人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题9.4不等式与不等式组(原卷版+解析版)
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| 名称 | 人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题9.4不等式与不等式组(原卷版+解析版) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 135.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-28 16:30:25 | ||
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文档简介
专题9.4 不等式与不等式组（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·福建泉州·七年级晋江市第一中学校考期中）若关于x的不等式mx- n＞0的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·八年级课时练习）已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（ ）．
A．a＞-1 B．a＝1 C．a≥1 D．非上述答案
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·江苏·七年级期末）关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·山西运城·八年级统考期末）若不等式组的解 为，则值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·四川资阳·七年级四川省安岳中学校考期中）若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为( )
A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12
8．（2022春·重庆渝北·八年级校联考阶段练习）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则不符合条件的整数m的有（ ）
A．-4 B．2 C．4 D．10
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于x的一元一次不等式组有解，且最多有3个整数解，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．23 B．26 C．29 D．39
10．（2022春·重庆綦江·七年级统考期末）如果关于x、y的方程组中x>y，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝_____．
12．（2023春·江苏·七年级专题练习）若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是________．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）若，且，，设，则t的取值范围为______．
14．（2022春·重庆南川·八年级统考期中）某公司急需生产一批不超过套的工装服一套工装服含领带、衬衣、裙子各一件该公司计划将员工分为甲、乙、丙三个组，分别生产领带、衬衣、裙子，他们于某天零时同时开工，每天小时轮班连续工作假设每小时工作效率相同，若干天后的零时甲完成任务，再几天后不少于一天的中午时乙完成任务，再过几天不少于一天后的时丙完成了任务，已知三个组每天完成的任务分别是件，件，件，则该公司甲组完成任务工作了______天．
15．（2023春·江苏·七年级专题练习）将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ___________．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4分）（2023春·全国·七年级专题练习）解下列不等式：
（1）解不等式6x﹣4＞5(x﹣1)+3；
（2）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来．
17．（8分）（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）根据要求解不等式或答题
（1）；
（2）若关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是？
（3）；
（4）．
18．（6分）（2022秋·全国·七年级专题练习）已知，求的最大值和最小值．
19．（6分）（2022·安徽·九年级专题练习）某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．
（1）若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？
20．（6分）（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
21．（6分）（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
问题：在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，用a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：由解得又因为x＞1，y＜0所以解得a的取值范围是 ．
因为x+y＝a，所以a的取值范围就是x+y的取值范围．
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的取值范围．
22．（6分）（2023春·江苏·七年级专题练习）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①；
②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．
23．（6分）（2022春·四川资阳·七年级校考期中）使方程（组）与不等式（组）同时成立的末知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．
例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
（1）已知①，②，③，试判断方程的解是否为它与它们中某个不等式的“理想解”；
（2）若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围；
（3）当实数a、b、c满足且时，恒为方程与不等式组的“理想解”，求t、s的取值范围．
24．（7分）（2022春·江苏南通·七年级校考期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
