人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题8.6二元一次方程组(含解析)
文档属性
| 名称 | 人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题8.6二元一次方程组(含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 175.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-28 14:39:54 | ||
图片预览
文档简介
专题8.6 二元一次方程组（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知关于x、y的方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·七年级单元测试）关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·八年级课时练习）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的和为
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2022春·湖北黄石·七年级统考期末）“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．则求得的结果有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
6．（2022春·湖北宜昌·九年级专题练习）如表是德国足球甲级联赛某赛季的部分球队积分榜：
球队 比赛场次 胜场 负场 平场 积分
沃尔夫斯堡 34 21 7 6 69
斯图加特 34 20 7 7 67
柏林赫塔 34 8 64
规定：负一场积0分．观察后可知，柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是（ ）
A．18场 B．19场 C．20场 D．21场
7．（2022秋·八年级课时练习）A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（ ）
A．6 B．15 C．18 D．24
9．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若，则．
其中不正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为（ ）
（1），；
（2）若，，则；
（3）若，则、有且仅有3组整数解；
（4）若对任意有理数、都成立，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知关于，的方程组的解也是方程的解，则___________．
12．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c写错而解得，则a=_____，b=_____，c=_____．
13．（2022秋·浙江温州·七年级乐清外国语学校校考阶段练习）一个棱长为的立方体，把它切成个小立方体，小立方体的大小不必都相同，但棱长必须是整数，则棱长为的小立方体的个数为________．
14．（2023春·七年级单元测试）疫情期间，甲乙两位同学到超市采购食材，其中采购的面食有方便面、油泼面、挂面三种，每种面食的采购量均不超过10，但每种面食均有购买，其中方便面3元一袋，油泼面6元一袋，挂面8元一把，两个同学购买的方便面数量相同，而且甲同学比乙同学多购买了3把挂面，甲采购的面食一共花费71元，乙采购的面食一共花费了101元，则两个同学购买的挂面共有____________把．
15．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）甲、乙、丙、丁是四个不同平台的外卖员，每配送一单即可获得相应配送费且均为整数．已知乙每一单的配送费为甲的两倍，丁每一单的配送费为丙的两倍．12月第一周，甲、乙、丙的配送量之比为，丁的配送量为100单，且他们共获得配送费3700元．第二周配送量增加，甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的，丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的，此时甲、乙的配送量之和为丙的配送量的倍，丁的配送量增加60单，且他们共获得配送费7660元．若丁每单配送费高于4元且不超过8元，则第二周四位外卖员配送量之和为______单．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（8分）（2023春·全国·七年级专题练习）解下列二元一次方程组：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
17．（5分）（2023春·浙江杭州·七年级杭州育才中学校联考阶段练习）已知关于x ，y 的方程组．
（1）请写出方程 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求 m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m 的值．
18．（6分）（2022秋·全国·八年级专题练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
（1）若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
（2）若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
19．（6分）（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护，若医用口罩买个，洗手液买6瓶，则需元；若医口罩买个，洗手液买4瓶，则需元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）小明妈妈准备了元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个，医用口罩和口罩共个，购买洗手液b瓶，钱恰好全用完，小明的妈妈一共有几种购买方案？
20．（6分）（2022秋·八年级课时练习）有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案．
（2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进货方案．
21．（6分）（2022·全国·七年级假期作业）数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B．它们表示的数分别为－3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
（1）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
（2）若AM＝BN，，求m和n值．
22．（6分）（2022春·重庆万州·七年级统考期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
23．（6分）（2022·全国·七年级假期作业）阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
24．（6分）（2022秋·全国·八年级专题练习）数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
专题8.6 二元一次方程组（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
直接解方程，根据方程有正整数解，并且a为整数求出可能的取值，相加即可．
【解题过程】
解：，
则，
∴，
若，则不成立，
若，则，
∵有正整数解，
∴a的取值为0，，，，
∴，
故选D．
2．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知关于x、y的方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 （ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
方程组可化为，由方程组的解是即可求得方程组的解为.
【解题过程】
解：方程组可化为，
∵方程组的解是，
∴，
即方程组的解为.
故选B.
