仁寿一中北校区 2022级高二数学 5月考试试题答案
本试卷满分 150分 考试时间 120分钟
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
1. 2曲线 y 3x 在点 ( 1,3) 处的切线的方程为（ ）B
A. 3x y 3 0 B. 6x y 3 0 C. 6x y 3 0 D. x 6y 3 0
2. (2 x)6 2的展开式中， x 的系数是（ ）C
A. 160 B. -160 C. 240 D. -220
3.有 5 名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（ ）A
A. A2 3 2 3 1 4 2 43 A3 种 B. 2A4 A3 种 C.C3A4 种 D.C4 A4 种
4.函数 f (x) ln x 在 (a, ) 上单调递减，则实数 a的取值范围为（ ）B
x
A. (0,e) B.[e, ) C.[0,e 1] D. (0,e 1)
5.已知随机变量 X N 0, 2 ，且 P X 0, 2 0.02，则 P 0,2 X 0,2 （ D ）
A．0.04 B．0.48 C．0.5 D．0.96
3
6. 在 ( x)n (n N*)3 的展开式中，所有的二项式系数之和为 32，则所有项的系数和为x
（ ）A
A. 32 B. -32 C. 0 D. 1
7. 概率论起源于博弈游戏 17 世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲 乙两
人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金 150 枚金币，先赢
3 局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了 2 局，乙赢了 1 局．这 300 枚
金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出
了赌金分配方案．该分配方案是（ ）B
A.甲 150 枚，乙 150 枚 B.甲 225 枚，乙 75 枚
C.甲 200 枚，乙 100 枚 D.甲 240 枚，乙 60 枚
1
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8. 函数 y f x 的导数 y f x 仍是 x的函数，通常把导函数 y f x 的导数叫做函
数 y f x 的二阶导数，记作 y f x ．类似的，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶
导数的导数叫做四阶导数…．一般地，n-1 阶导数的导数叫做 n阶导数，函数 y f x 的
n y f n
n
阶导数记作 x ，例如 y ex 的 n阶导数 ex ex．若 f x xex sin x，则
f 2024 0 （ ）C
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
二、多选题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分.）
9.有甲、乙等 4 名同学，则下列说法正确的是（ ）AD
A.4 人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为 12 种
B.4 人站成一排，甲、乙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为 24 种
C.4 名同学分成两组分别到 A、B 两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，
则不同的安排方法有 20 种
D.4 名同学分成两组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙在
一起，则不同的安排方法有 6 种
10. 已知函数 f (x)的导数为 f (x) ,若存在 x0 ,使得 f x 0 f x0 ,则称 x0 是 f (x)的一个
“巧值点”,则下列函数中有“巧值点”的是（ ）ABC
A. f (x) x2 B. f (x) 1 C. f (x) ln x D. f (x) tan x
x
x2 x 1
11.已知函数 f (x) x ，则下列结论正确的是（ ）CDe
A.函数 f (x) 存在三个不同的零点
5
B.函数 f (x) 的极大值为 f ( 1) e ，极小值为 f (2)
e2
C.若 x [t, 5 ) 时， f (x)max 2 ，则 t的最大值为 2e
5
D. 若方程 f (x) k 有两个实根，则 k ( e,0]
e2
2
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三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
a a a
12.若 (1 2x)2022 a0 a1x a2x
2 a x20222022 ，a0
1 22
2022
2022 _____．02 2 2
13.已知随机变量 X ~ B 4, p ， E X 4 32 ，则D 2X 1 ．
3 9
14. f x a x若函数 (a 0，a 1)与 g x x2 的图像在实数集R 上有且只有3个交点，
2 2
则实数 a的取值范围为 ． e e ,1 1,e e
四、解答题（本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
15．某高校实行提前自主招生，老师从 6 个不同的试题中随机抽取 4 个让学生作答，至少答
对 3 个才能通过初试，已知某学生能答对这 6 个试题中的 4 个．
（1）求该学生能通过自主招生初试的概率；
（2）若该学生答对的题数为 X ，求 X 的分布列以及数学期望．
C3C1 C4 3
解：（1）该学生通过自主招生初试的概率 P 4 24
4 ，
C6 C
4
6 5
C2 2
（ 2）该学生答对题的数量 X 的可能取值为 2， 3， 4，则 P X 2 4 ，
C46 5
3 1 4
P X 3 C 4C2 84 ， P X 4
C4 1 ，
C6 15 C
4
6 15
所以 X 的概率分布列为
X 2 3 4
2 8 1
P
5 15 15
E X 8 ．
3
16 3 2．已知函数 f (x) x 6x 9x 2 .
