新疆阿克苏地区库车市第一中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题（含解析）

库车市第一中学高三年级期末考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：高考范围.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则（ ）
A. B.6 C.5 D.
3.若l，m，n是互不相同的直线，是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A.若，，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
4.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则可能的取值为（ ）
A. B. C. D.
7.在圆的圆周上及内部所有的整点（横坐标，纵坐标均为整数的点）中任意取两个点，则这两个点在坐标轴上的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，线段与双曲线的左支相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知向量，，则下列说法中正确的是（ ）
A.若，则或1
B.若，则或-3
C.若，则或3
D.若，则向量，夹角的余弦值为
10.某初级中学2020年参加中考的考生人数是2016年参加中考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，相关部门统计了该校2016年和2020年的中考录取情况，得到如下所示的柱状图：
则下列结论正确的是（ ）
A.与2016年相比，2020年被一类高中录取学生的人数增长了
B.与2016年相比，2020年被二类高中录取的学生人数增加了0.5倍
C.2016年与2020年被三类高中录取的人数相同
D.与2016年相比，2020年不上线的人数有所增加
11.如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，AB，CD分别为上、下底面的直径，AC，BD为圆台的母线，E为弧AB的中点，则（ ）
A.圆台的侧面积为 B.直线AC与下底面所成的角的大小为
C.圆台的体积为 D.异面直线AC和DE所成的角的大小为
12.已知函数，则（ ）
A.当时，函数的最小值为
B.当时，函数的极大值点为
C.存在实数a使得函数在定义域上单调递增
D.若恒成立，则实数a的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.__________.
14.设随机变量服从正态分布，若，则__________.
15.已知数列满足，，若，则数列的前项和__________.
16.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与抛物线相交于A，B两点（点A在x轴的上方），则__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知数列满足，.
（1）令，证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为.
（1）求；
（2）求的周长.
19.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，平面，，且.
（1）证明：平面平面；
（2）设棱AB，BC的中点分别为E，D，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”，某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点处记录了大年初三上午9：20~10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作10：20~10：40记作.比方：10点04分，记作时刻64.
（1）估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望.
21.（本小题满分12分）
设为坐标原点，动点在椭圆上，该椭圆的左顶点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若线段MN平行于轴，满足，动点在直线上，满足.证明：过点且垂直于OP的直线过椭圆的右焦点.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）证明：.
库车市第一中学高三年级期末考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.C.
2.A由，可知，所以，解得.
3.D对于A，，，，，平行或异面，所以A不正确；对于B，，，与平行，所以B不正确；对于C，，，在空间内，与还可能异面或相交，所以C不正确.
4.B由，有，可得，又由，，，可得.
5.A由，可得函数为奇函数，可排除B，D选项，又由，可排除C选项，可知答案为A.
6.C，若函数为奇函数，可得，得.
7.D画图可知共有5个整点，分别为，，，，，有3个点在坐标轴上，记为P，Q，R，另外两个记为M，N.5个点中任取两个包括的基本事件为，，，，，，，，，，共10个，两个点在坐标轴上包括，，，共3个基本事件，则这两个点在坐标轴上的概率为.
8.C设，，双曲线的焦距为，由双曲线的定义可知，.在中，有，可得，解得，可得，.在中，有，可得，解得，可得双曲线的离心率.
9.AC A选项，若，有，解得或；B选项，若，有，解得或；C选项，若，有，解得或；D选项，当时，，，，，，向量夹角的余弦值为.
10.ABD 设2016年中考考生人数为，则2020年中考考生人数为.
由，故选项A正确；
由，故选项B正确；
由，故选项C不正确；
由，故选项D正确.
11.ABD 过点作，取AB的中点，连接，，，圆台的高，圆台的侧面积为，圆台的体积为.又由，可得，可得AC与下底面所成的角为.又由，平面，可得异面直线AC和DE所成的角为，在中，，，可得，故异面直线AC和DE所成的角为.故选ABD.
12.AD .
对于A选项，当时，，令有，可得函数的减区间为，增区间为，可得，故A选项正确；
对于B选项，当时，，令，可得，可知是的极小值点，B选项错误；
对于C选项，由，故不存在实数使得函数单调递增，故C选项错误；
对于D选项，令有，可得函数的减区间为，增区间为，可得，若恒成立，有，可得，故D选项正确.故选AD.
13..
14.0.75因为，所以所对应的正态曲线关于对称，
因为，所以，
所以.
15.由，得数列为等差数列，由，得，所以，得，所以，.
16.设，，由可得直线AB的方程为，联立方程后整理为，解得，，且有.由抛物线的定义，有
17.解：（1）由，
故数列是公比为3的等比数列；
（2）由（1）有，
，
可得，
有.
18.解：（1）因为，
由正弦定理可得，整理为.
由余弦定理得，因为，所以.
（2）因为，所以.
，所以.
所以的周长为.
19.（1）证明：平面，平面，.
，，平面.
又平面，则平面平面.
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
令，则，，，则，.
设平面的法向量为，则
令，则.
易知平面的一个法向量为，
则.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
20.解：（1）这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为，即10点04分.
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数，即，所以的可能取值为0，1，2，3，4.
所以，
所以的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以.
21.（1）解：左顶点的坐标为，
因为，所以，
又，所以，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）证明：由题意设，，，则依题意得，
由，得，整理得，
由，得，
整理得.
又因为，即，所以，
由（1）得，所以，
所以，
所以，
故过点且垂直于OP的直线过椭圆的右焦点.
22.（1）解：的定义域为，.
所以当时，，在上单调递增；
当时，，得，
即当时，，所以的单调递增区间为，
当时，，的单调递减区间为.
（2）证明：要证，即证，也即.
令，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以的最小值为.
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以的最大值为，
因为，所以，即，
所以.