3．（2023春·七年级单元测试）关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组和，先计算不含参的二元一次方程组，得的值，然后代入含参的二元一次方程组，求的值，然后代入求解即可．
【解题过程】
解：∵两个方程组同解
∴可知关于x，y的两个方程组和有相同的解
解方程组
②①得
将代入①式得
解得
∴方程组的解为
将代入方程组得
解关于的方程组
③④得
解得
将代入③式得
解得
∴方程组的解为
∴
故选A．
4．（2022秋·八年级课时练习）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的和为
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拨】
根据题意，先推断出取最大值与最小值时的、、的值，再求的最大值与最小值的和．
【解题过程】
解：联立得方程组，
①②：得，，
①②得，，，
把，代入，整理得，，当取最小值时，有最小值，
、、是三个非负实数，
的最小值是0，
，
①②得到：，
，
是非负数，
时，有最大值3，
的最大值与最小值的和．
故选：A．
5．（2022春·湖北黄石·七年级统考期末）“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．则求得的结果有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【思路点拨】
设需要小圈舍x间，大圈舍y间，利用鹿的只数=4×小圈舍的间数+6×大圈舍的间数，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结果的个数．
【解题过程】
解：设需要小圈舍x间，大圈舍y间，
依题意得：4x+6y=40，
∴x=．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种结果．
故选：B．
6．（2022春·湖北宜昌·九年级专题练习）如表是德国足球甲级联赛某赛季的部分球队积分榜：
球队 比赛场次 胜场 负场 平场 积分
沃尔夫斯堡 34 21 7 6 69
斯图加特 34 20 7 7 67
柏林赫塔 34 8 64
规定：负一场积0分．观察后可知，柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是（ ）
A．18场 B．19场 C．20场 D．21场
【思路点拨】
现根据题意求出胜一场积3分，平一场积1分，再设柏林赫塔在这个赛季的胜场次数x场，根据胜场积分与平场积分的和=总积分列出方程，解方程即可．
【解题过程】
解：设球队胜一场积m分，平一场积n分，
由题意得：
，
解得：，
球队胜一场积3分，平一场积1分，
设柏林赫塔在这个赛季的胜场次数x场，则平（34-x-8）=（26-x）场，
根据题意得：3x+（26-x）=64，
解得：x=19，
∴柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是19，
故选：B．
7．（2022秋·八年级课时练习）A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【思路点拨】
首先设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果．
【解题过程】
解：设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，
由题意可得方程组：，
将代入②中得，消去x得：
即：
∵为正整数
∴的值分别为1，3，5，15，
∴y的值只能为4，5，6，11，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可得：n的值分别为8，3，2，1；
即n的可能值有4个．
故答案选：B．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（ ）
A．6 B．15 C．18 D．24
【思路点拨】
把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．列出关于a，b，c的方程，进行求解即可．
【解题过程】
解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；
D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；
其余三个圈所填的数位之和为c．
显然有…①，
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有②，
②﹣①，得③，
把，，每一边上三个圈中的数的和相加，则可得④，
联立③，④，解得，，
则．
故选：B．
9．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若，则．
其中不正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可判断；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
【解题过程】
解：将代入原方程组，得，
解得：．
将代入方程的左右两边，
得：左边，右边，即左边右边，
∴当时，方程组的解不是方程的解，故①错误，符合题意；
解原方程组，得，
∴，
∴无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意；
∵，
∴x、y为自然数的解有，，，，
∴x，y都为自然数的解有4对，故③正确，不符合题意；
∵，，
∴，
解得：，故④错误，符合题意．
综上所述：②③正确，①④错误．
故选B．
10．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为（ ）
（1），；
（2）若，，则；
（3）若，则、有且仅有3组整数解；
（4）若对任意有理数、都成立，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确．
【解题过程】
解：∵，，
∴，
解得，故（1）正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故（2）正确；
∵，
∴，
当时，则不成立，
∴，
∴，
∵m、n都是整数，
∴或或，
∴或或0或或或，
∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵对任意有理数、都成立，
∴，故（4）错误；
故选B．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知关于，的方程组的解也是方程的解，则___________．
【思路点拨】
首先应用加减消元法，求出关于，的方程组的解；然后根据即可求解．
【解题过程】
解：，
得：，
解得：，
把代入①得，，
，
，
整理得：，
解得：，
故答案为：．
12．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c写错而解得，则a=_____，b=_____，c=_____．
【思路点拨】
先把代入得 ，由方程组中第二个式子可得：c=-2，然后把解代入ax+by=-2即可得出答案．
【解题过程】
解：把代入，
得，解得，c=-2．
再把代入ax+by=-2，
得 ，
解得： ，
所以a=-2，b=-2，c=-2．
故答案为-2，-2，-2．
