中小学教育资源及组卷应用平台
11.2 与三角形有关的角
【考点1三三角形的内角和定理】
【考点2 直角三角形的内角有关运算】
【考点3 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【考点4 三角形外角性质】
【考点5 三角形双内角平分线的有关运算】
【考点6 三角形双外角平分线的有关运算】
【考点7 三角形内、外角平分线的有关运算】
考点1 三角形的内角
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
测量法： 剪角拼角法 ：
【考点1三三角形的内角和定理】
【典例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【变式1-1】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（ ）
A．60° B．64° C．74° D．80°
【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．
考点2 直角三角形
①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。
②有两个角互余的三角形是直角三角形
【考点2 直角三角形的内角有关运算】
【典例2】如图，AB∥CD，在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，且∠E＝40°，则∠EAB＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式2-1】如图，将含45°角的直角三角形放入平行线l1，l2之间，直角顶点C和一个锐角顶点A分别落在直线l1，l2上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）
A．22° B．23° C．32° D．33°
【变式2-2】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【变式2-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作EF∥AB，若∠ECA＝55°，则∠B的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【考点3 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【典例3】如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．
【变式3-1】如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝54°，∠C＝76°．
（1）求∠ABE的度数；
（2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数．
【变式3-2】如图，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A＝80°，∠BCA＝50°，求∠BFC的度数．
【变式3-3】△ABC中，∠C＞∠B，AD是高，AE是三角形的角平分线．
（1）当∠B＝24°，∠C＝68°时，求∠DAE的度数；
（2）根据第（1）问得到的启示，∠C﹣∠B与∠DAE之间有怎样的等量关系，并说明理由．
考点3 三角形的外角
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。
【考点4 三角形外角性质】
【典例4】如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【变式4-1】将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【变式4-2】在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【变式4-3】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
考点4 三角形的双内角平分线
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.
【结论】∠P=90°+∠A.
【考点5 三角形双内角平分线的有关运算】
【典例5】如图，在△ABC中，∠A＝84°，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC、∠OCB角平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．42° B．60° C．56° D．65°
【变式5-1】如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等于（ ）
A．140° B．120° C．130° D．无法确定
【变式5-2】如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A＝（ ）
A．60° B．120° C．110° D．40°
【变式5-3】如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
考点5 三角形的双外角平分线
【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.
【结论】∠P=90°-∠A.
【考点6 三角形双外角平分线的有关运算】
【典例6】如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【变式6-1】如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝72°，则∠B的度数为（ ）
A．44° B．43° C．36° D．34°
【变式6-2】如图△ABC中，BI、Cl分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，∠A+∠I＝130°，则∠A＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【变式6-3】如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，且∠BIC＝140°，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角，则∠BMC的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
考点6 三角形的内外角平分线
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线
【结论】∠P=∠A
【考点7 三角形内、外角平分线的有关运算】
【典例7】如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD，CD相交于点D．若∠A＝80°，则∠D等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．55°
【变式7-1】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．70°
【变式7-2】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式7-3】如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，依此下去，若∠A＝α，则∠A2023为（ ）
A． B．
C． D．
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 安庆期末）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．（2024 洛龙区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作EF∥AB，若∠ECA＝55°，则∠B的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
3．（2023秋 平泉市期末）如图，∠AOB的度数可能是（ ）
A．45° B．60° C．65° D．70°
4．（2024 福田区模拟）将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于（ ）
A．90° B．105° C．120° D．135°
5．（2024 东昌府区校级一模）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α
6．（2024春 重庆期中）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．14° D．16°
7．（2024 凤阳县一模）将直角三角板AOB和直角三角板COD按如图方式摆放（直角顶点重合），已知∠AOC＝45°，则∠DEB的度数是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
8．（2023秋 贵池区期末）如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．282° B．180° C．258° D．360°
9．（2023秋 林芝市期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
10．（2023秋 忻州期末）如图，在△CEF中，∠E＝78°，∠F＝47°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．47° C．55° D．78°
二．填空题（共5小题）
11．（2024春 江宁区校级月考）如图，三角形中的x的值是 ．
12．（2023秋 新都区期末）如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为 ．
13．（2023秋 青龙县期末）如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是 ．
14．（2023秋 梅县区期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE＝ °．
（2023春 市南区校级期末）若三角形三个内角度数的比为1：2：3，则最大内角度数
为 度 ．
三．解答题（共3小题）
16．（2024 港南区二模）如图所示，△ABC，△CDE均为直角三角形，且∠B＝45°，∠D＝30°，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠DFC的度数．
17．（2023秋 临沭县期末）如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠C＝65°，∠BED＝68°，求∠ABC和∠BAC的度数．
