人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题11.4期末复习填空压轴题专项训练(原卷版+解析)

专题11.4 期末复习填空压轴题专项训练
1．已知，平分，，，则___________．
2．如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是______．
3．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．
4．已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：________．
5．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点重合，若固定三角形，将三角形绕点顺时针旋转一周，共有 _________次 出现三角形的一边与三角形AOB的某一边平行．
6．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
7．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有个；④若，则，其中正确的有______．（把你认为正确结论的序号都填上）
8．如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论______．（填写序号）
9．如图，，平分，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确个数为____________．
10．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为_________．
11．如图，直线，点、点分别在、上，点是同一平面上一点，交于点．若，且．用含的代数式表示为_________．
12．一副直角三角板中，，，，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点E在直线AC上方，且，能使三角形ADC有一条边与EB平行的所有的度数的和为_______．
13．如图，于点，是上一点，，DFAB，平分，平分，若，则的度数为______．
14．将直角三角板按如图所示的位置放置，，直线CE//AB，BE平分，在直线上确定一点D，满足，则的度数为______．
15．如图，//，EP、FP分别平分、，若，则________°．（用含m，n的代数式表示）
16．如图，已知ABCD，FE⊥AB于点E，点G在直线CD上，且位于直线EF的右侧．
（1）若∠EFG＝120°，则∠FGC的度数是 _____；
（2）若∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是 _____．
17．如图，，BC平分∠ABD，设∠ACB为，点E是射线BC上的一个动点，若，则∠CAE的度数为______．（用含的代数式表示）．
18．将连续奇数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对表示第m行从左到右第n个数，如表示15，那么表示的奇数是______，奇数2021用有序数对表示为______．
19．观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．
20．在平面直角坐标系中，A（，4），B（，3），C（1，0），．
（1）三角形ABC的面积为______；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为______．
21．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…．根据这个规律，第2025个点的坐标为________．
22．在平面直角坐标系中，点，，，，若，，平分交线段于点E．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______．
23．已知点A（3a＋6，a＋4），B（﹣3，2），ABx轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为_____________．
24．如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为______．
25．如图，在平面直角坐标系中，，，，．点从点出发，并按的规律在四边形的边上运动，当点运动的路程为2022时，点所在位置的点的坐标为______．
26．如图，在平面直角坐标系中，一个质点P从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点……按照上述规律运动下去，则点的坐标为________．
27．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C为线段AB的三等分点，点在第一象限内，三角形APC的面积为6．则线段AB与y轴的位置关系为________（填“平行”或“垂直”），点P的坐标为________．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点，，，有如下定义：若，，且，则称点M为P，Q的“k倍和点”，如，（2，1）为点，的“倍和点”．已知点，，若点C为点A，B的“k倍和点”，且的面积等于6，则k的值等于______．
29．如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是________．
30．如图，在平面直角坐标系中，，将点向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点，若点在轴上，且，则点的坐标为______．
31．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点C、B、H、G在x轴上，，，，，，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是_______．
32．对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点. 若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的取值范围是_____.
33．为促进春节消费，某黄金首饰店决定在假期开展一次“力度空前”的促销活动．活动方案如下：在收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次抽奖机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金100元、60元、30元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为4180元，第三时段返现金额比第一时段多600元，则第二时段返现金额为______元．
34．小明参加班上玩“套小玩具”的套圈游戏，小玩具分别是小鸡，小猴，小狗．其中套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了一件小玩具，且每个小玩具都至少被套中了一次.小明套10次共得61分，问：小鸡被套中______次．
35．甲、乙、丙三人做游戏：有三张背面完全一样，正面分别写有正整数a、b、c的卡片，且．洗匀卡片之后分发给三人，每人一张，并按每人所得卡片上的数字发相应颗数的糖果，然后收回卡片再洗匀，所得的糖果由每人自己保存．这样洗卡片、发卡片、发糖果的游戏至少进行两次．已知游戏结束时甲、乙、丙三人分别获得糖果17颗、9颗、7颗，且乙在最后一次游戏中得到颗糖果．请问：丙在第一次游戏中得到的榶果的准确数量是______颗．
36．年冬，重庆新冠疫情期间，某火锅店举办“云端火锅，共抗疫情”活动，将火锅底料及菜品打包成“便利火锅包”送至附近小区大门处，由居民自行前往提取．根据菜品种类分为A、、三类，三个品类成本价分别是元，元，元．且A类和类火锅的标价一样，该店对这三个品类全部打折销售．若三个品类的销量相同，则火锅店能获得的利润，此时A品类利润率为．若A、、三类销量之比是，则火锅店销售A、、类便利火锅包的总利润率为_______．（利润率）
37．《张丘建算经》里有一道题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何.”译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？请你结合你学过的知识，写出一组能够按要求购买的方案：公鸡买______只，母鸡买_______只，小鸡买_______只.
