新疆昌吉回族自治州阜康市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）

阜康市第一中学2023～2024学年高二上学期期末考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为
A． B． C． D．不存在
2．已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是
A．7 B．8 C．9 D．10
3．若双曲线的实轴长为4，则正数
A． B．2 C． D．
4．已知A（1，2，1），B（0，1，2），C（3，1，1），若平面ABC的一个法向量为，则
A． B． C． D．
5．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是
A． B． C． D．
6．数列-2，4，，20，…的一个通项公式可以是
A． B． C． D．
7．已知直线l：，点P在圆，则点P到直线l的距离的最大值为
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则
A．， B．， C．， D．，
9．在棱长为2的正方体，E是的中点，则
A．0 B．1 C． D．2
10．等比数列的前n项和为，若，，则公比
A．3 B． C．3或 D．2
11．已知抛物线C：的焦点为F，圆M：，点P，Q分别为抛物线C和圆M上的动点，设点P到直线的距离为d，则的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．6
12．设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知在空间直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，2，-3），点B的坐标为（0，-1，-4），点A与点C关于x轴对称，则________．
14．在各项均为正数的等比数列中，，则________．
15．已知，，则最大值为________．
16．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，若点P在C的渐近线上，且，则a的最小值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
已知圆C的方程为．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若圆C与直线l：交于M，N两点，且，求m的值．
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，，点M在线段上，且．
（1）求CM的长；
（2）求二面角B-AM-C的大小．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，当轴时，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当线段AB的中点的纵坐标为3时，求直线l的方程．
21．（本小题满分 12分）
如图，在长方体中，，，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．（本小题满分12分）
已知M，N是椭圆E：的上顶点和右顶点，且直线MN的斜率为．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，且，求直线AB的斜率．
阜康市第一中学2023～2024学年高二上学期期末考试 数学
参考答案、提示及评分细则
1．C 的斜率不存在，倾斜角为．
2．D 只有D项中有正整数解，，或（舍），故选D．
3．A 由双曲线实轴长为4，有，又，．故选A．
4．C ，，所以，，即，，解得，，所以，故选C．
5．B 因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线，直线可变形为，所以两平行线之间的距离．故选B．
6．B A选项，当时，，故A错误；B选项，当时，，当时，，当时，，当时，，故B正确；C选项，当时，，故C错误；D选项，当时，，故D错误．故选B．
7．D 直线l：即为，所以直线过定点Q（3，4），所以点P到直线l的距离的最大值为．
8．A ，，．
9．D ．故选D．
10．C 设等比数列的公比为q．由，可得，所以，．所以，解得或．故选C．
11．C ，．故选C．
12．C ，则，，即椭圆方程为，设C（m，n），A（0，b），B（0，-b），且，即，，．
13． 点C的坐标为（1，-2，3），．
14．4 ．
15． ，
当时，，
由，所以，当且仅当，即时等号成立，
故，当时，，
故的最大值为．
16．1 设P（x，y），由，得，
整理得，即，所以点P（x，y）在圆，又渐近线与圆有交点，所以，即，整理得，解得，所以a的最小值为1．
17．解：（1）设公差为d，由，得，解得
故；
（2）由得，
故．
18．解：（1）方程可化为，
此方程表示圆，
，即；
（2）由（1）可得圆心C（2，-3），半径，
则圆心C（2，-3）到直线l：的距离为，
由于，则有，
，解得．
19．解：（1）以点C为坐标原点，CB，CA，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示，设，则B（1，0，0），，，M（0，0，t），
所以，．
因为，所以，
所以，解得．
所以CM的长为．
（2）因为是直三棱柱，
所以．
又，所以．
因为，即，
又，．
所以，即．
所以是平面AMC的一个法向量，．
设是平面BAM的一个法向量，
，．
由得
令，得，，所以．
因为，，所以．
据题意可知，二面角B-AM-C为锐角，
所以二面角B-AM-C的大小为45°．
20．解：（1）由题意知，，当轴时，A，B两点的横坐标，
代入得，则，
解得，
所以抛物线C的方程为；
（2）根据题意得，直线l的斜率存在，设，，A，B两点都在上，
则有，，
，，
又AB中点的纵坐标为3，则，，
，
直线l的斜率，点F（3，0），直线l的方程为：或．
21．解：由长方体可知DA，DC，两两垂直，以D为坐标原点，向量，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，有D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），E（2，1，0），，．
（1）证明：因为，，，
所以，，
所以，，
又因为，，所以；
（2）设平面的法向量为，
由，，有取，，，可得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
因为，所以，，，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
22．解：本题考查直线与椭圆的综合．
根据题意得，上顶点M（0，b）、右顶点N（a，0）
（1），
由，
（2）由（1）可知，椭圆E的方程为，
即，点A（-a，0），设直线OC的方程为，，，
由解得，，．
，，于是设直线AB的方程为，
由消去x整理得，
解得或（舍去），．又，
，，即，
，解得，，即直线AB的斜率为．