13．（2022秋·浙江温州·七年级乐清外国语学校校考阶段练习）一个棱长为的立方体，把它切成个小立方体，小立方体的大小不必都相同，但棱长必须是整数，则棱长为的小立方体的个数为________．
【思路点拨】
由小立方体的棱长以厘米作单位必须是整数，从最长棱长，开始分析，得出符合要求的答案．
【解题过程】
解：棱长为的立方体中的体积为，
若最大的立方体是一个棱长为的立方体，
则棱长为的立方体只有1个，则其余的只能切成棱长为1cm的立方体，
即棱长为的立方体的体积为，
则剩余的体积为：，
则可切成个棱长为的立方体，
此时正方体的总数为：，不符合要求；
若最大的立方体是一个棱长为的立方体，
则的立方体只有1个，则设y个棱长为的立方体，z个棱长为的立方体，
根据题意有：，
解得：，
则有9个棱长为的立方体，26个棱长为的立方体；
若最大的立方体是一个棱长为的立方体，
设y个棱长为的立方体，z个棱长为，
根据题意有：，
解得：，
方程组的解不为整数，不符合题意，舍去；
综上：有26个棱长为正方体，
故答案为：26．
14．（2023春·七年级单元测试）疫情期间，甲乙两位同学到超市采购食材，其中采购的面食有方便面、油泼面、挂面三种，每种面食的采购量均不超过10，但每种面食均有购买，其中方便面3元一袋，油泼面6元一袋，挂面8元一把，两个同学购买的方便面数量相同，而且甲同学比乙同学多购买了3把挂面，甲采购的面食一共花费71元，乙采购的面食一共花费了101元，则两个同学购买的挂面共有____________把．
【思路点拨】
设甲同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、y、z，则乙同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、m、；根据题意可列出方程组，再运用加减消元法可得，然后根据题意确定m、y的值；再将m、y的值代入②得到，然后讨论x的值求得z，最后列出两同学购买挂面把数的代数式并将z的值代入计算即可．
【解题过程】
解：设甲同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、y、z，则乙同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、m、
由题意可得: ，即
由②-①得：
当，，符合题意；
当，，不符合题意
同理：，不符合题意；
当、时，由②可得（且为整数）
当，，不符合题意；
当，，不符合题意；
当，，符合题意；
经计算均不符合题意
所以两个同学购买的挂面．
故答案为11．
15．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）甲、乙、丙、丁是四个不同平台的外卖员，每配送一单即可获得相应配送费且均为整数．已知乙每一单的配送费为甲的两倍，丁每一单的配送费为丙的两倍．12月第一周，甲、乙、丙的配送量之比为，丁的配送量为100单，且他们共获得配送费3700元．第二周配送量增加，甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的，丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的，此时甲、乙的配送量之和为丙的配送量的倍，丁的配送量增加60单，且他们共获得配送费7660元．若丁每单配送费高于4元且不超过8元，则第二周四位外卖员配送量之和为______单．
【思路点拨】
设甲每一单的配送费为元，则乙每一单的配送费为元，丙每一单的配送费为元，则丁每一单的配送费为元，设甲的配送量为单，乙的配送量为单，丙的配送量为单，根据题意可得①，设第二周乙的配送量为单，丙的配送量为单，则甲第二周的配送量为单，由题意可得，整理得，，再由，整理得，，根据第二周的配送费可得②，联立①②可得，由题意可得，配送费且均为整数，求出或，当时，，解得（舍；当时，，解得，则第二周四位外卖员配送量之和为（单．
【解题过程】
解：设甲每一单的配送费为元，则乙每一单的配送费为元，丙每一单的配送费为元，则丁每一单的配送费为元，
第一周，甲、乙、丙的配送量之比为，
设甲的配送量为单，乙的配送量为单，丙的配送量为单，
，
①，
设第二周乙的配送量为单，丙的配送量为单，
甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的，
甲增大的配送量为单，则甲第二周的配送量为单，
丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的，
，
整理得，，
甲、乙的配送量之和为丙的配送量的倍，
，
整理得，，
第二周丙的配送量为单，甲的配送量为单，
他们共获得配送费7660元，
，
整理得，②，
联立①②可得，
丁每单配送费高于4元且不超过8元，
，
，
配送费且均为整数，
或，
当时，，解得（舍；
当时，，解得，
第二周四位外卖员配送量之和为：（单，
故答案为：1233．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（8分）（2023春·全国·七年级专题练习）解下列二元一次方程组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路点拨】
（1）利用加减消元法进行计算即可；
（2）利用加减消元法进行计算即可；
（3）先利用去分母把方程组化简，再利用加减消元法进行计算即可；
（4）由①②可得，再由③②得：，然后解二元一次方程，即可求出x、y．再代入求出z．
【解题过程】
（1）解：，
由可得：，
把代入②可得：，
所以原方程组的解为：．
（2）解：原方程组整理得：，
由可得：，解得：，
把代入①得：，
所以原方程组的解为：．
（3）解：，
得：③，
得：④，
得：，
解得：，
把代入①得：
解得：，
故原方程组的解是．
（4）解：，
由①②得：④，
由③②得：⑤，
由④⑤组成方程组得：，
把，代入①得：，解得：．
原方程组的解为．
17．（5分）（2023春·浙江杭州·七年级杭州育才中学校联考阶段练习）已知关于x ，y 的方程组．
（1）请写出方程 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求 m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m 的值．
【思路点拨】
（1）对x、y分别赋值讨论即可；
（2）用代入法求二元一次方程组的解即可；
（3）用加减消元法求出方程组的解，由题意可得或或，再将满足条件的m的值进行验证即可．
【解题过程】
（1）解：方程 的所有正整数解为：或；
（2）解：，
，即，
将③代入①得，，，
将，代入②得，；
（3）解；，
由得：，得，
将代入①得，，
∵方程组有正整数解，则或或，
或或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述，m的值为或2．
18．（6分）（2022秋·全国·八年级专题练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
（1）若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
（2）若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
【思路点拨】
（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．
【解题过程】
（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得：，
解得：；
即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时