专题9.4 不等式与不等式组（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
求出不等式的解，求出不等式3（x-1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【解题过程】
解：解不等式得：，
不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，
，
，
解得：，
故选．
2．（2023春·福建泉州·七年级晋江市第一中学校考期中）若关于x的不等式mx- n＞0的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
先解不等式mx- n＞0，根据解集可判断m、n都是负数，且可得到m、n之间的数量关系，再解不等式可求得
【解题过程】
解：解不等式：mx- n＞0
mx＞n
∵不等式的解集为：
∴m＜0
解得：x＜
∴，
∴n＜0，m=5n
∴m+n＜0
解不等式：
x＜
将m=5n代入得：
∴x＜
故选：B
3．（2022秋·八年级课时练习）已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（ ）．
A．a＞-1 B．a＝1 C．a≥1 D．非上述答案
【思路点拨】
当，即，通过计算得，并符合题意；当，即，通过计算得，结合方程|x|＝ax+1没有正根，故不成立；从而得到a的取值范围．
【解题过程】
解：当，即
∴
∴
∴
∴
∵方程|x|＝ax+1有一个负根
∴成立；
当，即
∴
∴
∴
∴
∵方程|x|＝ax+1没有正根
∴不成立；
∴
故选：C．
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解题过程】
解：
解不等式①得，解不等式②得，
由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B
5．（2023春·江苏·七年级期末）关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
求出不等式组的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案．
【解题过程】
解：由，
解得：，
由的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，
得：或，
解得：或，
∵不等式组有解，
∴，
解得：，
综上分析可知，，故A正确．
故选：A．
6．（2022春·山西运城·八年级统考期末）若不等式组的解 为，则值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，且，求出，，即可解答．
【解题过程】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
若不等式组解为，
，且，
解得：，，
，
故选：．
7．（2023春·四川资阳·七年级四川省安岳中学校考期中）若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为( )
A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12
【思路点拨】
根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或或，从而确定所有满足条件的整数的值的和．
【解题过程】
解：不等式组整理得：，
由不等式组至少有1个整数解，得到，
解得：，
解方程组，得，
关于，的方程组的解为正整数，
或或，
解得或或，
所有满足条件的整数的值的和是．
故选：B．
8．（2022春·重庆渝北·八年级校联考阶段练习）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则不符合条件的整数m的有（ ）
A．-4 B．2 C．4 D．10
【思路点拨】
根据不等式组的解集确定m的取值范围，根据方程组的解为整数，确定m的值．
【解题过程】
解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
因为不等式组的解集是，
所以，，
解二元一次方程组得，，
因为x为整数，所以或或或，
则或或或，
∵
∴或或，
故选：D．
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于x的一元一次不等式组有解，且最多有3个整数解，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．23 B．26 C．29 D．39
【思路点拨】
解不等式组得到，再由最多3个整数解可推出m的取值范围；解方程可得，再由解为非负整数可推出m的取值范围，综合两个取值范围即可确定m的取值为10或13或16，相加即可得到答案．
【解题过程】
解：解关于x的不等式组，得：，
该不等式组有解且至多3个整数解，
，解得：
解关于y的方程，得，
该方程的解为非负整数
或或
则符合条件的所有整数m的和为：．
故选：D．
10．（2022春·重庆綦江·七年级统考期末）如果关于x、y的方程组中x>y，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【思路点拨】
解二元一次方程组求出x，y的值，根据x>y得到关于m的不等式，根据不等式组只有4个整数解求出m的取值范围，取交集，找出符合条件的所有整数m，即可求解．
【解题过程】
解：解方程组得，
∵ x>y，
∴，
∴，
解不等式组得，
∴，
∵关于x的不等式组有且只有4个整数解，
∴，
∴，
∴，
∴整数m为5和6，
∴符合条件的所有整数m的和为11．
故选：D．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝_____．
【思路点拨】
根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组、结合x为非负整数即可得．
【解题过程】
解：由题意得：，
即，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
为非负整数，即x非负数
，
，
为非负整数，
或或，
解得或或，
故答案为：0或或．
12．（2023春·江苏·七年级专题练习）若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是________．
【思路点拨】
要使不等式对一切数x都成立，则需小于等于的最小值，再分、、和四种情况，分别化简绝对值求出最小值即可得．
【解题过程】
解：要使不等式对一切数x都成立，则需小于等于的最小值，
由题意，分以下四种情况：
（1）当时，
，
此时；
（2）当时，
，
此时；
（3）当时，
，
此时；
（4）当时，
，
此时；
综上，的最小值为5，
则，
故答案为：．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）若，且，，设，则t的取值范围为______．