38．若方程组的解是，则方程组的解是______．
39．已知关于x，y的方程组．以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6，则k＝1．其中正确的序号是 _____．
40．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝_____．
41．若，且，，设，则t的取值范围为______．
42．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有________个．
43．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为_______．
44．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的平方根为_____．
45．定义：把b﹣a的值叫做不等式组a≤x≤b的“长度”若关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 _____．
46．已知关于，的方程组，其中，下列结论：
①当时，，的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的是_____________．
47．为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2360支钢笔，1040本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包 裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为_______．
48．“鲁巴好少年，一起向未来”，重庆市鲁能巴蜀中学校春季运动会在4月27日如期举行．各班同学积极参与，热情高涨；运动员挥洒汗水，激昂赛场；场下观众文明观赛，有序加油．后勤团队也不甘示弱，积极为同学们做好各种后勤保障，其中，采购小组的同学们就为全班同学准备了百事可乐，红牛和脉动三种饮料．已知百事可乐、红牛和脉动的单价之和为14元，计划购买百事可乐，红牛和脉动的数量总共不超过160瓶，其中脉动的单价为每瓶5元，计划购买20瓶，百事可乐的数量不多于红牛数量的一半，但至少购买40瓶，结果，在做预算时，将百事可乐和红牛的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了150元．若百事可乐、红牛和脉动的单价均为整数，则实际购买百事可乐、红牛和脉动的总费用最多需要花费 _____．
专题11.4 期末复习填空压轴题专项训练
1．已知，平分，，，则___________．
【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得．
【详解】解：如图，作于，作于，
则，
设，则，，
平分，
，
设，则，
，
，，
，
，，
，，
又，
，
解得，
则，
故答案为：．
2．如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是______．
【分析】作EF//AB则AB//CD//EF，根据平行线的性质得出∠MEN=∠BME+∠DME=128°，同理∠ME1N=(∠BME+∠DME) =64°，∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32°，可归纳规律∠ME=(∠BME-1+∠DME-1) =，依此建立方程=8°求解即可解答．
【详解】解：如图：作EF//AB
∵AB//CD
∴AB//CD//EF
∴∠FEM=∠BME, ∠FEN=∠DNE,
∴∠MEN=∠BME+∠DME=∠FEM +∠FEN =∠MEN= 128°
同理：ME1N=(∠BME+∠DME) =64°，
∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32°
…
∠ME=(∠BME-1+∠DME-1) =
由题意得：=8°，解得n=4．
故答案为4．
3．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．
【分析】分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：存在．分三种情况：
如图，与在的两侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得；
此时，
；
旋转到与都在的右侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
；
旋转到与都在的左侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行．
故答案为：秒或秒．
4．已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：________．
【分析】分别过点，作，，根据，可得，根据平行线性质可得，，根据角平分线定义可得，进而证出，同理，根据平角定义可得，，由此证出，进而证出结论．
【详解】分别过点，作，
∵，
∴
∵射线平分
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵射线平分
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
同理：
∴
∴
故答案为：
5．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点重合，若固定三角形，将三角形绕点顺时针旋转一周，共有 _________次 出现三角形的一边与三角形AOB的某一边平行．
【分析】要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．
【详解】解：分10种情况讨论：