18．（2023秋 榆阳区校级期末）如图，A，B分别是∠MON两边OM，ON上的动点（均不与点O重合）．
（1）如图1，当∠MON＝58°时，△AOB的外角∠NBA，∠MAB的平分线交于点C，则∠ACB＝ °；
（2）如图2，当∠MON＝n°时，∠OAB，∠OBA的平分线交于点D，则∠ADB＝ °（用含n的式子表示）；
（3）如图3，当∠MON＝α（α为定值，0°＜α＜90°）时，BE是∠NBA的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点F．随着点A，B的运动，∠F的大小会改变吗？如果不会，求出∠F的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
11.2 与三角形有关的角
【考点1三三角形的内角和定理】
【考点2 直角三角形的内角有关运算】
【考点3 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【考点4 三角形外角性质】
【考点5 三角形双内角平分线的有关运算】
【考点6 三角形双外角平分线的有关运算】
【考点7 三角形内、外角平分线的有关运算】
考点1 三角形的内角
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
测量法： 剪角拼角法 ：
【考点1三三角形的内角和定理】
【典例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°，
Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°．
故选：B．
【变式1-1】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（ ）
A．60° B．64° C．74° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝48°，∠B＝68°，
∴∠C＝180°﹣48°﹣68°＝64°，
故选：B．
【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，则∠BFD的度数是（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝30°，
∵AD⊥BC，
∴△BDF为直角三角形，
∴∠BFD＝90°﹣∠CBE＝60°．
故选：C．
【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ 70° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故答案为：70°．
考点2 直角三角形
①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。
②有两个角互余的三角形是直角三角形
【考点2 直角三角形的内角有关运算】
【典例2】如图，AB∥CD，在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，且∠E＝40°，则∠EAB＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【解答】解：∵在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，且∠E＝40°，
∴∠CDE＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠CDE＝50°，
故选：C．
【变式2-1】如图，将含45°角的直角三角形放入平行线l1，l2之间，直角顶点C和一个锐角顶点A分别落在直线l1，l2上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）
A．22° B．23° C．32° D．33°
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝45°，
则∠CAB＝90°﹣45°＝45°，
∵l1∥l2，
∴∠1+∠ACB+∠CAB+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣22°﹣90°﹣45°＝23°，
故选：B．
【变式2-2】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠B＝2∠A，
∴∠A+∠B＝∠A+2∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
故选：B．
【变式2-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作EF∥AB，若∠ECA＝55°，则∠B的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【答案】C
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠A＝∠ECA＝55°，
∵∠ACB＝90，
∴∠B＝90°﹣∠A＝35°．
故选：C．
【考点3 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【典例3】如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）∠AOB＝125°；
（2）∠DAE＝5°．
【解答】解：（1）∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分线，
∴，
在△ABC中，∠C＝70°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，
∴；
（2）∵在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50°
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°，
∴∠DAE＝5°．
【变式3-1】如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝54°，∠C＝76°．
（1）求∠ABE的度数；
（2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数．
【答案】（1）40°；
（2）115°．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝54°，∠C＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠C）＝180°﹣（54°+76°）＝50°，
∵BE是AC边上的高，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAC+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°；
（2）∵∠BAC＝50°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝1/2∠BAC＝25°，
∵∠EFD是△AEF的一个外角，
∴∠EFD＝∠DAC+∠AEB＝25°+90°＝115°．
【变式3-2】如图，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A＝80°，∠BCA＝50°，求∠BFC的度数．
【答案】115°．
【解答】解：∵CE为△ABC的高，
∴∠BEC＝90°，
∵∠A＝80°，∠BCA＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠BCA＝50°，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴，
∴∠BFC＝∠BEC+∠ABD＝90°+25°＝115°．
即∠BFC的度数为115°．
【变式3-3】△ABC中，∠C＞∠B，AD是高，AE是三角形的角平分线．
（1）当∠B＝24°，∠C＝68°时，求∠DAE的度数；
（2）根据第（1）问得到的启示，∠C﹣∠B与∠DAE之间有怎样的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）22°；
（2）∠EAD＝（∠C﹣∠B），见解答．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣68°﹣24°＝88°，
又∵AE为角平分线，
∴∠EAB＝∠BAC＝44°，
在直角△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣24°＝66°，
∴∠EAD＝∠DAB﹣∠BAE＝66°﹣44°＝22°；
（2）根据（1）可以得到：∠EAB＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），
∠BAD＝90°﹣∠B，
则∠EAD＝∠BAD﹣∠EAB＝（90°﹣∠B）﹣（180°﹣∠B﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）．
考点3 三角形的外角
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。
【考点4 三角形外角性质】
【典例4】如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°，
∴∠CBD＝50°+60°＝110°，
∵BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，
∴∠EBD＝，
故选：B．
【变式4-1】将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【答案】D
【解答】解：如图，由题意可知，∠2＝45°，∠4＝30°，
∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，
∴∠3＝90°﹣∠2＝45°，
∴∠1＝∠3+∠4＝45°+30°＝75°，
故选：D．
【变式4-2】在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝30°，∠CBA＝45°，
∴∠α＝∠A+∠CBA＝30°+45°＝75°．
故选：C．
【变式4-3】将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
【答案】C
【解答】解：由题意可得：
∠ACB＝60°，∠BAC＝45°，
∴∠CBE＝∠ACB+∠BAC＝60°+45°＝105°，
故选：C．
考点4 三角形的双内角平分线
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.