【思路点拨】
由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案．
【解题过程】
解： ，，
∴
解得： 而，
∵，
∴
∴t的取值范围是：
故答案为：
14．（2022春·重庆南川·八年级统考期中）某公司急需生产一批不超过套的工装服一套工装服含领带、衬衣、裙子各一件该公司计划将员工分为甲、乙、丙三个组，分别生产领带、衬衣、裙子，他们于某天零时同时开工，每天小时轮班连续工作假设每小时工作效率相同，若干天后的零时甲完成任务，再几天后不少于一天的中午时乙完成任务，再过几天不少于一天后的时丙完成了任务，已知三个组每天完成的任务分别是件，件，件，则该公司甲组完成任务工作了______天．
【思路点拨】
设甲组工作了天，乙工作了天零小时，丙工作了天零小时，根据题意列出方程组，进而用表示出和，再由题意可知：，得出，由，，均为正整数，得出，，的值，即可得出答案．
【解题过程】
解：设甲组工作了天，乙工作了天零小时，丙工作了天零小时，
由题意得：，
，
由题意可知：，
解得：，
，，均为正整数，
，
故答案为：．
15．（2023春·江苏·七年级专题练习）将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ___________．
【思路点拨】
根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【解题过程】
解：根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
∵
∴第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：；
第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且
∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
∴的值为：3或
故答案为：3或．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4分）（2023春·全国·七年级专题练习）解下列不等式：
（1）解不等式6x﹣4＞5(x﹣1)+3；
（2）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来．
【思路点拨】
（1）按照去括号，移项，合并同类项的步骤即可解答；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤即可得到不等式的解集，再表示在数轴上即可；
【解题过程】
（1）解：
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
即不等式的解集是；
（2）
原不等式可变为，，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
即不等式的解集是，
把不等式的解集在数轴上表示出来，如下，
17．（8分）（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）根据要求解不等式或答题
（1）；
（2）若关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是？
（3）；
（4）．
【思路点拨】
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集；
（2）先解每一个不等式，根据范围内有四个整数解，确定a的取值范围；
（3）利用不等式的解法分别从m＞2和m＜2分别求解即可；
（4）根据绝对值的性质分别从x＜-1，-1≤x≤0，0＜x≤2与x＞2四种情况分别化简不等式，再利用不等式的解法分别求解，即可得出原不等式的解集．
【解题过程】
解：（1）
解不等式①得x≥-1，
解不等式②得x＜，
∴不等式组的解集为-1≤x＜．
（2）
由不等式①，得2x-3x＜-9+1，解得x＞8，
由不等式②，得3x+2＞4x+4a，解得x＜2-4a，
∵不等式组有四个整数解，即：9，10，11，12，
∴12＜2-4a≤13，
解得≤a＜；
（3），
移项，得，
合并同类项，得，
当m＞2时，x＞；
当m＜2时，x＜；
（4），
当x＜-1时，原绝对值不等式可化为，
解得x＞4，与x＜-1矛盾，故此不等式无解；
当-1≤x≤0时，原绝对值不等式可化为，
解得x＞与-1≤x≤0矛盾，故此不等式无解；
当0＜x≤2时，原绝对值不等式可化为，
解得x＞1，则1＜x≤2；
当x＞2，原绝对值不等式可化为，
解得x＜4，则2＜x＜4，
故原不等式的解集为1＜x＜4．
18．（6分）（2022秋·全国·七年级专题练习）已知，求的最大值和最小值．
【思路点拨】
先求出不等式的解集，然后结合绝对值的意义，进行分类讨论，进而求出最大值和最小值.
【解题过程】
解：∵ ，
∴，
∴
∴，
．
令，求得，所以零点值：．
①当时，．
∴ ．
②当时，．
．
当，原式的最小值是．
综上所述，的最大值是4，最小值是．
19．（6分）（2022·安徽·九年级专题练习）某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．
（1）若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？
【思路点拨】
（1）根据题意得出：两个等量关系：两种不同型号电视机共50台，花费90000元，分情况讨论：①购进甲型号电视机和乙型号电视机②设购进丙型号电视机和乙型号电视机③设购进甲型号电视机和丙型号电视机，分别求出结果．
（2）根据题意设出未知数，设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，再找出题目中列不等式的关键词：①成本不能超过计划拨款数额，②利润不能少于8500元，解不等式组可得答案．
【解题过程】
（1）解：①设购进甲型号电视机x台，乙型号电视机y台，由题意得：
，
解得：，
②设购进丙型号电视机m台，乙型号电视机n台，由题意得：，
解得：m，n不是整数，所以舍去，不合题意．
③设购进甲型号电视机a台，丙型号电视机b台，由题意得：，
解得：，
∴进货方案有两种：
①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台，
②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台，
（2）解：设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，由题意得：
，
解得：4≤s≤5，
∵s为整数，
∴s＝4或5，
当s＝4时：购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，
s＝5时：购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台，
答：购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，
