2023-2024学年度第二学期高一数学期末检测试题（含解析）

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2023-2024学年度第二学期高一数学期末检测试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z满足zi=1-i(i为虚单位）,则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为(　 　)
A．10组　　　　　 B．9组 C．8组 D．7组
3.已知A(1,2)，B(3，－1)，C(3,4)，则等于(　　)
A．11 B．5 C．－1 D．－2
4.“中国天眼”历时22年建成，是具有我国自主知识产权，世界
最大单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远
镜，其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部
分叫做球冠，如图所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面
的直径被截得的一段叫做球冠的高．球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为：S=2πRh．已知天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（ ）
A．130米 B．100米 C．160米 D．60米
5.从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492　496　494　495　498　497　501　502　504　496
497　503　506　508　507　492　496　500　501　499
根据样本频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率约为(　　)
A．0.25 B．0.20 C．0.35 D．0.45
6.设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是
A.若a∥α，b∥α，则a∥b B.若a α，a∥b，则b α
C.若a α，a b，则b∥α D.若a∥α，a b，则b α
7.已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°,若
△PAB的面积为，则该圆锥的体积为( )
A.3π B.3 π C. π D. π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是（　　 ）
A．至少有1件次品与都是正品 B．至少有1件次品与至多有1件正品
C．恰有1件次品与恰有2件正品 D．至少有1件次品与至少有1件正品
10.有一组样本数据x1,x2,x3,x4,x5,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（ ）
A. x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数
B. x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数
C. x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,x3,x4,x5,x6的标准差
D. x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差
11.如图，正三棱柱ABC A1B1C1各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM＝C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的是(　 　)
A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段
B．平面DMN⊥平面BCC1B1
C．三棱锥A1 DMN的体积为定值
D．△DMN可能为直角三角形
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若(x,y∈R,i为虚单位) ，则复数x+yi的模是___________.
13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 ．
14.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S=（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a=3，且bcosC-ccosB=，则△ABC面积的最大值为___________.
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
如图所示，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是
AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC.
⑴以，为基底表示向量与；
⑵若=3，=4，与的夹角为120°，求.
16.（本题满分15分）
某工厂36名工人的年龄数据如下表：
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
1 40 10 36 19 27 28 34
2 44 11 31 20 43 29 39
3 40 12 38 21 41 30 43
4 41 13 39 22 37 31 38
5 33 14 43 23 34 32 42
6 40 15 45 24 42 33 53
7 45 16 39 25 37 34 37
8 42 17 38 26 44 35 49
9 43 18 36 27 42 36 39
⑴用随机数法抽取一个容量为9的样本，并且第一次随机抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
⑵计算⑴中样本的均值和方差s2；
⑶36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)
17.（本题满分15分）
如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是BC的中点．
⑴求证：平面
⑵求直线与平面所成角的正弦值．
18.（本题满分17分）
某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：
⑴若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数；
⑵若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1 200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率；
⑶根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01)．
19.（本题满分17分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2．
⑴若2=3，求△ABC的面积；
⑵是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足zi=1-i(i为虚单位）,则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B.
【解析】z==-1-i,=-1+i．则在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.
2.一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为(　 　)
A．7组　　　　　 B．8组 C．9组 D．10组
【答案】C
【解析】根据列频率分布表的步骤，＝8.9，所以分为9组较为恰当．故选C.
3.已知A(1,2)，B(3，－1)，C(3,4)，则等于(　　 )
A．11 B．5 C．－1 D．－2
【答案】D.
【解析】＝(2，－3)，＝(2,2)，则＝2×2＋(－3)×2＝－2.故选D.
4.“中国天眼”历时22年建成，是具有我国自主知识产权，世界
最大单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远
镜，其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部
分叫做球冠，如图所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面
的直径被截得的一段叫做球冠的高．球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为：S=2πRh．已知天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（ ）
A．130米 B．100米 C．160米 D．60米
【答案】A.　
【解析】由题意得250000=500×πh,h=≈130(米)，故选A.
5.从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492　496　494　495　498　497　501　502　504　496
497　503　506　508　507　492　496　500　501　499
根据样本频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率约为(　　)
A．0.25 B．0.20 C．0.35 D．0.45
【答案】A.
【解析】袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的有5袋，故所求概率P≈0.25.故选A.
6.设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是
A.若a∥α，b∥α，则a∥b B.若a α，a∥b，则b α
C.若a α，a b，则b∥α D.若a∥α，a b，则b α
【答案】B.
【解析】若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若a α，a∥b，则由直线与平面垂直的判定定理知b α，故B正确；若a α，a b，则b∥α或b α，故C错误；若a∥α，a b，b∥α或b α，或b与α相交，故D错误．故选B.
7.已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．故选D．
8.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°,若
△PAB的面积为，则该圆锥的体积为( )
A.3π B.3π C. π D. π
【解析】方法1：如图， AOB中，∠AOB=120°，AO=BO=,∴AB=3.
取AB的中点M,连接PM,OM.OM=,
∵S PAB=,∴PM=
在RT POM中，PO2=PM2-OM2=6,∴PO=,圆锥体积V==. 故选C.
方法2：由∠AOB=120°及圆锥PO的底面半径得AB=3,再由 PAB的面积为得△PAB为边长为3等边三角形，PO==,圆锥体积V==.故选C.
方法3：由∠AOB=120°及圆锥PO的底面半径得AB=3,设该圆锥的母线长为l,由余弦定理得
32=2×l2-2×l2cos∠APB,即l2（1-coc∠APB）= ①,又由△PAB的面积为得
②，由①②得,
,,△PAB为边长为3等边三角形,
PO==,圆锥体积V== 故选C.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是（　　 ）
A．至少有1件次品与都是正品 B．至少有1件次品与至多有1件正品
C．恰有1件次品与恰有2件正品 D．至少有1件次品与至少有1件正品
【答案】AC.