【结论】∠P=90°+∠A.
【考点5 三角形双内角平分线的有关运算】
【典例5】如图，在△ABC中，∠A＝84°，点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC、∠OCB角平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ACB的度数是（ ）
A．42° B．60° C．56° D．65°
【答案】C
【解答】解：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y，
∵∠P＝100°，
∴∠PCO+∠COP＝x+y＝80°，
∴2x+2y＝160°，
∴∠OBC＝180°﹣（∠BOC+∠BCO）＝180°﹣（2x+2y）＝180°﹣160°＝20°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABC＝40°，
∵∠A＝84°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣84°＝56°．
故选：C．
【变式5-1】如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等于（ ）
A．140° B．120° C．130° D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝130°，
故选：C．
【变式5-2】如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A＝（ ）
A．60° B．120° C．110° D．40°
【答案】A
【解答】解：因为OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
所以∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
所以∠ABO+∠ACO＝∠CBO+∠BCO＝180°﹣120°＝60°，
所以∠ABC+∠ACB＝60°×2＝120°，
于是∠A＝180°﹣120°＝60°．
故选：A．
【变式5-3】如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，
在△CDE中，∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，
∵四边形ABED的内角和为180°×（4﹣2）＝360°，
∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠CDE+∠CED＝360°，
即65°+75°+20°+∠2+140°＝360°，
解得∠2＝60°，
故选：D．
考点5 三角形的双外角平分线
【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.
【结论】∠P=90°-∠A.
【考点6 三角形双外角平分线的有关运算】
【典例6】如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝80°，∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠ACB+∠ABC＝100°，
∴∠ECB+∠DBC＝260°，
∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠DCB，∠OCB＝∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB＝×260°＝130°，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣130°＝50°，
故选：B．
【变式6-1】如图，△ABC的外角∠ACE和外角∠CAF的平分线交于点P，已知∠P＝72°，则∠B的度数为（ ）
A．44° B．43° C．36° D．34°
【答案】C
【解答】解：∵∠P＝72°，
∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣∠P＝180°﹣72°＝108°，
∵∠ACE和∠CAF的平分线交于点P，
∴∠FAC＝2∠PAC，∠ECA＝2∠PCA，
∴∠FAC+∠ECA＝2∠PAC+2∠PCA＝2（∠PAC+∠PCA）＝2×108°＝216°，
∴∠BAC+∠BCA＝360°﹣（∠FAC+∠ECA）＝360°﹣216°＝144°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣144°＝36°，
故选：C．
【变式6-2】如图△ABC中，BI、Cl分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，∠A+∠I＝130°，则∠A＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：如图，
∵∠A+∠I＝130°，
∴∠ABI+∠ACI＝360°﹣120°＝230°，
∴∠2+∠ABC+∠3+∠ACB＝230°，
∵BI、Cl分别是∠ABC和∠ACB的外角平分线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ABC+2∠2＝180°，∠ACB+2∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝360°﹣230°＝130°，
∴∠I＝180°﹣130°＝50°，
∴∠A＝130°﹣50°＝80°．
故选：D．
【变式6-3】如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，且∠BIC＝140°，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角，则∠BMC的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】D
【解答】解：根据题意得，∠ABC+∠DBC＝180°，∠ACB+∠ECB＝180°，
∵BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角，
∴，，，，
∴，
同理，∠ICB+∠BCM＝90°，
在四边形IBMC中，∠BIC＝140°，∠IBM＝∠ICM＝90°，
∴∠BMC＝360°﹣140°﹣90°﹣90°＝40°，
故选：D．
考点6 三角形的内外角平分线
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线
【结论】∠P=∠A
【考点7 三角形内、外角平分线的有关运算】
【典例7】如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD，CD相交于点D．若∠A＝80°，则∠D等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．55°
