江苏省苏州市2023-2024学年第二学期高三年级数学5月考前冲刺卷（基础版）（含答案）

2023-2024年第二学期高三年级5月考前冲刺卷（基础）
数学学科
（总分：150分；考试时长：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ▲ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（ ▲ ）
A．[2，4) B．[1，2) C．[2，4] D．[1，2]
3．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（ ▲ ）
A． B． C． D．
4．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用 表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（ ▲ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
5．已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，，，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
6．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．已知数列满足，对于任意的且，都有，则（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为x轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P，A、B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M、N，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线分别交的终边于T、S，其中AM、PS、BS、NB为有向线段，下列表示正确的是（ ▲ ）

A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列结论正确的是（ ▲ ）
A．若随机变量X，Y满足，则
B．若随机变量，且，则
C．若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强
D．按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则
10．已知函数满足，则（ ▲ ）
A． B． C．是偶函数 D．是奇函数
11．已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且恒成立，下列说法正确的是（ ▲ ）
A． B．
C．离心率 D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设a为实数，若函数在处取得极大值，则a的值为 ▲ .
13．已知，则 ▲ .
14．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，则线段AB中点的轨迹方程为 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，已知多面体均垂直于平面ABC,∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
16．盒子中装有大小形状相同的4个小球，其中2个白色2个红色. 每次取一球，若取出的是白球，则不放回；若取出的是红球，则取完放回.
(1)取两次，求恰好一红一白的概率；
(2)取两次，记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的分布列及均值；
(3)在第2次取出的球是红球的条件下，求第1次取出的球是白球的概率．
17．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求的前150项和．
18．在平面直角坐标系中，动点（）与定点的距离和到直线：的距离之比是常数．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)记动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于两点，直线与曲线的另一个交点为.
（i）求的值；
（ii）记面积为，面积为，面积为，试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．定义：函数满足对于任意不同的，都有，则称f (x)为上的“类函数”．
(1)若，判断f (x)是否为上的“2类函数”；
(2)若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若f (x)为上的“2类函数”，且，证明：，，│f (x1)－f (x2)│＜1．
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．D 2．B 3．A 4．B 5．A 6．C 7．B 8．C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．BCD 10．AC 11．AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
13．/
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（Ⅰ）［方法一］：几何法
由得，
所以，即有.
由，得，
由得，
由，得，所以，即有，又，因此平面.
［方法二］：向量法
如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下：
因此,
由得；由得，
所以平面.
（Ⅱ）［方法一］：定义法
如图，过点作，交直线于点，连结.
由平面得平面平面，
由得平面，
所以是与平面所成的角.
由得，
所以，故.
因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
［方法二］：向量法
设直线与平面所成的角为.
由(I)可知,
设平面的法向量.
由即，可取，
所以.
因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
［方法三］：【最优解】定义法+等积法
设直线与平面所成角为，点到平面距离为d（下同）．因为平面，所以点C到平面的距离等于点到平面的距离．由条件易得，点C到平面的距离等于点C到直线的距离，而点C到直线的距离为，所以．故．
［方法四］：定义法+等积法
设直线与平面所成的角为，由条件易得，所以，因此．
于是得，易得．
由得，解得．
故．
［方法五］：三正弦定理的应用
设直线与平面所成的角为，易知二面角的平面角为，易得，
所以由三正弦定理得．
［方法六］：三余弦定理的应用
设直线与平面所成的角为，如图2，过点C作，垂足为G，易得平面，所以可看作平面的一个法向量．
结合三余弦定理得．
［方法七］：转化法＋定义法
如图3，延长线段至E，使得．
联结，易得，所以与平面所成角等于直线与平面所成角．过点C作，垂足为G，联结，易得平面，因此为在平面上的射影，所以为直线与平面所成的角．易得，，因此．
［方法八］：定义法＋等积法
如图4，延长交于点E，易知，又，所以，故面．设点到平面的距离为h，由得，解得．
又，设直线与平面所成角为，所以．
16．（1）记事件：第一次取到是红球，事件：第二次取到是红球，
则；
（2）随机变量可取0，1，2，
，，，
随机变量分布列如下：
0 1 2
所以；
（3），
，
则.
17．（1）因为为等差数列，则，即，
可得，，
所以.
（2）因为在与之间插入个3，
可知在数列中对应的项数为
，
当时，则，即；
当时，则，即；
由题意可知：，
所以.
18．（1）由题意可知，，
化简得，于是，动点的轨迹方程为．
（2）（i）设，，，不妨假设在第一象限，
则E在第四象限，
由题意知的斜率存在且不为0，
设直线方程为，代入可得，
需满足，所以，
,直线方程为，代入，
可得，，则，
因为，，所以，
即.
同理，，，即，所以，则关于x轴对称，
所以；
（ii）.
所以，.
综上，为定值．
19．（1）对于任意不同的，不妨设，即，
则，
所以为上的“2类函数”.
（2）因为为上的“3类函数”，
对于任意不同的，不妨设，
则恒成立，
可得，
即，均恒成立，
构建，，则，
由可知在内单调递增，
可知在内恒成立，即在内恒成立；
同理可得：内恒成立；
即在内恒成立，
又因为，即，
整理得，可得，
即在内恒成立，
令，
因为在内单调递增，则在内单调递增，
当，；当，；可知，
可得在内恒成立，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
构建，则在内恒成立，
可知在内单调递减，则；
可得，所以实数a的取值范围为.
（3）（i）当，可得，符合题意；
（ⅱ）当，因为为上的“2类函数”，不妨设，
①若，则；
②若，则
；
综上所述：，，.