【解析】有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，
在A中，至少有1件次品与都是正品是对立事件，属于互斥事件，故A正确．
在B中，至少有1件次品与至多有1件正品能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
在C中，恰有1件次品与恰有2件正品不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；
在D中，至少有1件次品与至少有1件正品能同时发生，不是互斥事件，故D错误；
故选AC.
10.有一组样本数据x1,x2,x3,x4,x5,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（ ）
A. x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数
B. x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数
C. x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,x3,x4,x5,x6的标准差
D. x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差
【答案】BD
【解析】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A错误；
对于选项B：不妨设，
可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；
对于选项C：因为是最小值，是最大值，
则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，
例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，
标准差，
显然，即；故C错误；
对于选项D：不妨设，
则，当且仅当时，等号成立，则D正确；
故选BD.
11.如图，正三棱柱ABC A1B1C1各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM＝C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的是(　 　)
A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段
B．平面DMN⊥平面BCC1B1
C．三棱锥A1 DMN的体积为定值
D．△DMN可能为直角三角形
【答案】ABC
【解析】用平行于平面ABC的平面截平面DMN，则交线平行于
平面ABC，故A正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，若满足
BM＝C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1
可得平面DMN⊥平面BCC1B1，故B正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，
△A1DM的面积不变，点N到平面A1DM的距离不变，所以三棱锥N A1DM 的
体积不变，即三棱锥A1 DMN的体积为定值，故C正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，易证DM＝DN，所以△DMN为等腰直角三角形，所以DO＝OM＝ON，即MN＝2DO.设正三棱柱的棱长为2，则DO＝，MN＝2.因为MN的最大值为BC1，BC1＝2，所以MN不可能为2，所以△DMN不可能为直角三角形，故D错误．故选ABC.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若(x,y∈R,i为虚单位) ，则复数x+yi的模是___________.
【答案】3
【解析】∵,∴x=(3-yi)(1+i),即(y-x+3)+(3-y)i=0.
由复数相等条件得,解得,
复数x+yi=6+3i,它的模为3.
13.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 ．
【答案】0.128.
【解析】根据题意，记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，
若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错；
由相互独立事件的概率乘法公式，可得P(A)=1×0.2×0.8×0.8=0.128.
14.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S=（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a=3，且bcosC-ccosB=，则△ABC面积的最大值为___________.
【答案】.
【解析】∵bcosC-ccosB=,a=3，∴2c2=3bcosC-3ccosB=abcosC-accosB=
=b2-c2,即b2=3c2.
∴S====
当且仅当c2=9，即c=3时，S取最大值.
则△ABC面积的最大值为.
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.如图所示，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是
AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC.
⑴以，为基底表示向量与；
⑵若=3，=4，与的夹角为120°，求.
【答案】⑴，；⑵.
【解析】⑴由已知得＝＝.
连接AF(图略)，∵＝＝，
∴＝＝＝.
⑵由已知得=-6.
∴=
==.
16.某工厂36名工人的年龄数据如下表：
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
1 40 10 36 19 27 28 34
2 44 11 31 20 43 29 39
3 40 12 38 21 41 30 43
4 41 13 39 22 37 31 38
5 33 14 43 23 34 32 42
6 40 15 45 24 42 33 53
7 45 16 39 25 37 34 37
8 42 17 38 26 44 35 49
9 43 18 36 27 42 36 39
⑴用随机数法抽取一个容量为9的样本，并且第一次随机抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
⑵计算⑴中样本的均值和方差s2；
⑶36名工人中年龄在－s与＋s之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)
【答案】⑴44,40,36,43,36,37,44,43,37； ⑵40，; ⑶63.89%.
【解析】⑴用随机数法抽取容量为9的样本，并且第一次随机抽到的年龄数据为44，抽取的样本如下：44,40,36,43,36,37,44,43,37.
⑵由均值公式知 ＝＝40，
由方差公式知
s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝.
⑶因为s2＝，s＝，
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数，即40,40,41，…，39，共23人．
所以36名工人中年龄在－s和＋s之间的人数所占的百分比为×100%≈63.89%.
17.如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是BC的中点．
⑴求证：平面
⑵求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】⑴详见解析；⑵.
【解析】⑴证明：直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
，
，D是BC的中点，
，
又，BC、平面，
平面．
⑵解：如图，连接，
由⑴可知，平面，
则即为直线与平面所成角，
∵平面，平面，
∴，
在中，，，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：
⑴若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数；
⑵若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1 200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率；
⑶根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01)．
【答案】⑴80天; ⑵0.38； ⑶52.35.
【解析】⑴由题意知，网店销售量不低于50共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，实体店销售量不低于50共有(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38(天)，实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24＝24(天)．
故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66＋38－24＝80(天)．
⑵由题意，设该实体店一天售出x件，则获利为(50x－1 700)元，50x－1 700≥800 x≥50.
设“该实体店一天获利不低于800元”为事件A，则
P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38.
故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.
⑶因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为
(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，
销售量低于55的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，因此中位数落在区间[50,55)内，设中位数为y，由0.34＋0.068×(y－50)＝0.5，解得y≈52.35.
所以该服装店网店销售量的中位数约为52.35.
19.在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2．
⑴若2=3，求△ABC的面积；
⑵是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】⑴；⑵存在，a=2.
【解析】⑴∵2=3，c=a+2,则2c=2(a+2)=3a，∴a=4，则b=5，c=6，
∴，
∴C锐角，则，
因此，；
⑵显然，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得
，
解得，则，
由三角形三边关系可得
，可得，
，故a=2.
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