（1）如图1，AD边与OB边平行时，∠BAD＝45°或135°；；
（2）如图2，当AC边与OB平行时，∠BAD＝90°+45°＝135°或45°；
（3）如图3，DC边与AB边平行时，∠BAD＝60°+90°＝150°，
（4）如图4，DC边与OB边平行时，∠BAD＝135°+30°＝165°，
（5）如图5，DC边与OB边平行时，∠BAD＝45°﹣30°＝15°；
（6）如图6，DC边与AO边平行时，∠BAD＝15°+90°＝105°
（7）如图7，DC边与AB边平行时，∠BAD＝30°，
（8）如图8，DC边与AO边平行时，∠BAD＝30°+45°＝75°．
故答案为：10．
6．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
【分析】分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①当0＜t≤90时，如图1所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA，
∴∠PBD＝∠CAM
有题意可知：2t＝30＋t
解得：t＝30，
②当90＜t＜150时，如图2所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD＋∠CAN＝180°，
∴30＋t＋（2t－180）＝180
解得：t＝110
综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．
故答案为：30或110
7．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有个；④若，则，其中正确的有______．（把你认为正确结论的序号都填上）
【分析】根据平行线的性质得出和的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
的平分线交于点，
，
，
平分，
①正确，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又，
∴，
∴，
②正确，
，
与互余的角有，，，，有4个，
③错误，
，，
又，
，
④正确，
故答案为：①②④．
8．如图，，，平分，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论______．（填写序号）
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故①正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴（1），
∵，
∴（2），
∴（1）-（2）得，，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴（3），
∵（1），
（3）-（1）得，，故④正确；
综上，正确的结论有：①②④．
故答案为：①②④．
9．如图，，平分，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确个数为____________．
【分析】由于，则，利用平角等于得到，再根据角平分线定义得到，可知①正确；利用，可计算出，则，即平分，可知②正确；利用，可计算出，则，可知③正确；根据，，可知④不正确．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴．故①正确；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∴；故③正确；
∴，
而，
∴不一定等于，故④错误．
故答案为：3．
10．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为_________．
【分析】过点作，得，得，；根据，是，的角平分线，；；根据四边形内角和为，，即可求出的角度．
【详解】如图：过点作，
∵，
∴，
∴；，
∵，是，的角平分线，
∴；，
∴；，
∴在四边形中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
11．如图，直线，点、点分别在、上，点是同一平面上一点，交于点．若，且．用含的代数式表示为_________．
【分析】过点作，根据平行线的性质以及已知条件求得，，根据对顶角相等可得，根据 即可求解．
【详解】如图，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
， ，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵，
，
，
，
，
故答案为：．
12．一副直角三角板中，，，，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点E在直线AC上方，且，能使三角形ADC有一条边与EB平行的所有的度数的和为_______．
【分析】根据平行线的判定定理分情况求解即可．
【详解】解：当∠ACE=∠E=45°时，ACBE，理由如下，如图所示：
∵∠ACE=∠DCB=45°，∠B=45°，
∴BE⊥CD，
又∵AC⊥CD，
∴ACBE；
当∠ACE=135°时，BECD，理由如下，如图所示：
∵∠ACE=135°，
∴∠DCE=135°-90°=45°，
∵∠E=45°，
∴∠DCE=∠E，
∴BECD；
当∠ACE=165°时，BEAD．理由如下：
延长AC交BE于F，如图所示：
∵∠ACE=165°，
∴∠ECF=15°，
∵∠E=45°，
∴∠CFB=∠ECF+∠E=60°，
∵∠A=60°，
∴∠A=∠CFB，
∴BEAD，
综上，三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数的和为：45°+135°+165°=345°，
故答案为：345°．
13．如图，于点，是上一点，，DFAB，平分，平分，若，则的度数为______．
