云南省昆明市五华区钟英培训学校2024届高三第四次月考数学试题（含解析）

云南省昆明市钟英培训学校2024届第四次月考
高三数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数及其应用，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列，立体几何，直线与圆．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l：，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．复数的模为（ ）
A． B． C． D．
4．以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．下列条件一定能确定一个平面的是（ ）
A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点
C．两条相互垂直的直线 D．两条相互平行的直线
6．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知，，若是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
8．某大学举办校庆，为了烘托热闹的氛围，需要准备20000盆绿色植物作装饰．已知栽种绿色植物的花盆可近似看成圆台，上底面圆直径约为9厘米，下底面圆直径约为18厘米，母线长约为7.5厘米．假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养土约为（参考数据）（ ）
A．17.02立方米 B．17.23立方米 C．17.80立方米 D．18.22立方米
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在等比数列中，，，则的公比可能为（ ）
A．－1 B．－2 C．2 D．4
10．已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．－1
11．已知圆C：，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的半径为16
B．圆C截x轴所得的弦长为
C．圆C与圆E：相外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是
12．已知函数，则（ ）
A．当时，函数的最小值为
B．当时，函数的极大值点为x=1
C．存在实数a使得函数在定义域上单调递增
D．若恒成立，则实数a的取值范围为
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，若，则______．
14．已知圆锥的母线长为l，底面半径为r，若圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，则______．
15．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级γ，可定义为．在2021年3月13日下午，江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日，四川自贡发生里氏n级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则______．
16．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和。
18．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，且满足．
（1）求角C的大小；
（2）求的最大值．
19．（本小题满分12分）
已知圆C：，直线：，：，且直线和均平分圆C．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线与圆C相交于M，N两点，且，求实数a的值．
20．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点．
（1）求证：平面ABC；
（2）求直线DE与平面所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，．点E是棱PC的中点．
（1）证明：；
（2）求平面PAB与平面BDE所成角的余弦值．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若m为函数的正零点，证明：．
云南省昆明市钟英培训学校2024届第四次月考·高三数学
参考答案、提示及评分细则
1．B ∵A：，，∴，故选B．
2．A ∵直线l的斜率，∴l的倾斜角为．故选A．
3．B 由，有．
4．B 因为圆心坐标为，所以所求圆的标准方程为．
5．D 由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确，故选D．
6．B 函数在区间上单调递增，所以，解得，所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件，故选B．
7．A 因为，所以，又是第二象限角，所以，所以，故选A．
8．C 设圆台的高为h厘米，有厘米，圆柱的体积为立方厘米，需要营养土约为立方米，故选C．
9．BC 设的公比为q，所以，，解得或．故选BC．
10．AC 直线：和：平行，则，两条平行直线间距离，解得且．故0和2符合要求，故选AC．
11．BC 由圆C：，可得圆C的标准方程为，所以圆C的半径为4，故A错误；
令，得，设圆C与x轴交点的横坐标分别为，则是的两个根，所以，，所以，故B正确；
，故C正确；
由，解得或，即实数m的取值范围是．故D错误．故选BC．
12．AD ．
对于A选项，当时，，令有，可得函数的减区间为，增区间为，可得，故A选项正确；
对于B选项，当时，，令，可得，可知是的极小值点，B选项错误；
对于C选项，由，故不存在实数a使得函数单调递增，故C选项错误；
对于D选项，令有，可得函数的减区间为，增区间为，可得，若恒成立，有，可得，故D选项正确．故选AD．
13．1或－2 由，有，解得或－2．
14．3 由题意可知扇形的同心角为120°，有，可得．
15．4.3 设里氏3.1级地震所散发出来的能量为，里氏n级地震所散发出来的能量为，则，①，②，②－①得，又由，有，可得．
16． 如图，由，，可得，又由，可得点P到底面ABC的垂足为的外心，即BC的中点D，显然三棱锥外接球的球心O在直线PD上，设，，在中，有，解得．
17．解：（1）设的公差为d，所以解得
所以；
（2）由（1）知，，
所以
．
18．解：（1）由题意可知．所以．
因为，所以；
（2）由已知
．
因为，所以，
所以当，即时，取最大值，所以的最大值是．
19．解：（1）∵与都平分圆C，∴与的交点即为圆心，
即∴，，解得，，
∴，，
∴圆C的标准方程为；
（2）根据题意，，圆心C到直线MN的距离，
∴，，解得或．
20．（1）证明：不妨设，则，，
所以，所以，即，
在直三棱柱中，平面，
又，平面，所以，，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
所以，，，，，所以，所以，易得平面ABC的一个法向量为，又，又平面ABC，所以平面ABC；
（2）解：因为，所以，，
设平面的一个法向量为，所以
令，解得，，所以平面的一个法向量为，
设直线DE与平面所成角的大小为，
所以，
即直线DE与平面所成角的正弦值为．
21．（1）证明：连接AC．在菱形ABCD中，，，所以．
在中，，，所以，所以．
在中，，，，所以，所以．
又，AC，平面ABCD，所以平面ABCD．
又平面ABCD，所以；
因为四边形ABCD是菱形，所以．又，AC，平面PAC，所以平面PAC．
又平面PAC，所以；
（2）解：记，以O为坐标原点，OB，OC，OE所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，．
所以，．
设平面BAP的一个法向量为．
则 即令，解得，，
所以平面BAP的一个法向量为．
因为E是PC的中点，所以，所以，
又．设平面BDE的一个法向量为．
则即令，解得，，
所以平面BDE的一个法向量为．
所以，即平面PAB与平面BDE所成角的余弦值为．
22．（1）解：函数的定义域为．
，
①当即时，，函数单调递增，增区间为，没有减区间；
②当时，由，，可得函数的减区间为，增区间为，；
③当时，由，，可得函数的减区间为，增区间为；
（2）证明：当时，由及函数的减区间为，增区间为，可知等价于．
又由，等价于证明，
又由，
令，有，
可得
，
令，有，
可得函数单调递减，有，可得当时，．
故有，可得得证．