②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台．
20．（6分）（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据连动数的定义即可确定；
（2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可；
（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．
【解题过程】
解：（1）∵点P是线段AB上一动点，点A、点B对应的数分别是－1，1，
又∵|PQ|＝2，
∴连动数Q的范围为：或，
∴连动数有-2.5，2；
（2），
②×3-①×4得：，
①×3-②×2得：，
要使x，y均为连动数，
或，解得或
或，解得或
∴k=-8或-6或-4；
（3）解得：
，
∵解集中恰好有4个解是连动整数，
∴四个连动整数解为-2，-1，1，2，
∴，
∴
∴a的取值范围是．
21．（6分）（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
问题：在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，用a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：由解得又因为x＞1，y＜0所以解得a的取值范围是 ．
因为x+y＝a，所以a的取值范围就是x+y的取值范围．
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的取值范围．
【思路点拨】
（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；
②解方程组得：，根据x＜0，y＞0可得1.5＜a＜2，进一步得到a+b的取值范围．
【解题过程】
解：（1），
∵解不等式①得：a＞0，
解不等式②得：a＜2，
∴不等式组的解集为0＜a＜2，
故答案为：0＜a＜2；
（2）①设x+y=a，则，
解得：，
∵x＞3，y＜1，
∴，
解得：2＜a＜6，
即2＜x+y＜6；
②解方程组得：，
∵x＜0，y＞0，
∴，
解得：1.5＜a＜2，
∵a-b=m，a+b=2a-(a-b)
3-m＜a+b＜4-m．
故答案为：3-m＜a+b＜4-m．
22．（6分）（2023春·江苏·七年级专题练习）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①；
②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．
【思路点拨】
（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可；
（2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围；
（3）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围．
【解题过程】
解：（1）①∵2x-4＝0，
∴x=2，
∵5x-2＜3，
∴x＜1，
∵2不在x＜1范围内，
∴①组合是“无缘组合”；
②，
去分母，得：2（x-5）＝12-3（3-x），
去括号，得：2x-10＝12-9+3x，
移项，合并同类项，得：x＝-13．
解不等式，
去分母，得：2（x+3）-4＜3-x，
去括号，得：2x+6-4＜3-x，
移项，合并同类项，得：3x＜1，
化系数为1，得：x＜．
∵-13在x＜范围内，
∴②组合是“有缘组合”；
（2）解方程5x+15＝0得，
x＝-3，
解不等式，得：
x＞a，
∵关于x的组合是“有缘组合”，
∴-3在x＞a范围内，
∴a＜-3；
（3）解方程，
去分母，得5a-x-6＝4x-6a，
移项，合并同类项，得：5x＝11a-6，
化系数为1得：x＝，
解不等式+1≤x+a，
去分母，得：x-a+2≤2x+2a，
移项，合并同类项，得：x≥-3a+2，
∵关于x的组合是“无缘组合，
∴<-3a+2，
解得：a<．
23．（6分）（2022春·四川资阳·七年级校考期中）使方程（组）与不等式（组）同时成立的末知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．
例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
（1）已知①，②，③，试判断方程的解是否为它与它们中某个不等式的“理想解”；
（2）若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围；
（3）当实数a、b、c满足且时，恒为方程与不等式组的“理想解”，求t、s的取值范围．
【思路点拨】
（1）先求出方程的解为，再判断是哪些不等式的解便可得出结论；
（2）把代入得与的关系式，再代入不等式组求得的取值范围，进而求得结果；
（3）先由且得出a、c的取值范围，把代入方程中，得出m的取值范围，把代入不等式组得m的不等式组，进而根据m的取值范围得出t与s的不等式组，进而用巧妙的办法解此不等式组便可得出答案．
【解题过程】
（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，即方程的解为，
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，满足；
∴方程的解是的“理想解”；
（2）解：把代入得2，
∴，
把代入不等式组，得，
解得，，
∴，
∴
∵，
∴；
（3）∵且，
∴，，
把代入方程中，得，
设，
∴，
∵，即，
∴，
∴
把代入不等式组得，
解得，，
∵恒为方程与不等式组的“理想解”，
∴使恒成立，
∴，
∴，，
∴，
∴，且满足．
24．（7分）（2022春·江苏南通·七年级校考期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
【思路点拨】
（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；
（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案；
（3）先解不等式组可得 再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：再求解 而为整数，则 可得 再解方程可得 可得 解得 从而可得答案．
【解题过程】
（1）解：①，
整理得： 解得：
②，
解得：
③，
解得：
解不等式可得：
解不等式可得：
所以不等式组的解集为：
根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．
故答案为：①
（2）解：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
，
根据“相依方程”的含义可得：
解得：
（3）解：
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：