【分析】延长，交于，根据三角形外角的性质，平行线的性质即可得到，从而求得的度数，进而即可求得．
【详解】解：延长，交于，如图：
，，
，
，
，
平分，平分，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．将直角三角板按如图所示的位置放置，，直线CE//AB，BE平分，在直线上确定一点D，满足，则的度数为______．
【分析】分两种情况：在的左边；在的右边；根据平行线的性质和角平分线的定义即可求解．
【详解】解：在的左边，如图，
平分，，
，
，
，
；
在的右边，如图，
平分，，
，
，
，
．
故答案为：或．
15．如图，//，EP、FP分别平分、，若，则________°．（用含m，n的代数式表示）
【分析】分别作EM、FN、PQ平行于AC，根据两直线平行同旁内角互补和两直线平行内错角相等可得，，再根据两直线平行同旁内角互补列等式，利用即可求出∠P．
【详解】分别作EM、FN、PQ平行于AC，如图，
∵，，
∴，
∵EP分别平分，
∴，
∴，
同理，∵，， FP分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∵，，，
∴，
∴
故答案为：．
16．如图，已知ABCD，FE⊥AB于点E，点G在直线CD上，且位于直线EF的右侧．
（1）若∠EFG＝120°，则∠FGC的度数是 _____；
（2）若∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是 _____．
【分析】（1）过点F作FM∥AB，根据平行线的性质求解即可；
（2）过点F作FM∥AB，过点H作HN∥AB，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：（1）过点F作FM∥AB，
∵FE⊥AB，FM∥AB，
∴FE⊥FM，
∴∠EFM=90°，
∵∠EFG=120°，
∴∠MFG=∠EFG∠EFM=30°，
∵FM∥AB，AB∥CD，
∴FM∥CD，
∴∠FGC=∠MFG=30°，
故答案为：30°；
（2）过点F作FM∥AB，过点H作HN∥AB，
∴∠AEH=∠EHN=20°，
∵∠EHG=50°，
∴∠NHG=∠EHG-∠EHN=30°，
∵HN∥AB，AB∥CD，
∴HN∥CD，
∴∠CGH=∠NHG=30°，
∵∠FGH=20°，
∴∠FGC=∠CGH+∠FGN=50°，
根据（1）知，∠EFM=90°，∠FGC=∠MFG，
∴∠MFG=50°，
∴∠EFG=∠EFM+∠MFG=140°，
故答案为：140°．
17．如图，，BC平分∠ABD，设∠ACB为，点E是射线BC上的一个动点，若，则∠CAE的度数为______．（用含的代数式表示）．
【分析】根据题意可分为两种情况：①当点E在直线AC上方时，根据平行线的性质及角平分线的定义求得∠CAB=180°-2，再由求出∠CAE的度数；②当点E在直线AC下方时，根据平行线的性质及角平分线的定义求得∠CAB=180°-2，再由求出∠CAE的度数．
【详解】解：①当点E在直线AC上方时，如图，
∵AC∥BD，
∴∠CBD=∠ACB=，∠CAB+∠ABD=180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠CBD=2，
∴∠CAB=180°-2，
∵∠BAE：∠CAE=3：1，
∴∠CAB：∠CAE=2：1，
∴2∠CAE=180°-2，
∴∠CAE=；
②当点E在直线AC下方时，如图，
∵AC∥BD，
∴∠CBD=∠ACB=，∠CAB+∠ABD=180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠CBD=2，
∴∠CAB=180°-2，
∵∠BAE：∠CAE=3：1，
∴∠CAE= ，
故答案为或．
18．将连续奇数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对表示第m行从左到右第n个数，如表示15，那么表示的奇数是______，奇数2021用有序数对表示为______．
【分析】根据图表找出规律，代入数据求值即可．
【详解】解：由图表可知：数表为从1开始的连续奇数按照蛇形排列，第一组1个奇数，第二组2个奇数，第三组3个奇数，依此类推，第a组a个奇数．
则前a组一共有，奇数表示为： ．
而图表每一行表示的最大奇数为
并且奇数行从左往右依次增大，偶数行从左往右依次减小小．
①中表示第七行第3个数，求出第六行最大的奇数为，
所以第七行第3个数为．
故答案为：47
②因为=2021
所以2021是第1011个奇数，
即，
则从第1行到第44行共有990个奇数，
第1行到第45行一共有1035个奇数．
所以2021在第45行，
因为第44行最大的奇数为，
所以，
解得n=21．
故答案为：(45，21)
19．观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．
【分析】根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和．
【详解】由题意规律可得：．
∵
∴，
∵，
∴ ．
．
．
……
∴．
故．
令
②-①，得
∴=
故答案为：．
20．在平面直角坐标系中，A（，4），B（，3），C（1，0），．
（1）三角形ABC的面积为______；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为______．
【分析】（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交点，根据题意分别求得的坐标，然后根据，即可求解．
（2）设，则，根据平移可得向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，求得，根据三角形面积求得，即可求解．
【详解】解：（1）过分别作轴的垂线，过点作轴的垂线，交于点，如图，
∵A（，4），B（，3），C（1，0），
