沪教版六年级数学下册试题 6.3 一元一次不等式（组）（含解析）

第6章第三节 一元一次不等式（组）
一、单选题
1．若，则下列不等式不一定成立的是( )
A． B．
C． D．
2．下列不等式组：①，②，③，④，⑤．其中一元一次不等组的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如果不等式的正整数解是1，2，3，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的方程3m(x＋1)＋5＝m(3x－1)－5x的解是负数，则m的取值范围是(　　)
A．m＞－ B．m＜－
C．m＞ D．m＜
5．某人分两次在市场上买了同一批货物，第一次买了3件，平均价格为每件a元，第二次买了2件，平均价格为每件b元．后来他以每件元的价格全部卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是( )
A． B． C． D．
6．某森林公园门票每张10元，只能一次性使用．在保留此种方法的基础上，公园推出A、B、C三种年票（每张仅一人使用，自购买日起，可使用一年），三类年票的具体情况如下：
A类年票：每张120元，持票入园无须再购票；
B类年票：每张60元，持票入园时须再购票，但每张2元；
C类年票：每张40元，持票入园时须再购票，但每张3元．
小军和小华根据自己的年入园次数需求，选择了最适合自己的年票．小军选择了C类年票，小华选择了A类年票，以下说法正确的是（　　）
A．小军的年入园需求可能是25次
B．小华的年入园次数需求多于小军
C．小华的年入园需求可能是25次
D．小华的年入园次数需求少于小军
7．已知关于x的不等式组，有以下说法：
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4；
②当a＝1时，它无解；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5；
④如果它有解，那么a≥2．
其中说法正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
9．定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[-1.21]＝﹣2．以下结论：①当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值是1；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③a﹣1＜[a]≤a；④x＝﹣是方程3x﹣2[x]+1＝0的唯一解，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于30，那么的最小值是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
二、填空题
11．已知为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤．其中正确的为__________．（填序号）
12．若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣12，则m的取值范围为 _____．
13．若关于的方程有解，则的取值范围是______．
14．已知，则代数式最大值与最小值的差是________．
15．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行一次就停止了，则x的取值范围是_______．
16．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有________个．
17．某超市在元宵节这天对几种零食进行清仓促销．已知巧克力、薯片和瓜子的成本价分别为12元/袋、8元/袋、6元/袋，折后售价之比为，白天三种商品销量之比为．下午六点后，超市进行大促，每种商品都参加“买4送1”活动（即每5袋捆绑在一起销售，只付4袋的费用）．截止到营业时间结束时，三种商品均售出了白天销量的一半，且全天总销量超过250袋且不足350袋（商品的销量为整数）．已知这天薯片的销售额为1344元，则全天的利润为______元．
18．对，定义一种新的运算，规定：，若关于正数的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围是_________．
三、解答题
19．解下列不等式（组）
(1) (2)
(3) (4)
20．关于x的不等式组．
(1)当时，解该不等式组；
(2)当时，解该不等式组；
(3)若该不等式组有解，但无整数解，则m的取值范围是多少？
21．近期疫情防控形势严峻，妈妈让小明到惠民药店购买口罩，某种包装的口罩标价每袋10元，请认真阅读老板的话．
(1)结合老板的话，小明原计划购买几袋口罩？
(2)小明按照原计划购买口罩，正准备结账时，妈妈来电话说还需要购买消毒液和洗手液共5瓶，三种物品购买总价不超过250元，现已知消毒液标价每瓶25元，洗手液标价每瓶35元，那么小明最多可购买洗手液多少瓶？
22．阅读理解：
求不等式的解集．
解：根据“同号两数相乘除，积为正”可得：①或②．
解①得；解②得．
∴不等式的解集为或．
请你仿照上述方法解决下列问题：
(1)求不等式的解集．
(2)求不等式的解集．
23．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
(1)在不等式①；②；③；④中，不等式的“云不等式”是____________．（填序号）
(2)若，若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．
24．定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”．
