河北省保定市部分示范性高中2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（含解析）

河北省高一下学期5月联考
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.下列结论正确的是（ ）
A.平行向量的方向都相同
B.零向量与任意向量都不平行
C.单位向量都相等
D.两个单位向量之和可能仍然是单位向量
3.已知单位向量与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.在正方形中，点满足，点满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
6.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑中，平面分别为的中点，过的截面与交于点，与交于点，若截面，且截面，四边形是正方形，则（ ）
A. B.1 C. D.2
7.如图，一艘船航行到点处时，测得灯塔在其北偏西的方向，随后该船以20海里/小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点，测得灯塔在其南偏西的方向，此时船与灯塔间的距离为（ ）
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
8.如图，在圆锥的底面圆中，为直径，为圆心，点在圆上，且为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C.与的夹角为 D.在上的投影向量为
10.关于复数，下面是真命题的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
11.如图，该多面体的表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上.若，则（ ）
A.
B.该多面体外接球的表面积为
C.直线与直线的夹角为
D.二面角的余弦值为
三 填空题：本题共3小题 每小题5分，共15分.
12.在中，内所的对边分别为，若，则的取值范围是__________.
13.某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知，则制成的简易笔筒的高为__________.
14.已知，且，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
的内角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长.
16.（15分）
在等腰梯形中，的中点为，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知.
（1）求；
（2）若点在线段上，，求.
17.（15分）
如图，在六面体中，，正方形的边长为.
（1）证朋：平面平面.
（2）求直线与平面所成角的正切值.
（3）求多面体的体积.
18.（17分）
如图，在平面四边形中，为线段的中点，.
（1）若，求；
（2）若，求的最大值.
19.（17分）
如图①所示，在中，分别是上的点，且.将沿折起到的位置，使，如图②所示.是线段的中点，是上的点，平面.
（1）求的值.
（2）证明：平面平面.
（3）求点到平面的距离.
河北省高一下学期5月联考
数学参考答案
1.A ，所以该复数对应的点为，该点在第一象限.
2.D 单位向量是模长等于1的向量，两个单位向量之和的模长可能仍然为1，D正确.
3.C 因为，所以，解得.
4.B 由线面平行的性质可得，B正确.
5.D 由题意可得是的中点，则，所以，则.
6.B 由题意可得分别为的中点，.因为四边形是正方形，所以，所以.
7.C 由题意可知，海里，由正弦定理可得，解得，所以船与灯塔间的距离为海里.
8.A 将三棱锥展开，如图所示，设的中点为，连接，则的最小值为.
，.
，所以的最小值为.
9.ABD ，A正确.
，В正确.
，所以，С错误.
在上的投影向量为，D正确.
10.CD 令.
因为，所以或，若A错误.
若，则错误.
，因为，
所以，所以，所以C正确.
因为，所以D正确.
11.BCD 该多面体的俯视图如图所示，
，A错误.
设多面体外接球的球心为，正方形的中心为（图略），设该多面体外接球的半径为，则，故该多面体外接球的表面积为，B正确.
因为，所以直线与直线的夹角即直线与直线的夹角，其大小为，C正确.
即二面角的平面角，，D正确.
12. 由余弦定理可得，所以.
13. 如图，作.设简易笔筒的上 下底面圆的半径分别为，，解得，解得，所以，所以制成的简易笔筒的高为.
14. 因为，所以，所以，则，即，解得.
15.解：（1）由已知及正弦定理得，
即.
因为，所以.
（2）由已知得，所以.
由已知及余弦定理得，所以，
从而，
所以的周长为.
16.解：（1）依题意可得，
所以，
.
（2）设，则.
因为，解得，
所以，则.
，
.
17.（1）证明：因为平面平面，
所以平面.
在正方形中，，又因为平面
平面，所以平面.
因为平面平面，
所以平面平面.
（2）解：连接，延长交于点.
因为，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以平面，
所以为直线与平面所成的角.
在中，由，解得，
即直线与平面所成角的正切值为.
（3）解：连接，则，
易证平面，
所以多面体的体积.
18.解：（1）连接.
在中，，所以.
因为，所以.
在中，由正弦定理得，解得，所以.
在中，.
（2）设.
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理知
，
其中.
当时，，即.
故的最大值为.
19.（1）解：过点作交于点，连接，设.
因为，所以，所以点在同一平面内.
因为平面，平面平面，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
故.
（2）证明：在中，，所以.
因为是线段的中点，所以.
因为，所以.
在中，，
所以.
由题意可得.因为，所以.
因为，所以平面.
因为，所以平面.
由（1）可得，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（3）解：因为平面，所以平面，
所以点到平面的距离即点到平面的距离.
由（2）得，平面
所以为点到平面的距离，且点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为.