∴ ，
，，
∴，
，
，
故答案为：5；
（2），设，则，
∵将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，
∴向下移动了个单位，向右移动了个单位，
∴向下移动个单位，向右移动个单位，得到，即，
如图，过点作轴，于点，则，
过点作轴交于点，
∵，
∴，
∴，
根据题意是沿方向平移得到的，
∴，
∵，
解得：，
∴，
故答案为：．
21．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…．根据这个规律，第2025个点的坐标为________．
【分析】观察图形可知，观察右下角的点的横坐标，到右下角的点为结束点，经过整数点的点的总个数等于点的横坐标的平方，并且横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为横坐标减1的点结束，根据此规律解答即可．
【详解】解：当右下角的点的横坐标为1时，共有1个，1=12，
当右下角的点的横坐标为2时，共有2个，4=22，
当右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
当右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
…
当右下角的点的横坐标为n时，共有n2个．
∵452=2025，
∴第2025个点是（45，0）．
故答案为(45，0)
22．在平面直角坐标系中，点，，，，若，，平分交线段于点E．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______．
【分析】①根据坐标特点可得轴、轴，即可判定①；先说明，可得可判定③；先确定D点坐标，可得轴，进而得到可判定②；由①②③可得四边形是矩形，可得,；然后再说明，即为等腰直角三角形，进而求得即可判定④．
【详解】解：∵点，，，，
∴轴，轴
∴，故①正确；
若，，则A、B、C、D都在第一象限，
∴，即，故③正确；
∴
∴轴
∵轴
∴，即②正确；
∴四边形是长方形
∴,
∵平分交线段于点E
∴
在为等腰直角三角形
∴
∴
∴,故④错误．
综上，正确结论是①②③．
故答案为：①②③．
23．已知点A（3a＋6，a＋4），B（﹣3，2），ABx轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为_____________．
【分析】根据ABx轴，则的纵坐标相等，求得的值，进而确定的坐标，根据即可求解．
【详解】解：∵A（3a＋6，a＋4），B（﹣3，2），ABx轴，
∴，
解得，
∴，
∴，
设，
①当在的延长线上时，，
，
解得，
∴，
②当在线段上时，，
，
解得，
∴，
③当在的延长线上时，，不符合题意，
综上所述，点的坐标为或，
故答案为：或．
24．如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为______．
【分析】先根据正方形的性质找出部分An点的坐标，再根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（-n-1，-n-1），A4n+2（-n-1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，-n-1）（n为自然数）”，依此规律即可解答．
【详解】解：观察发现：A1（-1，-1），A2（-1，1），A3（1，1），A4（1，-1），A5（-2，-2），A6（-2，2），A7（2，2），A8（2，-2），A9（-3，-3），…，
∴A4n+1（-n-1，-n-1），A4n+2（-n-1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，-n-1）（n为自然数），
∵2050=512×4+2，
∴A2050（-513，513），
故答案为：（-513，513）．
25．如图，在平面直角坐标系中，，，，．点从点出发，并按的规律在四边形的边上运动，当点运动的路程为2022时，点所在位置的点的坐标为______．
【分析】由点的坐标得出四边形的周长即可求解．
【详解】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，
∴AB+BC+CD+AD＝10，
∵点P从点A出发，并按A→B→C→D→A…的规律在四边形ABCD的边上运动，
∴当P点运动的路程为2022时，
2022÷10＝202……2，
∴此时点P所在位置为B点，
∴点P所在位置的点的坐标为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
26．如图，在平面直角坐标系中，一个质点P从点出发，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点，运动到点……按照上述规律运动下去，则点的坐标为________．
【分析】由可得在第三象限，再结合第三象限这些点的坐标，可得的横坐标为： 从而可得答案．
【详解】解：∵
∴在第三象限，
∵，， ，
∴的横坐标为：
∴
故答案为：
27．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C为线段AB的三等分点，点在第一象限内，三角形APC的面积为6．则线段AB与y轴的位置关系为________（填“平行”或“垂直”），点P的坐标为________．
【分析】根据点A和点B的坐标可得AB与y轴的位置关系，求出AC的长，根据△APC的面积为6列出关于m的方程，解之即可得到点P坐标．
【详解】解：∵A（-2，2），B（-2，-4），横坐标相等，
∴线段AB与y轴平行，
∵点C是线段AB的三等分点，
∴C（-2，0）或（-2，-2），
∴AC=2或4，
∵点在第一象限内，三角形APC的面积为6，
∴或，
解得：m=4或1，
即点P的坐标为（4，8）或（1，2），