此时不等式组有5个整数解，
令整数的值为：
∴
则
解得： 而为整数，则
因为，
解得：
根据“相依方程”的含义可得：
解可得：
而恒成立，
所以不等式组的解集为：
综上：
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·福建泉州·七年级晋江市第一中学校考期中）若关于x的不等式mx- n＞0的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·八年级课时练习）已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（ ）．
A．a＞-1 B．a＝1 C．a≥1 D．非上述答案
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·江苏·七年级期末）关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·山西运城·八年级统考期末）若不等式组的解 为，则值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·四川资阳·七年级四川省安岳中学校考期中）若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为( )
A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12
8．（2022春·重庆渝北·八年级校联考阶段练习）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则不符合条件的整数m的有（ ）
A．-4 B．2 C．4 D．10
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于x的一元一次不等式组有解，且最多有3个整数解，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．23 B．26 C．29 D．39
10．（2022春·重庆綦江·七年级统考期末）如果关于x、y的方程组中x>y，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝_____．
12．（2023春·江苏·七年级专题练习）若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是________．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）若，且，，设，则t的取值范围为______．
14．（2022春·重庆南川·八年级统考期中）某公司急需生产一批不超过套的工装服一套工装服含领带、衬衣、裙子各一件该公司计划将员工分为甲、乙、丙三个组，分别生产领带、衬衣、裙子，他们于某天零时同时开工，每天小时轮班连续工作假设每小时工作效率相同，若干天后的零时甲完成任务，再几天后不少于一天的中午时乙完成任务，再过几天不少于一天后的时丙完成了任务，已知三个组每天完成的任务分别是件，件，件，则该公司甲组完成任务工作了______天．
15．（2023春·江苏·七年级专题练习）将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ___________．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4分）（2023春·全国·七年级专题练习）解下列不等式：
（1）解不等式6x﹣4＞5(x﹣1)+3；
（2）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来．
17．（8分）（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）根据要求解不等式或答题
（1）；
（2）若关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是？
（3）；
（4）．
18．（6分）（2022秋·全国·七年级专题练习）已知，求的最大值和最小值．
19．（6分）（2022·安徽·九年级专题练习）某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．
（1）若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？
20．（6分）（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
21．（6分）（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
问题：在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，用a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：由解得又因为x＞1，y＜0所以解得a的取值范围是 ．
因为x+y＝a，所以a的取值范围就是x+y的取值范围．
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的取值范围．
22．（6分）（2023春·江苏·七年级专题练习）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①；
②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．
23．（6分）（2022春·四川资阳·七年级校考期中）使方程（组）与不等式（组）同时成立的末知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．
例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
（1）已知①，②，③，试判断方程的解是否为它与它们中某个不等式的“理想解”；
（2）若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围；
（3）当实数a、b、c满足且时，恒为方程与不等式组的“理想解”，求t、s的取值范围．
24．（7分）（2022春·江苏南通·七年级校考期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
专题9.4 不等式与不等式组（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
求出不等式的解，求出不等式3（x-1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【解题过程】
解：解不等式得：，
不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，
，
，
解得：，
故选．
2．（2023春·福建泉州·七年级晋江市第一中学校考期中）若关于x的不等式mx- n＞0的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