例如：不等式组：是：的“子集”．
(1)若不等式组：：，：，则其中______不等式组是不等式组：的“子集”填或；
(2)若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是______；
(3)已知，，，为不互相等的整数，其中，，下列三个不等式组：：，：，：满足：是的“子集”且是的“子集”，求的值．
25．已知：如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：对于数轴上任意一点Q，如果在线段上存在点P，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为线段的连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为线段的连动整数．
(1)，0是线段的连动数的是_____；
(2)当不等式组的解集恰好有线段的3个连动整数时，a的取值范围是_____．
26．若一元一次不等式（组）①的解都是一元一次不等式（组）②的解，则称一元一次不等式（组）②是一元一次不等式（组）①的覆盖不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的覆盖不等式．根据以上信息，回答问题：
(1)请你判断：不等式_______不等式的覆盖不等式（填“是”或者“不是”）；
(2)若关于x的不等式是的覆盖不等式，且也是关于x的不等式的覆盖不等式，求a的值；
(3)若关于x的不等式组是关于x的不等式组的覆盖不等式，求出m的取值范围．
27．对于数轴上两条线段，给出如下定义：若线段的中点H与线段上点的最小距离不超过1，则称线段是线段的“限中距线段”．
已知：如图，在数轴上点P，M，N表示的数分别为，1，2．
(1)设点Q表示的数为m，若线段是线段的“限中距线段”，
①m的值可以是_________；
A．1 B．6 C．14
②m的最大值是_________；
(2)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．
当时，若线段的“限中距线段”的长度恰好与的值相等，求出的中点H所表示的数；
(3)点P从出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时线段以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．若对于线段上任意一点Q，都有线段是线段的“限中距线段”，则t的最小值为_________，最大值为_________．
28．若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“友好代数式”．例如：关于x的代数式，当时，代数式在时有最大值，最大值为1；在x=0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在（含端点）这个范围内，则称代数式是的“友好代数式”．
(1)若关于x的代数式，当时，取得的最大值为________；最小值为________；代数式________（填“是”或“不是”）的“友好代数式”；
(2)若关于x的代数式是的“友好代数式”，则m的值是________；
(3)若关于x的代数式是的“友好代数式”，求a的最大值和最小值．
答案
一、单选题
1．D
【分析】利用不等式的性质对A，B，C选项进行判断，再利用举反例的方法判断D即可．
【解析】解： ，
∴，故A不符合题意；
，
∴，故B不符合题意；
，
∴，故C不符合题意；
，令
则 故D符合题意；
故选D
2．B
【分析】根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是1，对各选项判断再计算个数即可
【解析】根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，所含未知数相同，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组．③含有一个未知数，但是未知数的最高次数是2；⑤含有两个未知数，所以③⑤不是一元一次不等式组
故选B
3．B
【分析】先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可求解．
【解析】解：解不等式得到：，
正整数解为，，，
，
解得．
故选：．
4．A
【解析】解：去括号得，3mx+3m+5=3m mx 5x，
移项得，3mx+mx+5x=3m 3m 5，
合并同类项得,(4m+5)x= 5，
系数化为1,得
∵方程3m(x+1)+1=m(3 x) 5x的解是负数，
∴
∴4m+5>0，
解得
故选A.
5．B
【分析】首先表示出5件货物的平均价格为元，而以每件元的价格把货物全部卖掉，结果赔了钱，所以有＞，继而得出a和b的关系．
【解析】解：∵5件货物的平均价格为 元，
∵以每件元的价格把货物全部卖掉，结果赔了钱，
∴ ＞，
解得：a＞b，
故选：B．
6．B
【分析】需分类计论，设入园次数为x次，则购A类票所需费用为120元；购B类票所需费用为（60+2x）元；购C类票所需费用为（40+3x）元，通过计算分别算出当x为多少时哪种购票方式更合算，再对选项逐一判断即可．
【解析】解：设入园次数为x次，则购A类票所需费用为120元；购B类票所需费用为（60+2x）元；购C类票所需费用为（40+3x）元，则依题意得：
①当（60+2x）>120时，即x>30时，选A种购票方式更合算；
②当x=30时，A，B两种购票方式一样；
③当（40+3x）>60+2x且（60+2x）>120时，即30>x>20时，选B种购票方式更合算；
④当x=20时，B，C两种购票方式一样；
⑤当（40+3x）<60+2x时，即x<20时，选C种购票方式更合算；
所以，如果小军的年入园需求可能是25次，那么小军应选B种购票方式更合算，而题中已知小军选的是C种购票方式，故A错误；