故答案为：平行，（4，8）或（1，2）．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于点，，，有如下定义：若，，且，则称点M为P，Q的“k倍和点”，如，（2，1）为点，的“倍和点”．已知点，，若点C为点A，B的“k倍和点”，且的面积等于6，则k的值等于______．
【分析】先由A、B点有坐标得出ABx轴，AB=6，再根据的面积等于6，求出的AB边的高为2，从而得出点C到AB的距离=2，从侕 求得点C的纵坐标，再根据“k倍和点”的定义即可求出k值．
【详解】解：∵，，
∴ABx轴，AB=6，
设的AB边的高为h，
∵S△ABC==6，即=6
∴h=2，
则点C到AB的距离=2，
∵点C为点A，B的“k倍和点”，
当点C在AB上方时，则y=1，
∴1=k(-1-1)，
解得：k=-；
∵k>0，
∴k=-不符合题意，舍去，
当点C在AB下方时，则y=-3，
∴-3= k(-1-1)，
解得：k=；
故答案为：．
29．如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是________．
【分析】设第n次跳动至点，根据部分点的坐标找出变化规律“，，，”，照此规律由2022=4×505+2代入求解即可．
【详解】解：设第n次跳动至点，
由图知，、、、、、、、、…，
∴可得：点的变化规律为，，，，
∵2022=4×505+2，
∴，即，
故答案为：．
30．如图，在平面直角坐标系中，，将点向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点，若点在轴上，且，则点的坐标为______．
【分析】根据题意确定点B的坐标，然后设C（0，m），结合图形，利用面积得出方程求解即可．
【详解】解：将点A向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到点B，
∴B(0，)，
设C（0，m），
如图所示，
根据题意得：，
解得：m=2或，
∴C(0，2)或（0，），
故答案为：（0，2）或（0，）．
31．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点C、B、H、G在x轴上，，，，，，把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是_______．
【分析】根据点的坐标、坐标的平移规律可知旋转一周的长度为20，然后可判断细线另一端所在位置的点在B处，再直接求解即可．
【详解】解：∵轴，轴，
点C、B、H、G在x轴上，，，，，，
∴B点坐标为（-1，0），点H坐标为（1，0），
∴AP=BH=2，AB=PH=2，CD=GF=2，BC=HG=2，DF=CG=6，
∴按A-B-C-D-E-F-G-H-P-A缠绕一周的总长度为2+2+2+6+2+2+2+2=20，
∵2022÷20=，
∴细线另一端所在位置的点在B点处，
∴细线另一端所在位置的点的坐标为（-1，0）．
故答案为：．
32．对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点. 若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的取值范围是_____.
【分析】设线段AB上存在线段OP的“单位面积点”是Q，分两种进行讨论情况：①线段OP在AB的下方；②线段OP在AB的上方．
【详解】
解：设线段AB上存在线段OP的“单位面积点”是Q，分两种情况：
①线段OP在AB的下方时，，
∵OP=1，S△OPQ=1，
∴Q到OP的距离为 ，
而OA=2，BP=3，
∴可将线段OP沿y轴正方向平移t≤3-2=1个单位长度，
又t＞0，
∴0＜t≤1；
②线段OP在AB的上方时，，
∵OP=1，S△OPQ=1，
∴Q到OP的距离为，
而A（0，2），B（1，3），
∴可将线段OP沿y轴正方向平移2+2≤t≤3+2，即4≤t≤5个单位长度，
综上，t的取值范围是0＜t≤1或4≤t≤5．
故答案为0＜t≤1或4≤t≤5．
33．为促进春节消费，某黄金首饰店决定在假期开展一次“力度空前”的促销活动．活动方案如下：在收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次抽奖机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金100元、60元、30元．商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为：第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍，摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍，摸到绿球次数为第一时段的2倍，三个时段返现总金额为4180元，第三时段返现金额比第一时段多600元，则第二时段返现金额为______元．
【分析】设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为，，，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，，．根据题意得到关于a，b，c方程组，根据a，b，c均为正整数，求解即可．
【详解】解：设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，b，c，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为，，，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a，，2c．由题意得：，
即，
∵a，b，c均是正整数，根据可得：
或或，
当时，不符合题意；
当时，不符合题意；
当时，符合题意；
∴第二时段返现金额为：（元）．
故答案为：2100．