∴由题意得：
解得：；
∴甲车前一半的时间为：，
由于，则乙h时行的路程为：，
∵，
∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为：，
则离A地的路程为：．
即：两车相遇时，离A地．
19．（6分）（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护，若医用口罩买个，洗手液买6瓶，则需元；若医口罩买个，洗手液买4瓶，则需元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）小明妈妈准备了元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个，医用口罩和口罩共个，购买洗手液b瓶，钱恰好全用完，小明的妈妈一共有几种购买方案？
【思路点拨】
（1）设医用口罩和洗手液的单价分别为x元和y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）根据题意有：医用口罩的数量为个，即有：，即有：，根据，，a，b为正整数，可得，且是3的倍数，即有是可以为3、6、9，问题随之得解．
【解题过程】
解：（1）设医用口罩和洗手液的单价分别为x元和y元，
根据题意，有：，
解得：，
即：医用口罩和洗手液的单价分别为元和元；
（2）根据题意有：医用口罩的数量为个，
即有：，
即有：，
∵a，b为正整数，
∴是3的倍数，
∴是3的倍数，
∴是可以为3、6、9，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
即小明的妈妈一共有3种购买方案，
第一种方案：购买医用口罩个，购买口罩个，购买洗手液瓶；
第二种方案：购买医用口罩个，购买口罩个，购买洗手液瓶；
第一种方案：购买医用口罩个，购买口罩个，购买洗手液瓶．
20．（6分）（2022秋·八年级课时练习）有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案．
（2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进货方案．
【思路点拨】
设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台．（1）因为商场同时要购进两种不同型号电视机，所以分三种情况讨论：甲乙组合，甲丙组合，乙丙组合．设未知数，根据等量关系：台数相加=60，钱数相加=70000，列方程组解答即可；
（2）由题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，继而根据电视机的台数为正整数进行求解即可．
【解题过程】
解：设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台．
（1）①若选甲、乙两种型号，则，
解得 ，
② 若选甲、丙两种型号，则，
解得 ，
③若选乙、丙两种型号，则，
解得 ，不合题意，舍去．
答：若商场同时购进其中两种不同型号的电视机，有两种进货方案：①甲：40，乙：20；②甲：56，丙：4；
（2）根据题意得，
∵x、y、z均为正整数，
∴方程组的正整数解有四组，
或或或，
综上所述，共有四种进货方案：
方案一：应进货甲型号电视机41台，乙型号电视机5台，丙型号电视机4台；
方案二：应进货甲型号电视机37台，乙型号电视机10台，丙型号电视机3台；
方案一：应进货甲型号电视机33台，乙型号电视机15台，丙型号电视机2台；
方案一：应进货甲型号电视机29台，乙型号电视机20台，丙型号电视机1台．
21．（6分）（2022·全国·七年级假期作业）数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B．它们表示的数分别为－3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
（1）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
（2）若AM＝BN，，求m和n值．
【思路点拨】
（1）分三种情况：①当M是A，N的中点时；②当A是M、N的中点时；③当N是M、A的中点时分别进行求解；
（2）根据AM＝BN，可得，再根据，可得，二者组成方程组即可求解．
【解题过程】
（1）解：①当M是A，N的中点时，
∴n＝2m＋3
②当A是M、N的中点时，
∴n＝－6－m
③当N是M、A的中点时，．
（2）解：∵AM＝BN，
∴，
∵，
∴
∴或或或，
解得或或或
∵ ，
∴或或．
22．（6分）（2022春·重庆万州·七年级统考期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【思路点拨】
（1）把左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，得出a和b的方程组求解；
（2）设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，然后按照小华的解法解答即可．
【解题过程】
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
23．（6分）（2022·全国·七年级假期作业）阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
【思路点拨】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．
【解题过程】
解：（1）选择甲，，
①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，
解得：m＝，
②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，
解得：n＝，
代入m+n＝3得：＝3，
去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，
移项合并得：7k＝21，
解得：k＝3；
选择乙，
，
①+②得：5m+5n＝7k﹣6，
解得：m+n＝，
代入m+n＝3得：＝3，
去分母得：7k﹣6＝15，
解得：k＝3；
选择丙，
联立得：，
①×3﹣②得：m＝11，
把m＝11代入①得：n＝﹣8，
代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，
解得：k＝3；
（2）根据题意得：，
解得：，
检验符合题意，
则a和b的值分别为2，5．
24．（6分）（2022秋·全国·八年级专题练习）数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
【思路点拨】
（1）设，，即可得，解方程组即可求解；
（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；
（3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．
【解题过程】
解：（1）设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
（3）设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知关于x、y的方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·七年级单元测试）关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·八年级课时练习）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的和为