因为小华选了A种购票方式，故小华的入园次数最多并且应多于30次，故B选项正确，C选项错误；
小华的入园次数一定大于或等于30次，而小军的入园次一定小于等于20次，故小华的入园次数一定大于小军的入园次数，故D选项错误．
故选B．
7．C
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据各结论中a的取值情况逐一判断即可．
【解析】解：由x﹣1＞0得x＞1，
由x﹣a≤0得x≤a，
①如果它的解集是1＜x≤4，那么a＝4，此结论正确；
②当a＝1时，它无解，此结论正确；
③如果它的整数解只有2，3，4，那么4≤a＜5，此结论正确；
④如果它有解，那么a＞1，此结论错误；
故选：C．
8．D
【分析】设，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解．
【解析】解：设，
则x=2t+1，y=2-3t，
∵x≥0，y≥0，
∴2t+1≥0，2-3t≥0，
解得
∴
∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11，
∴
解得，7≤w≤14，
∴w的最大值是14，最小值是7，
∴m+n=14+7=21．
故选：D．
9．B
【分析】①分三种情况：；进行讨论即可求解；②③根据定义即可求解，④先求得[x]的值，确定x的整数部分和小数部分，分两种情况可得[x]的值，代入方程可得方程的解．
【解析】解：①当时，；
当时，；
当时，；
故当时，的值为或0；
故①错误；
②设，则，
，故②正确；
③根据定义可知，a的整数部分为[a]，小数部分为a-[a]，
则，
解得a﹣1＜[a]≤a，正确；
④3x﹣2[x]+1＝0，
则，
∴x的整数部分为，小数部分为，
解得，
当时，，
，
解得，
当时，，
，
解得，
或是方程3x﹣2[x]+1＝0的解，
故④不正确，
故正确的有②③．
故选B．
10．B
【分析】先根据数轴的定义求出的值，再归纳总结出一般规律，然后根据“点与原点的距离不小于30”列出不等式求解即可．
【解析】由题意得：表示的数为，点与原点的距离为
表示的数为，点与原点的距离为
表示的数为，点与原点的距离为
表示的数为，点与原点的距离为
表示的数为，点与原点的距离为
归纳类推得：当移动次数为奇数时，点与原点的距离；当移动次数为偶数时，点与原点的距离为（其中，n表示移动次数，n为正整数）
（1）当移动次数为奇数时
由题意得：
解得
则此时n的最小值为
（2）当移动次数为偶数时
由题意得：
解得
则此时n的最小值为
综上，n的最小值为
故选：B．
二、填空题
11．③④
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解析】①若，当时不等式不成立，不符合题意；
②若，当时不等式不成立，不符合题意；
③若，则，符合题意；
④若，则，符合题意；
⑤，当时不等式不成立，不符合题意；
故答案为：③④．
12．或
【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为﹣12，可以确定整数解为﹣5，﹣4，﹣3或﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，再根据解集确定m的取值范围．
【解析】解：解不等式组得：﹣5≤x＜m，
∵所有整数解的和是﹣12，
∴不等式组的整数解为﹣5，﹣4，﹣3或﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
∴﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3；
故答案为：﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．
13．
【分析】把方程去掉绝对值后，由绝对值的非负性可得有解，解不等式求解即可．
【解析】解：由题可得，
即，
因为方程有解，
所以或
解得：．
14．
【分析】首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=-a．
【解析】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解不等式组得：；
（1）当时，，
当时有最小值，
当时有最大值5；
（2）当时，，
∴当时的值恒等于5（最大值）；
∴最大值与最小值的差是.
故答案为：.
15．x10
【分析】根据第一次运算结果大于28就停止，列出关于x的一元一次不等式求解即可．
【解析】解：由题意可得：3x-228，解得：x10．
故答案为：x10．
16．12
【分析】先把作为常数，解不等式得x≤8-2y，根据，是正整数，得，求出的正整数值，再分情况进行讨论即可．
【解析】解：x+2y≤8，
x≤8-2y，
，是正整数，
，
解得，即只能取1，2，3，
当时，0正整数解为：，，，，，，
当时，0正整数解为：，，，，
当时，，
正整数解为：，；
综上，它的正整数解有12个．
故答案为：12．
17．
【分析】设巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，根据全天总销量超过250袋且不足350袋，这天薯片的销售额为1344元，列出不等式组和方程，求解出的值，最后计算全天的利润即可．
【解析】由题意得，
设巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，
设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，
则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，
∵全天总销量超过250袋且不足350袋，这天薯片的销售额为1344元，
∴，
解得，
∴巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，