先解不等式mx- n＞0，根据解集可判断m、n都是负数，且可得到m、n之间的数量关系，再解不等式可求得
【解题过程】
解：解不等式：mx- n＞0
mx＞n
∵不等式的解集为：
∴m＜0
解得：x＜
∴，
∴n＜0，m=5n
∴m+n＜0
解不等式：
x＜
将m=5n代入得：
∴x＜
故选：B
3．（2022秋·八年级课时练习）已知方程|x|＝ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（ ）．
A．a＞-1 B．a＝1 C．a≥1 D．非上述答案
【思路点拨】
当，即，通过计算得，并符合题意；当，即，通过计算得，结合方程|x|＝ax+1没有正根，故不成立；从而得到a的取值范围．
【解题过程】
解：当，即
∴
∴
∴
∴
∵方程|x|＝ax+1有一个负根
∴成立；
当，即
∴
∴
∴
∴
∵方程|x|＝ax+1没有正根
∴不成立；
∴
故选：C．
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解题过程】
解：
解不等式①得，解不等式②得，
由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B
5．（2023春·江苏·七年级期末）关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
求出不等式组的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案．
【解题过程】
解：由，
解得：，
由的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，
得：或，
解得：或，
∵不等式组有解，
∴，
解得：，
综上分析可知，，故A正确．
故选：A．
6．（2022春·山西运城·八年级统考期末）若不等式组的解 为，则值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，且，求出，，即可解答．
【解题过程】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
若不等式组解为，
，且，
解得：，，
，
故选：．
7．（2023春·四川资阳·七年级四川省安岳中学校考期中）若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为( )
A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12
【思路点拨】
根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或或，从而确定所有满足条件的整数的值的和．
【解题过程】
解：不等式组整理得：，
由不等式组至少有1个整数解，得到，
解得：，
解方程组，得，
关于，的方程组的解为正整数，
或或，
解得或或，
所有满足条件的整数的值的和是．
故选：B．
8．（2022春·重庆渝北·八年级校联考阶段练习）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则不符合条件的整数m的有（ ）
A．-4 B．2 C．4 D．10
【思路点拨】
根据不等式组的解集确定m的取值范围，根据方程组的解为整数，确定m的值．
【解题过程】
解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
因为不等式组的解集是，
所以，，
解二元一次方程组得，，
因为x为整数，所以或或或，
则或或或，
∵
∴或或，
故选：D．
9．（2023春·江苏·七年级专题练习）若关于x的一元一次不等式组有解，且最多有3个整数解，且关于y的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．23 B．26 C．29 D．39
【思路点拨】
解不等式组得到，再由最多3个整数解可推出m的取值范围；解方程可得，再由解为非负整数可推出m的取值范围，综合两个取值范围即可确定m的取值为10或13或16，相加即可得到答案．
【解题过程】
解：解关于x的不等式组，得：，
该不等式组有解且至多3个整数解，
，解得：
解关于y的方程，得，
该方程的解为非负整数
或或
则符合条件的所有整数m的和为：．
故选：D．
10．（2022春·重庆綦江·七年级统考期末）如果关于x、y的方程组中x>y，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【思路点拨】
解二元一次方程组求出x，y的值，根据x>y得到关于m的不等式，根据不等式组只有4个整数解求出m的取值范围，取交集，找出符合条件的所有整数m，即可求解．
【解题过程】
解：解方程组得，
∵ x>y，
∴，
∴，
解不等式组得，
∴，
∵关于x的不等式组有且只有4个整数解，
∴，
∴，
∴，
∴整数m为5和6，
∴符合条件的所有整数m的和为11．
故选：D．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝_____．
【思路点拨】
根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组、结合x为非负整数即可得．
【解题过程】
解：由题意得：，
即，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
为非负整数，即x非负数
，
，
为非负整数，
或或，
解得或或，
故答案为：0或或．
12．（2023春·江苏·七年级专题练习）若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是________．
【思路点拨】
要使不等式对一切数x都成立，则需小于等于的最小值，再分、、和四种情况，分别化简绝对值求出最小值即可得．
【解题过程】
解：要使不等式对一切数x都成立，则需小于等于的最小值，
由题意，分以下四种情况：
（1）当时，
，
此时；
（2）当时，
，
此时；
（3）当时，
，
此时；
（4）当时，
，
此时；
综上，的最小值为5，
则，
故答案为：．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）若，且，，设，则t的取值范围为______．
【思路点拨】
由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案．
【解题过程】
解： ，，
∴
解得： 而，
∵，
∴
∴t的取值范围是：
故答案为：
14．（2022春·重庆南川·八年级统考期中）某公司急需生产一批不超过套的工装服一套工装服含领带、衬衣、裙子各一件该公司计划将员工分为甲、乙、丙三个组，分别生产领带、衬衣、裙子，他们于某天零时同时开工，每天小时轮班连续工作假设每小时工作效率相同，若干天后的零时甲完成任务，再几天后不少于一天的中午时乙完成任务，再过几天不少于一天后的时丙完成了任务，已知三个组每天完成的任务分别是件，件，件，则该公司甲组完成任务工作了______天．