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2022春·湖北黄石·七年级统考期末）“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．则求得的结果有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
6．（2022春·湖北宜昌·九年级专题练习）如表是德国足球甲级联赛某赛季的部分球队积分榜：
球队 比赛场次 胜场 负场 平场 积分
沃尔夫斯堡 34 21 7 6 69
斯图加特 34 20 7 7 67
柏林赫塔 34 8 64
规定：负一场积0分．观察后可知，柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是（ ）
A．18场 B．19场 C．20场 D．21场
7．（2022秋·八年级课时练习）A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（ ）
A．6 B．15 C．18 D．24
9．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若，则．
其中不正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为（ ）
（1），；
（2）若，，则；
（3）若，则、有且仅有3组整数解；
（4）若对任意有理数、都成立，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知关于，的方程组的解也是方程的解，则___________．
12．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c写错而解得，则a=_____，b=_____，c=_____．
13．（2022秋·浙江温州·七年级乐清外国语学校校考阶段练习）一个棱长为的立方体，把它切成个小立方体，小立方体的大小不必都相同，但棱长必须是整数，则棱长为的小立方体的个数为________．
14．（2023春·七年级单元测试）疫情期间，甲乙两位同学到超市采购食材，其中采购的面食有方便面、油泼面、挂面三种，每种面食的采购量均不超过10，但每种面食均有购买，其中方便面3元一袋，油泼面6元一袋，挂面8元一把，两个同学购买的方便面数量相同，而且甲同学比乙同学多购买了3把挂面，甲采购的面食一共花费71元，乙采购的面食一共花费了101元，则两个同学购买的挂面共有____________把．
15．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）甲、乙、丙、丁是四个不同平台的外卖员，每配送一单即可获得相应配送费且均为整数．已知乙每一单的配送费为甲的两倍，丁每一单的配送费为丙的两倍．12月第一周，甲、乙、丙的配送量之比为，丁的配送量为100单，且他们共获得配送费3700元．第二周配送量增加，甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的，丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的，此时甲、乙的配送量之和为丙的配送量的倍，丁的配送量增加60单，且他们共获得配送费7660元．若丁每单配送费高于4元且不超过8元，则第二周四位外卖员配送量之和为______单．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（8分）（2023春·全国·七年级专题练习）解下列二元一次方程组：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
17．（5分）（2023春·浙江杭州·七年级杭州育才中学校联考阶段练习）已知关于x ，y 的方程组．
（1）请写出方程 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求 m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m 的值．
18．（6分）（2022秋·全国·八年级专题练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
（1）若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
（2）若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
19．（6分）（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护，若医用口罩买个，洗手液买6瓶，则需元；若医口罩买个，洗手液买4瓶，则需元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）小明妈妈准备了元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个，医用口罩和口罩共个，购买洗手液b瓶，钱恰好全用完，小明的妈妈一共有几种购买方案？
20．（6分）（2022秋·八年级课时练习）有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案．
（2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进货方案．
21．（6分）（2022·全国·七年级假期作业）数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B．它们表示的数分别为－3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
（1）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
（2）若AM＝BN，，求m和n值．
22．（6分）（2022春·重庆万州·七年级统考期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
23．（6分）（2022·全国·七年级假期作业）阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
24．（6分）（2022秋·全国·八年级专题练习）数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
专题8.6 二元一次方程组（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
直接解方程，根据方程有正整数解，并且a为整数求出可能的取值，相加即可．
【解题过程】
解：，
则，
∴，
若，则不成立，
若，则，
∵有正整数解，
∴a的取值为0，，，，
∴，
故选D．
2．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知关于x、y的方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 （ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
方程组可化为，由方程组的解是即可求得方程组的解为.
【解题过程】
解：方程组可化为，
∵方程组的解是，
∴，
即方程组的解为.
故选B.