【答案】B
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠A B C＝2∠D B C，∠A C E＝2∠D C E．
∴D B C）＝2∠D．
∵∠A＝80°，
∴．
故选：B．
【变式7-1】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．70°
【答案】C
【解答】解：如图，
∵∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P，
∴∠PBC＝∠ABC，∠ACP＝∠DCP＝∠ACD，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠PBC＝∠ACB，∠DCP＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，
∵∠DCP是△BCP的外角，∠BPC＝25°，
∴∠BPC+∠PBC＝∠DCP，
25°+∠ACB＝90°﹣∠ACB，
解得：∠ACB＝65°．
故选：C．
【变式7-2】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABC＝2∠ABP，∠ACM＝2∠ACP，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2×20°＝40°，∠ACM＝2×50°＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
故选：D．
【变式7-3】如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，依此下去，若∠A＝α，则∠A2023为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，
∴∠ABA1＝∠CBA1＝ABC，∠ACA1＝∠DCA1＝∠ACD，
∵∠A＝α，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A＝2∠CBA1+∠A①，∠DCA1＝∠A1+∠CBA1②，
②×2得：2∠DCA1＝2∠A1+2∠CBA1，
∴∠ACD＝2∠A1+2∠CBA1③，
由①和③得：2∠A1＝∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A1＝A＝，
同理∠A2＝A1＝∠A＝α，
∠A3＝∠A2＝∠A＝α，
∴∠A2023＝α＝（）2023α，
故选：B．
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 安庆期末）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4，
∴三个内角分别是180°×＝40°，180°×＝60°，180°×＝80°．
所以该三角形是锐角三角形．
故选：A．
2．（2024 洛龙区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作EF∥AB，若∠ECA＝55°，则∠B的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【答案】C
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠A＝∠ECA＝55°，
∵∠ACB＝90，
∴∠B＝90°﹣∠A＝35°．
故选：C．
3．（2023秋 平泉市期末）如图，∠AOB的度数可能是（ ）
A．45° B．60° C．65° D．70°
【答案】A
【解答】解：设量角器的外沿与射线OA交于点C，量角器的中心为点D，连接CD，则∠CDB＜55°，
又∠AOB＜∠CDB，
∴∠AOB＜55°．
故选：A．
4．（2024 福田区模拟）将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于（ ）
A．90° B．105° C．120° D．135°
【答案】B
【解答】解：根据三角板可得∠1＝45°，∠2＝30°，
则∠3＝∠1+∠2＝45°+30°＝75°，
故∠AOB＝180°﹣75°＝105°，
故选：B．
5．（2024 东昌府区校级一模）如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣α B．120°﹣α C．60°+α D．60°﹣α
【答案】C
【解答】解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，
而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，
∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．
故选：C．
6．（2024春 重庆期中）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE的度数是（ ）
A．10° B．12° C．14° D．16°
【答案】A
【解答】解：∵∠B＝48°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝BAC＝32°，
∵AD是△ABC的BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝68°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝22°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝32°﹣22°＝10°，
故选：A．
7．（2024 凤阳县一模）将直角三角板AOB和直角三角板COD按如图方式摆放（直角顶点重合），已知∠AOC＝45°，则∠DEB的度数是（ ）
A．20° B．30° C．45° D．60°
【答案】D
【解答】解∵∠AOC＝45°，∠C＝45°，
∴∠AFD＝∠CFO＝90°，
在△AEF中，
∵∠A＝30°，∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝60°，
∴∠DEB＝∠AEF＝60．
故选：D．
8．（2023秋 贵池区期末）如图，在△ABC中，∠C＝78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（ ）
A．282° B．180° C．258° D．360°
【答案】C
【解答】解：如图，∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，
即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝78°+180°＝258°．