（1）求函数 f (x) 在 x 2 处的切线方程；（2）求函数 f (x) 的单调区间和极值．
【详解】（1）函数 f (x) x3 6x2 9x 2 的定义域为R .导函数 f'(x) 3x2 12x 9 .
所以 f'(2) 12 24 9 3 ， f (2) 23 6 22 9 2 2 0 ，
所以函数 f (x) 在点 x 2 处的切线方程为 y 3(x 2)，即 y 3x 6 .
3
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（2）令 f'(x) 0 ，解得： x 1或 x 3 .列表得：
x ( ,1) 1 (1,3) 3 (3, )
f'(x) + 2 - -2 +
f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数 f (x) 的单调增区间为 ( ,1)， (3, ) ；单调减区间为 (1,3)； f (x) 的极大值为
f (1) 2 3，极小值为 f (3) 3 6 32 9 3 2 2 .
17．某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，
要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备
参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率
4 3 2 1
分别是 、 ，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是 、 2 ，且每名同学所有轮次比5 4 3
赛的结果互不影响.
（1）若该班获得决赛资格的同学个数为 X，求 X的分布列和数学期望；
（2）已知甲和乙都获得了决赛资格. 决赛的规则如下：将问题放入 A，B两个纸箱中，A箱
中有 3 道选择题和 3 道填空题，B箱中有 4 道选择题和 4 道填空题. 决赛中要求每位参赛同
学在 A，B两个纸箱中随机抽取两题作答. 甲先从 A箱中依次抽取 2 道题目，答题结束后将
题目一起放入 B箱中，然后乙再从 B箱中抽取题目.
①求乙从 B箱中抽取的第一题是选择题的概率；
②已知乙从 B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从 A箱中抽出的是 2 道选择题的概率.
4 3 3
【小问 1 详解】甲获得决赛资格的概率 P1 ，乙获得决赛资格的概率5 4 5
P 2 1 12 .由题意得 X 0,1, 2， P X
3
0 1 1 1 4
3 2 3 5
；
3 15
P X 1 3 1 3 1 8 1 3 1 3 5 3 5 1 ； P X 2 . 3 15 5 3 15
X 的分布列为：
X 0 1 2
4 8 3
P
15 15 15
4
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E(X ) 0 4 1 8 2 3 14 .
15 15 15 15
【小问 2 详解】设事件 Ai “甲取到 i道选择题”， i 0,1, 2；事件 B “乙取到第一题是选
C23 3 C
1C1 23 3 9
择题”.P A0 2 ， P A1 2 ， P A2
C 3
3
C 15 C 15 C2
.
6 6 6 15
C1 4 C1 5 C1P B A 40 1 ， P B A1 5
6
1 ，P B A2 6 .C 110 10 C10 10 C10 10
①由全概率公式可得： P B P A0 P B A0 P A1 P B A1 P A2 P B A2 1 .2
P A2B P A2 P B A2 6
②由条件概率公式和乘法公式可得： P A2 B .P B P B 25
18.已知函数 f (x) x e x 1 ax 2 .
（1）若 f (x) 在 x 1时有极值，求函数 f (x) 的解析式；
（2）当 x 0时， f (x) 0，求 a的取值范围.
解：（1）因为 f (x) x e x 1 ax 2 x x，所以 f'(x) e 1 x e 2ax
由 f (x) 在 x 1处取极值，得 f'( 1) 0 a 1 x 1 2，求得 ，所以 f (x) x e 1 x .2 2
（2）法一： f (x) x e x 1 ax ，令 g(x) e x 1 ax x，则 g'(x) e a .
若 a 1，则当 x (0, ) 时， g'(x) 0 ， g(x) 为减函数，而 g(0) 0 ，
从而当 x 0时， g(x) 0，即 f (x) 0，
若 a 1，则当 x (0, ln a) 时， g'(x) 0 ， g(x) 为减函数，而 g(0) 0 ，
从而当 x (0, ln a) 时， g(x) 0，即 f (x) 0，综上， a的取值范围为 ( ,1]
法二：当 x 0时， f (x) 0 x ex，即 1 ax 2 .