【思路点拨】
设甲组工作了天，乙工作了天零小时，丙工作了天零小时，根据题意列出方程组，进而用表示出和，再由题意可知：，得出，由，，均为正整数，得出，，的值，即可得出答案．
【解题过程】
解：设甲组工作了天，乙工作了天零小时，丙工作了天零小时，
由题意得：，
，
由题意可知：，
解得：，
，，均为正整数，
，
故答案为：．
15．（2023春·江苏·七年级专题练习）将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ___________．
【思路点拨】
根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【解题过程】
解：根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
∴
∵
∴第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：；
第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
当剩下的长方形宽为：，长为：时，得：
解得：
∴
∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且
∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
当剩下的正方形边长为：时，得：
解得：
∵
∴符合题意；
∴的值为：3或
故答案为：3或．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4分）（2023春·全国·七年级专题练习）解下列不等式：
（1）解不等式6x﹣4＞5(x﹣1)+3；
（2）解不等式，并把不等式的解在数轴上表示出来．
【思路点拨】
（1）按照去括号，移项，合并同类项的步骤即可解答；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤即可得到不等式的解集，再表示在数轴上即可；
【解题过程】
（1）解：
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
即不等式的解集是；
（2）
原不等式可变为，，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
即不等式的解集是，
把不等式的解集在数轴上表示出来，如下，
17．（8分）（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）根据要求解不等式或答题
（1）；
（2）若关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是？
（3）；
（4）．
【思路点拨】
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集；
（2）先解每一个不等式，根据范围内有四个整数解，确定a的取值范围；
（3）利用不等式的解法分别从m＞2和m＜2分别求解即可；
（4）根据绝对值的性质分别从x＜-1，-1≤x≤0，0＜x≤2与x＞2四种情况分别化简不等式，再利用不等式的解法分别求解，即可得出原不等式的解集．
【解题过程】
解：（1）
解不等式①得x≥-1，
解不等式②得x＜，
∴不等式组的解集为-1≤x＜．
（2）
由不等式①，得2x-3x＜-9+1，解得x＞8，
由不等式②，得3x+2＞4x+4a，解得x＜2-4a，
∵不等式组有四个整数解，即：9，10，11，12，
∴12＜2-4a≤13，
解得≤a＜；
（3），
移项，得，
合并同类项，得，
当m＞2时，x＞；
当m＜2时，x＜；
（4），
当x＜-1时，原绝对值不等式可化为，
解得x＞4，与x＜-1矛盾，故此不等式无解；
当-1≤x≤0时，原绝对值不等式可化为，
解得x＞与-1≤x≤0矛盾，故此不等式无解；
当0＜x≤2时，原绝对值不等式可化为，
解得x＞1，则1＜x≤2；
当x＞2，原绝对值不等式可化为，
解得x＜4，则2＜x＜4，
故原不等式的解集为1＜x＜4．
18．（6分）（2022秋·全国·七年级专题练习）已知，求的最大值和最小值．
【思路点拨】
先求出不等式的解集，然后结合绝对值的意义，进行分类讨论，进而求出最大值和最小值.
【解题过程】
解：∵ ，
∴，
∴
∴，
．
令，求得，所以零点值：．
①当时，．
∴ ．
②当时，．
．
当，原式的最小值是．
综上所述，的最大值是4，最小值是．
19．（6分）（2022·安徽·九年级专题练习）某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．
（1）若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
（2）经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？
【思路点拨】
（1）根据题意得出：两个等量关系：两种不同型号电视机共50台，花费90000元，分情况讨论：①购进甲型号电视机和乙型号电视机②设购进丙型号电视机和乙型号电视机③设购进甲型号电视机和丙型号电视机，分别求出结果．
（2）根据题意设出未知数，设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，再找出题目中列不等式的关键词：①成本不能超过计划拨款数额，②利润不能少于8500元，解不等式组可得答案．
【解题过程】
（1）解：①设购进甲型号电视机x台，乙型号电视机y台，由题意得：
，
解得：，
②设购进丙型号电视机m台，乙型号电视机n台，由题意得：，
解得：m，n不是整数，所以舍去，不合题意．
③设购进甲型号电视机a台，丙型号电视机b台，由题意得：，
解得：，
∴进货方案有两种：
①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台，
②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台，
（2）解：设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，由题意得：
，
解得：4≤s≤5，
∵s为整数，
∴s＝4或5，
当s＝4时：购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，
s＝5时：购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台，
答：购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，
②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台．
20．（6分）（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值；
（3）若关于x的不等式组的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据连动数的定义即可确定；