故选：C．
9．（2023秋 林芝市期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（ ）
A．59° B．60° C．56° D．22°
【答案】A
【解答】解：∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，
∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1＝∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．
∴∠3＝∠EFA＝59°，
故选：A．
10．（2023秋 忻州期末）如图，在△CEF中，∠E＝78°，∠F＝47°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．47° C．55° D．78°
【答案】C
【解答】解：延长EC交AB于点H，如图所示：
∵∠E＝78°，∠F＝47°，
∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝55°，
∵AB∥CF，AD∥CE，
∴∠BHE＝∠ECF＝55°，∠BHE＝∠A，
∴∠A＝55°．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．（2024春 江宁区校级月考）如图，三角形中的x的值是 54 ．
【答案】54．
【解答】解：依题意2x+72＝180，
解得：x＝54，
故答案为：54．
12．（2023秋 新都区期末）如图，已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，则∠BDC的度数为 110° ．
【答案】110°．
【解答】解：延长BD交AC于E，
∵∠DEC是△ABE的外角，∠A＝60°，∠B＝20°，
∴∠DEC＝∠A+∠B＝80°，
则∠BDC＝∠DEC+∠C＝110°，
故答案为：110°．
13．（2023秋 青龙县期末）如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是 56° ．
【答案】56°．
【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DCB，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠A＝56°，
∴∠DCB＝∠A＝56°．
故答案为：56°．
14．（2023秋 梅县区期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE＝ 45 °．
【答案】45．
【解答】解：∵∠B＝60°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝×90°＝45°，
∵CE∥AD，
∴∠ACE＝∠CAD＝45°．
故答案为：45．
15．（2023春 市南区校级期末）若三角形三个内角度数的比为1：2：3，则最大内角度数为 90 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：若三角形三个内角度数的比为1：2：3，
设一个角是x度，则另两角分别是2x度，3x度．
根据三角形内角和定理得到：x+2x+3x＝180，
解得：x＝30度．
则最大的角是3x＝90度．
三．解答题（共3小题）
16．（2024 港南区二模）如图所示，△ABC，△CDE均为直角三角形，且∠B＝45°，∠D＝30°，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠DFC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠DCE＝90°，且CF平分∠DCE，
∴∠FCE＝∠DCE＝45°，
又∵∠B＝45°，
∴∠FCE＝∠B，
∴CF∥AB．
（2）解：由（1）知，∠FCE＝45°．
在Rt△CDE中，∵∠D＝30°，
∴∠E＝60°．
∴∠DFC＝∠E+∠FCE
＝45°+60°
＝105°．
17．（2023秋 临沭县期末）如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠C＝65°，∠BED＝68°，求∠ABC和∠BAC的度数．
【答案】∠ABC＝44°，∠BAC＝71°．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BED+∠EBD＝90°，
∵∠BED＝68°，
∴∠EBD＝22°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBD＝44°；
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，
∵∠C＝65°，
∴∠BAC＝71°．
18．（2023秋 榆阳区校级期末）如图，A，B分别是∠MON两边OM，ON上的动点（均不与点O重合）．
（1）如图1，当∠MON＝58°时，△AOB的外角∠NBA，∠MAB的平分线交于点C，则∠ACB＝ 61 °；
（2）如图2，当∠MON＝n°时，∠OAB，∠OBA的平分线交于点D，则∠ADB＝ （90+n） °（用含n的式子表示）；
（3）如图3，当∠MON＝α（α为定值，0°＜α＜90°）时，BE是∠NBA的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点F．随着点A，B的运动，∠F的大小会改变吗？如果不会，求出∠F的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由．
【答案】（1）61．（2）（90+n）．（3）∠F的大小不变，∠F＝α．
【解答】解：（1）∵∠MON＝58°，
∴∠OBA+∠OAB＝122°．
∴∠NBA+∠MAB＝238°．
∵BD、AD分别为∠NBA、∠MAB的平分线，
∴∠DBA＝NBA，∠DAB＝∠MAB．
∴∠DBA+∠DAB＝×（∠NBA+∠MAB）＝90°+58°．
∴∠ADB＝180°﹣（90°+58°）＝90°﹣58°＝61°．
故答案为：61．
（2）∵∠MON＝n°，
∴∠OBA+∠OAB＝180°﹣n°．
∵BC、AC分别为∠OBA、∠OAB的平分线，
∴∠ABC＝∠OBA，∠BAC＝∠OAB，
∴∠ABC+∠BAC＝×（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n°）．
∴∠ACB＝180°﹣（180°﹣n°）＝90°+n°．
故答案为：（90+n）．
（3）∠F的大小不变，∠F＝α．
理由如下：∵∠NBA﹣∠BAO＝∠MON＝α，
又BE是∠ABN的平分线，AF是∠OAB的平分线，
∴∠EBA＝∠NBA，∠BAF＝∠BAO，
∴∠F＝∠EBA﹣∠BAF＝（∠NBA﹣∠BAO）＝α．