3．（2023春·七年级单元测试）关于x，y的两个方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组和，先计算不含参的二元一次方程组，得的值，然后代入含参的二元一次方程组，求的值，然后代入求解即可．
【解题过程】
解：∵两个方程组同解
∴可知关于x，y的两个方程组和有相同的解
解方程组
②①得
将代入①式得
解得
∴方程组的解为
将代入方程组得
解关于的方程组
③④得
解得
将代入③式得
解得
∴方程组的解为
∴
故选A．
4．（2022秋·八年级课时练习）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的和为
A．5 B．6 C．7 D．8
【思路点拨】
根据题意，先推断出取最大值与最小值时的、、的值，再求的最大值与最小值的和．
【解题过程】
解：联立得方程组，
①②：得，，
①②得，，，
把，代入，整理得，，当取最小值时，有最小值，
、、是三个非负实数，
的最小值是0，
，
①②得到：，
，
是非负数，
时，有最大值3，
的最大值与最小值的和．
故选：A．
5．（2022春·湖北黄石·七年级统考期末）“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．则求得的结果有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【思路点拨】
设需要小圈舍x间，大圈舍y间，利用鹿的只数=4×小圈舍的间数+6×大圈舍的间数，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结果的个数．
【解题过程】
解：设需要小圈舍x间，大圈舍y间，
依题意得：4x+6y=40，
∴x=．
又∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴共有3种结果．
故选：B．
6．（2022春·湖北宜昌·九年级专题练习）如表是德国足球甲级联赛某赛季的部分球队积分榜：
球队 比赛场次 胜场 负场 平场 积分
沃尔夫斯堡 34 21 7 6 69
斯图加特 34 20 7 7 67
柏林赫塔 34 8 64
规定：负一场积0分．观察后可知，柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是（ ）
A．18场 B．19场 C．20场 D．21场
【思路点拨】
现根据题意求出胜一场积3分，平一场积1分，再设柏林赫塔在这个赛季的胜场次数x场，根据胜场积分与平场积分的和=总积分列出方程，解方程即可．
【解题过程】
解：设球队胜一场积m分，平一场积n分，
由题意得：
，
解得：，
球队胜一场积3分，平一场积1分，
设柏林赫塔在这个赛季的胜场次数x场，则平（34-x-8）=（26-x）场，
根据题意得：3x+（26-x）=64，
解得：x=19，
∴柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是19，
故选：B．
7．（2022秋·八年级课时练习）A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【思路点拨】
首先设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果．
【解题过程】
解：设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，
由题意可得方程组：，
将代入②中得，消去x得：
即：
∵为正整数
∴的值分别为1，3，5，15，
∴y的值只能为4，5，6，11，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可得：n的值分别为8，3，2，1；
即n的可能值有4个．
故答案选：B．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（ ）
A．6 B．15 C．18 D．24
【思路点拨】
把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．列出关于a，b，c的方程，进行求解即可．
【解题过程】
解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；
D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；
其余三个圈所填的数位之和为c．
显然有…①，
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有②，
②﹣①，得③，
把，，每一边上三个圈中的数的和相加，则可得④，
联立③，④，解得，，
则．
故选：B．
9．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若，则．
其中不正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可判断；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
【解题过程】
解：将代入原方程组，得，
解得：．
将代入方程的左右两边，
得：左边，右边，即左边右边，
∴当时，方程组的解不是方程的解，故①错误，符合题意；
解原方程组，得，
∴，
∴无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意；
∵，
∴x、y为自然数的解有，，，，
∴x，y都为自然数的解有4对，故③正确，不符合题意；
∵，，
∴，
解得：，故④错误，符合题意．
综上所述：②③正确，①④错误．
故选B．
10．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为（ ）
（1），；
（2）若，，则；
（3）若，则、有且仅有3组整数解；
（4）若对任意有理数、都成立，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确．
【解题过程】
解：∵，，
∴，
解得，故（1）正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故（2）正确；
∵，
∴，
当时，则不成立，
∴，
∴，
∵m、n都是整数，
∴或或，
∴或或0或或或，
∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵对任意有理数、都成立，
∴，故（4）错误；
故选B．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知关于，的方程组的解也是方程的解，则___________．
【思路点拨】
首先应用加减消元法，求出关于，的方程组的解；然后根据即可求解．
【解题过程】
解：，
得：，
解得：，
把代入①得，，
，
，
整理得：，
解得：，
故答案为：．
12．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c写错而解得，则a=_____，b=_____，c=_____．
【思路点拨】
先把代入得 ，由方程组中第二个式子可得：c=-2，然后把解代入ax+by=-2即可得出答案．
【解题过程】
解：把代入，
得，解得，c=-2．
再把代入ax+by=-2，
得 ，
解得： ，
所以a=-2，b=-2，c=-2．
故答案为-2，-2，-2．
13．（2022秋·浙江温州·七年级乐清外国语学校校考阶段练习）一个棱长为的立方体，把它切成个小立方体，小立方体的大小不必都相同，但棱长必须是整数，则棱长为的小立方体的个数为________．
