云南省曲靖市沾益区第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含解析）

2025届沾益区第一中学高二上学期期末考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．两平行直线和之间的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
5．等比数列的前项和为，若，则公比（ ）
A．3 B． C．3或 D．2
6．函数的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A．或－1 B．或1 C．－1或2 D．
8．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若直线平面，且直线不平行于平面．给出下列结论正确的是（ ）
A．内的所有直线与异面 B．内存在直线与相交
C．内存在唯一的直线与平行 D．内不存在与平行的直线
10．在等差数列中，其前项和是，若，则（ ）
A．数列是递增数列 B．数列的通项公式是
C．当取最小值时，的值只能是3 D．的最小值是－18
11．设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．4
12．已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为 B．若，则的面积为
C．的最大值为 D．的周长的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设为单位向量，且，则______．
14．过点，且在坐标轴上的截距相等的直线方程为______．
15．已知四位数4521，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______．．
16．已知各项均为正数的递增等差数列，其前项和为，公差为，若数列也是等差数列，则的最小值为______．．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知等差数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
已知圆，直线，且直线和均平分圆．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线与圆相交于两点，且，求实数的值．
19．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，设的面积为，且满足．
（1）求角的大小；
（2）求的最大值．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线，直线与双曲线交于两点．
（1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；
（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．
21．（本小题满分12分）
如图，在长方体中，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的短轴长和焦距相等，长轴长是．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆相交于两点，原点到直线的距离为．点在椭圆上，且满足，求直线的方程．
2025届沾益区第一中学高二上学期期末考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1．D解出集合，利用补集和交集的定义可求得集合，因为，则或，因此，，故选D．
2．B设，则，所以，所以，故选B．
3．A根据题意得．故选A．
4．A两平行直线之间的距离为，故选A．
5．C设等比数列的公比为．由，可得，所以．所以，解得或．故选C．
6．A因为，所以，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以B，D错误．当时，，所以C错误．
7．B由，有，解得或1．故选B．
8．D设点的坐标为，有，整理为，可化为，若圆上存在这样的点，只需要圆与圆有交点，有，解得．故选D．
9．BD∵直线，且直线与平面不平行，．所以直线与平面内的直线要么异面，要么相交．
10．ABD由，可知等差数列为递增数列，A正确；
由题设，，B正确；，故当或4时，取最小值且为－18，C错误，
D正确．故选ABD．
11．BD设，由可得，又点在椭圆上，即，要使得成立的点恰好是4个，则，解得．
12．ACD抛物线的准线方程为，故A正确；设，所以，所以，所以，解得，当时，的面积为，当时，的面积为，故B错误；，当且仅当点在的延长线与抛物线的交点处时，故C正确；过点作的准线的垂线，垂足为，所以的周长，所以，当且仅当与的准线垂直时，取得最小值，故D正确．故选ACD．
13．为单位向量，且，
，
，．
14．或①直线过原点，直线方程为；②直线不过原点，直线斜率为－1，直线方程为，整理为．故直线方程为或．
15．　4512任意交换两个数的位置之后有：5421，2541，1524，4251，4125，4512，共6种，两个奇数相邻有3种，所以两个奇数相邻的概率为．
16．3 为等差数列，即要能化成一个关于的一次函数，则有，则．
17．解：（1）设的公差为，所以解得
所以；
(2)由(1)知，
所以
．
18．解：（1）与都平分圆与的交点即为圆心，即
，解得，
，
圆的标准方程为；
（2）根据题意，，圆心到直线的距离，
解得或．
19．解：（1）由题意可知．
所以．因为．所以．
（2）由已知．
因为，所以，
所以当，即时，取最大值，所以的最大值是．
20．解：（1）点是双曲线的一个焦点，，
又且，解得双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为；
（2）设直线的方程为，且，
联立可得，
则，即，
，
解得，即由可得，故双曲线的离心率．
21．解：由长方体可知两两垂直，以为坐标原点，向量分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，有，．
（1）证明：因为，
所以，所以，
又因为平面，所以平面；
（2）设平面的法向量为，由，有取，可得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，因为，所以，所以，所以直线与平面所成的角的正弦值为．
22．解：（1）设椭圆的焦距为，由题意有解得， 故椭圆的标准方程为；
（2）若直线的斜率不存在，直线的方程为，
此时满足的点显然不在椭圆上，
可得直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程消去后整理为，可得，
由，可得，
又由，可得，
将点的坐标代入椭圆的方程，有，
整理为，又由原点到直线的距离为，
有，可得，联立方程
可得解得或或或
又由，可得直线的方程为或或或．