（2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可；
（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．
【解题过程】
解：（1）∵点P是线段AB上一动点，点A、点B对应的数分别是－1，1，
又∵|PQ|＝2，
∴连动数Q的范围为：或，
∴连动数有-2.5，2；
（2），
②×3-①×4得：，
①×3-②×2得：，
要使x，y均为连动数，
或，解得或
或，解得或
∴k=-8或-6或-4；
（3）解得：
，
∵解集中恰好有4个解是连动整数，
∴四个连动整数解为-2，-1，1，2，
∴，
∴
∴a的取值范围是．
21．（6分）（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
问题：在关于x，y的二元一次方程组中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，用a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：由解得又因为x＞1，y＜0所以解得a的取值范围是 ．
因为x+y＝a，所以a的取值范围就是x+y的取值范围．
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的取值范围．
【思路点拨】
（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；
②解方程组得：，根据x＜0，y＞0可得1.5＜a＜2，进一步得到a+b的取值范围．
【解题过程】
解：（1），
∵解不等式①得：a＞0，
解不等式②得：a＜2，
∴不等式组的解集为0＜a＜2，
故答案为：0＜a＜2；
（2）①设x+y=a，则，
解得：，
∵x＞3，y＜1，
∴，
解得：2＜a＜6，
即2＜x+y＜6；
②解方程组得：，
∵x＜0，y＞0，
∴，
解得：1.5＜a＜2，
∵a-b=m，a+b=2a-(a-b)
3-m＜a+b＜4-m．
故答案为：3-m＜a+b＜4-m．
22．（6分）（2023春·江苏·七年级专题练习）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①；
②．
（2）若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围；
（3）若关于x的组合是“无缘组合”；求a的取值范围．
【思路点拨】
（1）先求方程的解，再解不等式，根据“有缘组合”和“无缘组合“的定义，判断即可；
（2）先解方程和不等式，然后根据“有缘组合”的定义求a的取值范围；
（3）先解方程和不等式，然后根据“无缘组合”的定义求a的取值范围．
【解题过程】
解：（1）①∵2x-4＝0，
∴x=2，
∵5x-2＜3，
∴x＜1，
∵2不在x＜1范围内，
∴①组合是“无缘组合”；
②，
去分母，得：2（x-5）＝12-3（3-x），
去括号，得：2x-10＝12-9+3x，
移项，合并同类项，得：x＝-13．
解不等式，
去分母，得：2（x+3）-4＜3-x，
去括号，得：2x+6-4＜3-x，
移项，合并同类项，得：3x＜1，
化系数为1，得：x＜．
∵-13在x＜范围内，
∴②组合是“有缘组合”；
（2）解方程5x+15＝0得，
x＝-3，
解不等式，得：
x＞a，
∵关于x的组合是“有缘组合”，
∴-3在x＞a范围内，
∴a＜-3；
（3）解方程，
去分母，得5a-x-6＝4x-6a，
移项，合并同类项，得：5x＝11a-6，
化系数为1得：x＝，
解不等式+1≤x+a，
去分母，得：x-a+2≤2x+2a，
移项，合并同类项，得：x≥-3a+2，
∵关于x的组合是“无缘组合，
∴<-3a+2，
解得：a<．
23．（6分）（2022春·四川资阳·七年级校考期中）使方程（组）与不等式（组）同时成立的末知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．
例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．
（1）已知①，②，③，试判断方程的解是否为它与它们中某个不等式的“理想解”；
（2）若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围；
（3）当实数a、b、c满足且时，恒为方程与不等式组的“理想解”，求t、s的取值范围．
【思路点拨】
（1）先求出方程的解为，再判断是哪些不等式的解便可得出结论；
（2）把代入得与的关系式，再代入不等式组求得的取值范围，进而求得结果；
（3）先由且得出a、c的取值范围，把代入方程中，得出m的取值范围，把代入不等式组得m的不等式组，进而根据m的取值范围得出t与s的不等式组，进而用巧妙的办法解此不等式组便可得出答案．
【解题过程】
（1）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，即方程的解为，
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，满足；
∴方程的解是的“理想解”；
（2）解：把代入得2，
∴，
把代入不等式组，得，
解得，，
∴，
∴
∵，
∴；
（3）∵且，
∴，，
把代入方程中，得，
设，
∴，
∵，即，
∴，
∴
把代入不等式组得，
解得，，
∵恒为方程与不等式组的“理想解”，
∴使恒成立，
∴，
∴，，
∴，
∴，且满足．
24．（7分）（2022春·江苏南通·七年级校考期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的“相依方程”是________；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围．
【思路点拨】
（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；
（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案；
（3）先解不等式组可得 再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：再求解 而为整数，则 可得 再解方程可得 可得 解得 从而可得答案．
【解题过程】
（1）解：①，
整理得： 解得：
②，
解得：
③，
解得：
解不等式可得：
解不等式可得：
所以不等式组的解集为：
根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．
故答案为：①
（2）解：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
，
根据“相依方程”的含义可得：
解得：
（3）解：
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：
此时不等式组有5个整数解，
令整数的值为：
∴
则
解得： 而为整数，则
因为，
解得：
根据“相依方程”的含义可得：
解可得：
而恒成立，
所以不等式组的解集为：
综上：