【思路点拨】
由小立方体的棱长以厘米作单位必须是整数，从最长棱长，开始分析，得出符合要求的答案．
【解题过程】
解：棱长为的立方体中的体积为，
若最大的立方体是一个棱长为的立方体，
则棱长为的立方体只有1个，则其余的只能切成棱长为1cm的立方体，
即棱长为的立方体的体积为，
则剩余的体积为：，
则可切成个棱长为的立方体，
此时正方体的总数为：，不符合要求；
若最大的立方体是一个棱长为的立方体，
则的立方体只有1个，则设y个棱长为的立方体，z个棱长为的立方体，
根据题意有：，
解得：，
则有9个棱长为的立方体，26个棱长为的立方体；
若最大的立方体是一个棱长为的立方体，
设y个棱长为的立方体，z个棱长为，
根据题意有：，
解得：，
方程组的解不为整数，不符合题意，舍去；
综上：有26个棱长为正方体，
故答案为：26．
14．（2023春·七年级单元测试）疫情期间，甲乙两位同学到超市采购食材，其中采购的面食有方便面、油泼面、挂面三种，每种面食的采购量均不超过10，但每种面食均有购买，其中方便面3元一袋，油泼面6元一袋，挂面8元一把，两个同学购买的方便面数量相同，而且甲同学比乙同学多购买了3把挂面，甲采购的面食一共花费71元，乙采购的面食一共花费了101元，则两个同学购买的挂面共有____________把．
【思路点拨】
设甲同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、y、z，则乙同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、m、；根据题意可列出方程组，再运用加减消元法可得，然后根据题意确定m、y的值；再将m、y的值代入②得到，然后讨论x的值求得z，最后列出两同学购买挂面把数的代数式并将z的值代入计算即可．
【解题过程】
解：设甲同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、y、z，则乙同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、m、
由题意可得: ，即
由②-①得：
当，，符合题意；
当，，不符合题意
同理：，不符合题意；
当、时，由②可得（且为整数）
当，，不符合题意；
当，，不符合题意；
当，，符合题意；
经计算均不符合题意
所以两个同学购买的挂面．
故答案为11．
15．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）甲、乙、丙、丁是四个不同平台的外卖员，每配送一单即可获得相应配送费且均为整数．已知乙每一单的配送费为甲的两倍，丁每一单的配送费为丙的两倍．12月第一周，甲、乙、丙的配送量之比为，丁的配送量为100单，且他们共获得配送费3700元．第二周配送量增加，甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的，丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的，此时甲、乙的配送量之和为丙的配送量的倍，丁的配送量增加60单，且他们共获得配送费7660元．若丁每单配送费高于4元且不超过8元，则第二周四位外卖员配送量之和为______单．
【思路点拨】
设甲每一单的配送费为元，则乙每一单的配送费为元，丙每一单的配送费为元，则丁每一单的配送费为元，设甲的配送量为单，乙的配送量为单，丙的配送量为单，根据题意可得①，设第二周乙的配送量为单，丙的配送量为单，则甲第二周的配送量为单，由题意可得，整理得，，再由，整理得，，根据第二周的配送费可得②，联立①②可得，由题意可得，配送费且均为整数，求出或，当时，，解得（舍；当时，，解得，则第二周四位外卖员配送量之和为（单．
【解题过程】
解：设甲每一单的配送费为元，则乙每一单的配送费为元，丙每一单的配送费为元，则丁每一单的配送费为元，
第一周，甲、乙、丙的配送量之比为，
设甲的配送量为单，乙的配送量为单，丙的配送量为单，
，
①，
设第二周乙的配送量为单，丙的配送量为单，
甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的，
甲增大的配送量为单，则甲第二周的配送量为单，
丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的，
，
整理得，，
甲、乙的配送量之和为丙的配送量的倍，
，
整理得，，
第二周丙的配送量为单，甲的配送量为单，
他们共获得配送费7660元，
，
整理得，②，
联立①②可得，
丁每单配送费高于4元且不超过8元，
，
，
配送费且均为整数，
或，
当时，，解得（舍；
当时，，解得，
第二周四位外卖员配送量之和为：（单，
故答案为：1233．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（8分）（2023春·全国·七年级专题练习）解下列二元一次方程组：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【思路点拨】
（1）利用加减消元法进行计算即可；
（2）利用加减消元法进行计算即可；
（3）先利用去分母把方程组化简，再利用加减消元法进行计算即可；
（4）由①②可得，再由③②得：，然后解二元一次方程，即可求出x、y．再代入求出z．
【解题过程】
（1）解：，
由可得：，
把代入②可得：，
所以原方程组的解为：．
（2）解：原方程组整理得：，
由可得：，解得：，
把代入①得：，
所以原方程组的解为：．
（3）解：，
得：③，
得：④，
得：，
解得：，
把代入①得：
解得：，
故原方程组的解是．
（4）解：，
由①②得：④，
由③②得：⑤，
由④⑤组成方程组得：，
把，代入①得：，解得：．
原方程组的解为．
17．（5分）（2023春·浙江杭州·七年级杭州育才中学校联考阶段练习）已知关于x ，y 的方程组．
（1）请写出方程 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足，求 m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m 的值．
【思路点拨】
（1）对x、y分别赋值讨论即可；
（2）用代入法求二元一次方程组的解即可；
（3）用加减消元法求出方程组的解，由题意可得或或，再将满足条件的m的值进行验证即可．
【解题过程】
（1）解：方程 的所有正整数解为：或；
（2）解：，
，即，
将③代入①得，，，
将，代入②得，；
（3）解；，
由得：，得，
将代入①得，，
∵方程组有正整数解，则或或，
或或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
综上所述，m的值为或2．
18．（6分）（2022秋·全国·八年级专题练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
（1）若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
（2）若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
【思路点拨】
（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．
【解题过程】
（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得：，
解得：；
即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时