①当 x 0时， a R ；
x
x 0 x ex 1 ax 2 ex 1 ax a e 1②当 时， 等价于 ，也即 .x
x x
记 g(x) e 1 (x 1)e 1 ， x (0, ) ，则 g'(x) .
x x
5
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记 h(x) (x 1)e x 1， x (0, ) ，则 h'(x) xe x 0 ，
h(x) (x 1)e x因此 1在 (0, )上单调递增，且 h(x) h(0) 0 ，所以 g'(x) h(x) 0；
x
g(x) e
x 1 ex 1
从而 在 (0, )上单调递增，所以 a lim .
x x 0 x
ex 1 ex
由洛必达法则有： lim g(x) lim lim 1，
x 0 x 0 x x 0 1
即当 x 0时， g(x) 1，所以 g(x) 1，即有 a 1.
综上所述，当 a 1， x 0时， f (x) 0成立.
法三： f (x) x e x 1 ax 2 x e x 1 ax ，
因 x 0，所以记 g(x) e x 1 ax ，所以 g'(x) e x a .
因 x 0，所以 g'(x)在[0, ) 单调递增，所以 '( ) '(0) 1 a . g x g
①1 a 0，即 a 1时，有 g'(x) 0 ，所以 g(x) 在[0, ) 单调递增，
所以 g(x) g(0) 0 ，从而 f (x) xg(x) 0 ，符合题意.
②1 a 0，即 a 1时，令 g'(x) 0 ，则 x ln a，所以 g(x) 在 (0, ln a) ，(ln a, )
g(x) g(ln a) e ln a所以 min 1 a ln a 0 ，即
a ln a a 1(a 1) ln a 1 1 (a 1) 此时不符合题意.
a
19．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，
对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次
的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 f (x) x x(x 0) ，我们可以作变形：
f (x) x x
x
eln x ex ln x et (t x ln x)，所以 f (x) 可看作是由函数 f (t) et和 g(x) x ln x复
6
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合而成的，即 f (x) x x(x 0) 为初等函数，根据以上材料：
（1）求初等函数 f (x) x x(x 0) 极值点；
1
（2）求初等函数 h(x) x x (x 0)极值.
1 1
【答案】（1））极小值点为 x ，无极大值点；（2）极大值且为 e e ，无极小值.e
1 f x ex ln x f ' x ex ln x x ln x '【分析】（ ） ， ex ln x 1 ln x ，由此求得求得极值点.
（2）利用复合函数求导研究h x 的单调性，由此求得 h x 的极值.
1
【详解】（1）极小值点为 x ，无极大值点.
e
1 1 1
（2） h(x) x x eln x ln xx e x x 0 ，所以
1 '
' ln x
1
ln x 1 ln x
h x e x 1 ln x
e x
1 1 1 ln x
e x (1 ln x) ，
x x2 x2 x2
'
令 h x 0得 x e，当0 x e时， h ' x 0 ，此时函数 h(x) 单调递增；
当 x e '时， h x 0，此时函数 h(x) 单调递减.
1
所以 h(x) 有极大值且为 h(e) e e，无极小值。
7
{#{QQABbQiAoggIAJIAAAgCAwliCEEQkBCAAQgGRBAMIAABABFABAA=}#}仁寿一中北校区 2022 级高二数学 5 月考试试题
本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
1. y 3x2曲线 在点 ( 1,3) 处的切线的方程为（ ）
A. 3x y 3 0 B. 6x y 3 0 C. 6x y 3 0 D. x 6y 3 0
2. (2 x)6 2的展开式中， x 的系数是（ ）
A. 160 B. -160 C. 240 D. -220
3.有 5 名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（ ）
A. A2 3 2 3 1 4 2 43 A3 种 B. 2A4 A3 种 C.C3A4 种 D.C4 A4 种
ln x
4.函数 f (x) 在 (a, ) 上单调递减，则实数 a的取值范围为（ ）
x
A. (0,e) B.[e, ) C.[0,e 1] D. (0,e 1)
5.已知随机变量 X N 0, 2 ，且 P X 0.2 0.02，则P 0.2 X 0.2 （ ）
A. 0.04 B. 0.48 C. 0.5 D. 0.96
3
6. ( x)n (n N*在 )3 展开式中，所有二项式系数之和为 32，则所有项的系数和为（ ）x
A. 32 B. -32 C. 0 D. 1
7. 概率论起源于博弈游戏 17 世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两
人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金 150 枚金币，先赢
3 局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了 2 局，乙赢了 1 局．这 300 枚
金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出
了赌金分配方案．该分配方案是（ ）
A.甲 150 枚，乙 150 枚 B.甲 225 枚，乙 75 枚
C.甲 200 枚，乙 100 枚 D.甲 240 枚，乙 60 枚
1
{#{QQABbQiAoggIAJIAAAgCAwliCEEQkBCAAQgGRBAMIAABABFABAA=}#}