设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，
则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，
∴全天的利润为
（元），
故答案为：．
18．
【分析】分0＜x＜1和x≥1两种情况，由得到关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值范围．
【解析】解：①若0＜x＜1，
由得，
解1-x＞4，得：x＜-3，与0＜x＜1不符，舍去；
②若x≥1，
由得，
解得，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴8≤m-1＜9，
解得9≤m＜10，
故答案为：9≤m＜10．
三、解答题
19．（1）解：，
∴，即，
解得；
（2）解：，
去分母得，
去括号得，
移项合并得，
解得；
（3）解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组无解；
（4）解：，
∴，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：．
20．（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
当时，，
∴不等式组的解集为；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
当时，，
∴不等式组无解；
（3）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式有解，但没有整数解，
∴，
∴．
21．（1）解：设小明原计划购买袋口罩，根据题意，
，解得
答：小明原计划购买10袋口罩．
（2）设小明可购买洗手液瓶，则消毒液为瓶，
由题意可得：
解得
即的最大值为2
答：小明最多可购买洗手液2瓶．
22．（1）解：根据“异号两数相除，积为负”可得
①，或②．
解②，得无解．解①，得，
∴不等式的解集为：；
（2）解：根据“同号两数相除，商为正”可得
①，或②．
解①，得．解②，得，
∴不等式的解集为或．
23．（1）解：①的解集为；
②；
③的解集为；
④的解集为，
不等式的解集为，
∴①与有公共解，故①是不等式的“云不等式”；
②与没有公共解，故②不是不等式的“云不等式”；
③与没有公共解，故③不是不等式的“云不等式”；
④与没有公共解，故④不是不等式的“云不等式”；
故答案为：①；
（2）解：①当时，即时，
依题意有，即，
故；
②当时，即时，始终符合题意，故；
综上，a的取值范围为或．
24．
（1）
解：：的解集为，：的解集为，：的解集为，
则不等式组是不等式组的子集，
故答案为：；
（2）
关于的不等式组是不等式组的“子集”，
，
故答案为：；
（3）
，，，为互不相等的整数，其中，，
：，：，：满足：是的“子集”且是的“子集”，
，，，，
则，
25．（1）解：∵点P是线段上一动点，点A、点B对应的数分别是，1，
又∵，
设对应的数为，
∴连动数Q的范围为：或，
∴是线段的连动数，
故答案为：；
（2）解：解不等式组，
解得解集为，
∵解集恰好有线段的3个连动整数，
∴3个连动整数解为，，1，
∴，
∴，
故答案为：．
26．
（1）
解：∵不等式的解都是不等式的解，
∴不等式是不等式的覆盖不等式．
故答案为：是．
（2）
解：∵关于x的不等式是的覆盖不等式，也是关于x的不等式的覆盖不等式，
∴，
解得：．
（3）
解：解不等式组得：，
解不等式组得：，
∵关于x的不等式组是关于x的不等式组的覆盖不等式，
∴，
解得：．
27．（1）解：表示的数是，表示的数是，
的中点表示的数是，
根据题意得，
，
①由可知，当时，线段是线段的“限中距线段”，
故答案为：B；
②由可知，线段是线段的“限中距线段“，的最大值为12，
故答案为：12；
（2）设表示的数是，根据题意知表示的数是，
的中点所表示的数是，
线段的“限中距线段” 的长度恰好与的值相等，且，
，
，
，
的中点所表示的数是；
（3）根据题意，表示的数是，表示的数是，表示的数是，
设表示的数是，则，
线段是线段的“限中距线段”，
，
解得，
由得，
由得，
，
最小值为，最大值为，
故答案为：，．
28．（1）∵
∴当时，有最大值，最大值为3；当时，有最小值，最小值为0
∴，
故代数式不是的“友好代数式”．
（2）①∵当时，有最大值，最大值为3；当时，有最小值，最小值为-1，
∴，
∴不是的“友好代数式”．
②∵当时，有最大值，最大值为2；当时，有最小值，最小值为-2，
∴，
∴是的“友好代数式”．
③∵当时，有最大值，最大值为2；当时，有最小值，最小值为-4，
∴，
∴不是的“友好代数式”．
故是的“友好代数式”的是②．
（3）在|x-1|+|x-3|中，
当 0≤x≤1时，x=0时有最大值为4，x=1时有最小值为2，
所以2≤|x-1|+|x-3|≤4，
当 0≤x≤3时，x=0时有最大值为4，1≤x≤3时，有最小值2，
所以2≤|x-1|+|x-3|≤4，
当 0≤x≤4时，x=0或4时有最大值为4，1≤x≤3时，有最小值2，所以2≤|x-1|+|x-3|≤4，
而当x＞4时，|x-1|+|x-3|=2x-4，但是x每增加1，2x-4增加2，此时2x-4的范围就不在x变化的范围之 内．也就不一定为|x-1|+|x-3|的“友好代数式”了．
综上所述对于代数式|x-1|+|x-3|是0≤x≤m的“友好代数式”， m的值是4．
（4）∵关于的代数式是的“友好代数式”
∴分以下三种情况进行讨论
①
当时，有最大值，最大值为；当时，有最小值，最小值为，
∴
解得
②
∵
∴时成立
③
当时，有最大值，最大值为；当时，有最小值，最小值为，
∴
无解
∴
∴的最大值为4和最小值为0．
【点睛】本题考查了友好代数式的问题，掌握友好代数式的性质以及解不等式组的方法是解题的关键．