∴由题意得：
解得：；
∴甲车前一半的时间为：，
由于，则乙h时行的路程为：，
∵，
∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为：，
则离A地的路程为：．
即：两车相遇时，离A地．
19．（6分）（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护，若医用口罩买个，洗手液买6瓶，则需元；若医口罩买个，洗手液买4瓶，则需元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）小明妈妈准备了元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的口罩a个，医用口罩和口罩共个，购买洗手液b瓶，钱恰好全用完，小明的妈妈一共有几种购买方案？
【思路点拨】
（1）设医用口罩和洗手液的单价分别为x元和y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）根据题意有：医用口罩的数量为个，即有：，即有：，根据，，a，b为正整数，可得，且是3的倍数，即有是可以为3、6、9，问题随之得解．
【解题过程】
解：（1）设医用口罩和洗手液的单价分别为x元和y元，
根据题意，有：，
解得：，
即：医用口罩和洗手液的单价分别为元和元；
（2）根据题意有：医用口罩的数量为个，
即有：，
即有：，
∵a，b为正整数，
∴是3的倍数，
∴是3的倍数，
∴是可以为3、6、9，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
即小明的妈妈一共有3种购买方案，
第一种方案：购买医用口罩个，购买口罩个，购买洗手液瓶；
第二种方案：购买医用口罩个，购买口罩个，购买洗手液瓶；
第一种方案：购买医用口罩个，购买口罩个，购买洗手液瓶．
20．（6分）（2022秋·八年级课时练习）有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案．
（2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进货方案．
【思路点拨】
设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台．（1）因为商场同时要购进两种不同型号电视机，所以分三种情况讨论：甲乙组合，甲丙组合，乙丙组合．设未知数，根据等量关系：台数相加=60，钱数相加=70000，列方程组解答即可；
（2）由题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，继而根据电视机的台数为正整数进行求解即可．
【解题过程】
解：设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台．
（1）①若选甲、乙两种型号，则，
解得 ，
② 若选甲、丙两种型号，则，
解得 ，
③若选乙、丙两种型号，则，
解得 ，不合题意，舍去．
答：若商场同时购进其中两种不同型号的电视机，有两种进货方案：①甲：40，乙：20；②甲：56，丙：4；
（2）根据题意得，
∵x、y、z均为正整数，
∴方程组的正整数解有四组，
或或或，
综上所述，共有四种进货方案：
方案一：应进货甲型号电视机41台，乙型号电视机5台，丙型号电视机4台；
方案二：应进货甲型号电视机37台，乙型号电视机10台，丙型号电视机3台；
方案一：应进货甲型号电视机33台，乙型号电视机15台，丙型号电视机2台；
方案一：应进货甲型号电视机29台，乙型号电视机20台，丙型号电视机1台．
21．（6分）（2022·全国·七年级假期作业）数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B．它们表示的数分别为－3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
（1）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
（2）若AM＝BN，，求m和n值．
【思路点拨】
（1）分三种情况：①当M是A，N的中点时；②当A是M、N的中点时；③当N是M、A的中点时分别进行求解；
（2）根据AM＝BN，可得，再根据，可得，二者组成方程组即可求解．
【解题过程】
（1）解：①当M是A，N的中点时，
∴n＝2m＋3
②当A是M、N的中点时，
∴n＝－6－m
③当N是M、A的中点时，．
（2）解：∵AM＝BN，
∴，
∵，
∴
∴或或或，
解得或或或
∵ ，
∴或或．
22．（6分）（2022春·重庆万州·七年级统考期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【思路点拨】
（1）把左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，得出a和b的方程组求解；
（2）设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，然后按照小华的解法解答即可．
【解题过程】
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
23．（6分）（2022·全国·七年级假期作业）阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
【思路点拨】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．
【解题过程】
解：（1）选择甲，，
①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，
解得：m＝，
②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，
解得：n＝，
代入m+n＝3得：＝3，
去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，
移项合并得：7k＝21，
解得：k＝3；
选择乙，
，
①+②得：5m+5n＝7k﹣6，
解得：m+n＝，
代入m+n＝3得：＝3，
去分母得：7k﹣6＝15，
解得：k＝3；
选择丙，
联立得：，
①×3﹣②得：m＝11，
把m＝11代入①得：n＝﹣8，
代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，
解得：k＝3；
（2）根据题意得：，
解得：，
检验符合题意，
则a和b的值分别为2，5．
24．（6分）（2022秋·全国·八年级专题练习）数学方法：
解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，
求关于x，y的方程组的解．
【思路点拨】
（1）设，，即可得，解方程组即可求解；
（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；
（3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．
【解题过程】
解：（1）设，，则原方程组可化为，
∵的解为，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）设，，则原方程组可化为，
解得，
即有，
解得，
即：方程组的解为；
（3）设，，则原方程组可化为，
化简，得，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，即有，
解得：，
故方程组的解为：．