8. 函数 y f x 的导数 y f x 仍是 x的函数，通常把导函数 y f x 的导数叫做函
数 y f x 的二阶导数，记作 y f x ．类似的，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶
导数的导数叫做四阶导数…．一般地，n-1 阶导数的导数叫做 n阶导数，函数 y f x 的
n y f n 阶导数记作 nx ，例如 y ex x的 n阶导数 ex ex．若 f x xe sin x，则
f 2024 0 （ ）
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.）
9.有甲、乙等 4 名同学，则下列说法正确的是（ ）
A.4 人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为 12 种
B.4 人站成一排，甲、乙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为 24 种
C.4 名同学分成两组分别到 A、B 两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，
则不同的安排方法有 20 种
D.4 名同学分成两组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙在
一起，则不同的安排方法有 6 种
10. 已知函数 f (x)的导数为 f (x) ，若存在 x0 ，使得 f x0 f x0 ，则称 x0 是 f (x)的
一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ）
A. f (x) 1 x2 B. f (x) C. f (x) ln x D. f (x) tan x
x
2
f (x) x x 111.已知函数 x ，则下列结论正确的是（ ）e
A.函数 f (x) 存在三个不同的零点
5
B.函数 f (x) 的极大值为 f ( 1) e ，极小值为 f (2)
e2
C.若 x [t, ) 时， f (x) 5max 2 ，则 t的最大值为 2e
5
D. 若方程 f (x) k 有两个实根，则 k ( e,0] e2
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
2
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a
12.若 (1 2x)2022 a a x a x2 a x2022 a a，a 1 2 20220 1 2 2022 0 2 2022 ．2 2 2
13.已知随机变量 X ~ B 4, p ， E X 4 ，则D 2X 1 ．
3
14.若函数 f x a x (a 0，a 1) 2与 g x x 的图像在实数集R 上有且只有3个交点，
则实数 a的取值范围为 ．
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
15．某高校实行提前自主招生，老师从 6 个不同的试题中随机抽取 4 个让学生作答，至少答
对 3 个才能通过初试，已知某学生能答对这 6 个试题中的 4 个．
（1）求该学生能通过自主招生初试的概率；
（2）若该学生答对的题数为 X ，求 X 的分布列以及数学期望．
16．已知函数 f (x) x3 6x2 9x 2 ．
（1）求函数 f (x) 在 x 2 处的切线方程；（2）求函数 f (x) 的单调区间和极值．
17．某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行．初赛采用“两轮制”方式进行，
要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备
参与决赛的资格．高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概
4 3 2 1
率分别是 、 ，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是 、 ，且每名同学所有轮次比
5 4 3 2
赛的结果互不影响．
（1）若该班获得决赛资格的同学个数为 X，求 X的分布列和数学期望；
（2）已知甲和乙都获得了决赛资格．决赛的规则如下：将问题放入 A，B两个纸箱中，A
箱中有 3 道选择题和 3 道填空题，B箱中有 4 道选择题和 4 道填空题．决赛中要求每位参赛
3
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同学在 A，B两个纸箱中随机抽取两题作答．甲先从 A箱中依次抽取 2 道题目，答题结束后
将题目一起放入 B箱中，然后乙再从 B箱中抽取题目．
①求乙从 B箱中抽取的第一题是选择题的概率；
②已知乙从 B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从 A箱中抽出的是 2 道选择题的概率．
18.已知函数 f (x) x e x 1 ax 2 ．
（1）若 f (x) 在 x 1时有极值，求函数 f (x) 的解析式；
（2）当 x 0时， f (x) 0，求 a的取值范围．
19．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，
对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次
的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 f (x) x x(x 0) ，我们可以作变形：
f (x) x x eln x x ex ln x et (t x ln x)，所以 f (x) 可看作是由函数 f (t) et和 g(x) x ln x复
合而成的，即 f (x) x x(x 0) 为初等函数，根据以上材料：
1
（1）求初等函数 f (x) x x(x 0) 的极值点；（2）求初等函数 h(x) x x (x 0) 极值．
4
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