二、对线段比的单位认识不足
　　例2　有两条线段，它们的长度之比为a∶b＝5∶3，则a＝5cm，b＝3cm，你认为这种说法正确吗？为什么？
错解　正确.因为a＝5cm，b＝3cm，所以它们的长度之比为a∶b＝5∶3，即这种说法是正确的.
剖析　比值是没有单位的，它与采用共同单位无关.
正解　这种说法是错误的.因为a∶b＝5∶3仅表示a、b的比值，它表示a＝5k，b＝4k(k＞0)，所以这种说法是错误的.
三、忽视单位的统一
例3　A、B两地的实际距离AB＝250m，画在纸上的距离A′B′＝5cm，求纸上距离与实际距离的比.
错解　纸上距离与实际距离的比是A′B′∶AB＝5∶250＝1∶50.
剖析　求两条线段的比，就是求出这两条线段用统一单位量得的线段长度之比，这里要注意有三点：①两条线段的比与采用的长度单位无关，因此一般线段的长度单位可不写；②如果给出的线段长度单位不同，则必须化为同一长度单位后再求线段的比；③两线段的比值总是正数，如在运算中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比.由此我们可以发现本题的错解是没有将单位化同一.
正解　因为AB＝250m＝25000 cm，所以纸上距离与实际距离的比是A′B′∶AB＝5∶25000＝1∶5000.
四、错误认为两个分式相等就有分子与分母分别相等
例4　若＝，求的值.
错解　因为＝，所以解得所以＝.
剖析　这里错把两个分数相等，则它们的分子、分母分别相等，而事实上如＝，分子上的2与1、分母上的4与2都是不相等的，虽然结果是正确的，但是过程是错误的.
正解　设＝＝k(k≠0)，所以y＝(y－x)k，即xk＝yk－y＝y(k－1)，所以＝＝＝.
五、忽视使用性质的条件
例5　若＝＝＝k.求k的值.
错解　因为＝＝＝k，所以由等比性质，得＝k，即k＝.
剖析　运用等比性质的条件是分母之和不等于0，而这里并没有说明a+b+c≠0，所以应分情况讨论.
正解　当a+b+c≠0时，由等比性质，得＝k，即k＝；当a+b+c＝0时，则有a+b＝－c，或a+c＝－b，或b+c＝－a，无论哪一种情况都有k＝－1，所以k的值为或－1.
六、错误地运用设k法解题
例6　已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y+3z＝38，求3x+y－2z的值.
错解　设x∶y∶z＝3∶5∶6＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k，又2x－y+3z＝38，所以6k－5k+18k＝38，即k＝2，所以3x+y－2z＝9k+5k－12k＝2k＝4.
剖析　本题不能用“设x∶y∶z＝3∶5∶6＝k”的方法求解，因为“3∶5∶6＝k”这个式子是错误的，所以虽然结果正确，但开始的设法就是错误的.
正解　因为x∶y∶z＝3∶5∶6，所以可设＝＝＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k，又2x－y+3z＝38，所以6k－5k+18k＝38，即k＝2，所以3x+y－2z＝9k+5k－12k＝2k＝4.
七、忽视成线段成比例的顺序性
例7　已知线段a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm.试求a、b、c的第四比例项x.
错解　因为a、b、c的第四比例项是x，所以有x∶a＝b∶c，即x＝，又a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm，所以x＝＝.
剖析　要求a、b、c的第四比例项x，就表示四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝，就是说线段成比例得讲究一个顺序性，错解正是忽略了这一点.
正解　因为四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝，又a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm，所以x＝＝.
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