34．小明参加班上玩“套小玩具”的套圈游戏，小玩具分别是小鸡，小猴，小狗．其中套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了一件小玩具，且每个小玩具都至少被套中了一次.小明套10次共得61分，问：小鸡被套中______次．
【分析】设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，根据题意列出三元一次方程组，解方程组时，根据、、都是正整数来确定它们的取值．
【详解】解：设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，
根据题意，得，
①②，消去，得，
解得，，
，
，
解得：，
的取值只能是1，2，3，4，5，
，是整数，
必须是3的倍数，
或5，
当时，，，不合题意，舍去；
当时，，．
小鸡被套中5次，
故答案为：5．
35．甲、乙、丙三人做游戏：有三张背面完全一样，正面分别写有正整数a、b、c的卡片，且．洗匀卡片之后分发给三人，每人一张，并按每人所得卡片上的数字发相应颗数的糖果，然后收回卡片再洗匀，所得的糖果由每人自己保存．这样洗卡片、发卡片、发糖果的游戏至少进行两次．已知游戏结束时甲、乙、丙三人分别获得糖果17颗、9颗、7颗，且乙在最后一次游戏中得到颗糖果．请问：丙在第一次游戏中得到的榶果的准确数量是______颗．
【分析】根据游戏结束时三人的糖果颗数，得到总糖果数．游戏场数和糖果颗数都是整数，可得到游戏的场数和每场游戏分发的糖果颗数．乙在最后一次游戏中得到颗糖果，且乙获得的总糖果数<平均数，则乙三次都没有分到b颗，则乙的糖果数为：a+a+c．丙的糖果数<乙的糖果数<平均数，丙三次都没有分到c颗，则丙的糖果数=b+b+a．联立求解即可．
【详解】设进行了x场游戏，
则x（a+b+c）=17+9=7=33
33=1×33或33=3×11
∵且a+b+c
∴x=3，a+b+c=11
∵一共有33颗糖果，一共有3个人
∴平均每人分到a+b+c=11颗糖果．
∵乙在最后一次游戏中得到颗糖果，且乙获得的总糖果数<平均数，
∴乙三次都没有分到b颗，则乙的糖果数为：a+a+c=9
∵丙的糖果数<乙的糖果数<平均数
∴丙三次都没有分到c颗，则丙的糖果数=b+b+a=7
联立：解得：
∴丙在第一次游戏中获得的糖果数为3颗，
故答案为：3．
36．年冬，重庆新冠疫情期间，某火锅店举办“云端火锅，共抗疫情”活动，将火锅底料及菜品打包成“便利火锅包”送至附近小区大门处，由居民自行前往提取．根据菜品种类分为A、、三类，三个品类成本价分别是元，元，元．且A类和类火锅的标价一样，该店对这三个品类全部打折销售．若三个品类的销量相同，则火锅店能获得的利润，此时A品类利润率为．若A、、三类销量之比是，则火锅店销售A、、类便利火锅包的总利润率为_______．（利润率）
【分析】可设A、B、C三类的标价分别为x元，x元，y元，根据所给的条件可列出三元一次方程组，解方程组得出相应的x，y的值，从而可求解．
【详解】解：设A、B、C三类的标价分别为x元，x元，y元，依题意得：
，
解得：，
故B类的利润率为：，
C类的利润率为：，
当A、B、C三类销量之比是，则火锅店销售A、B、C类便利火锅包的总利润率为：
．
故答案为：．
37．《张丘建算经》里有一道题：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何.”译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？请你结合你学过的知识，写出一组能够按要求购买的方案：公鸡买______只，母鸡买_______只，小鸡买_______只.
【分析】设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了（100 x y）只小鸡，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，（100 x y）均为自然数，即可求出结论．
【详解】解：设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了（100 x y）只小鸡，
依题意得：5x＋3y＋（100 x y）＝100，即y＝25 x，
又∵x，y，（100 x y）均为自然数，
∴或或或，
∴买的公鸡、母鸡、小鸡各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只，
故答案为：0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84．
38．若方程组的解是，则方程组的解是______．
【分析】首先根据题意，得出，然后再把代入方程组，得出，两式相加，得出，再根据题意，得出，解出即可得出的值，最后把代入，即可得出的值．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴，
∴，
∴把代入方程组，
可得：，
由，得：，
∵方程组的解是，
∴，
∴，解得：，
把代入，得：，
∴方程组的解是．
故答案为：
39．已知关于x，y的方程组．以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x－2y＝－4的解；②存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y＝6，则k＝1．其中正确的序号是 _____．
【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
【详解】解：①当k=0时，原方程组可整理得： ，
解得：，
把代入x－2y=－4得：x－2y=－2－2=－4．
即①正确；
②，
由②－①得：x+y=2k－1，
若x+y=0，则2k－1=0，
解得：k=，
即存在实数k，使得x+y=0，
即②正确；
③解方程组，
得，
∴x+3y=3k－2+3（1－k）=1，
∴不论k取什么实数，x+3y的值始终不变，
故③正确；
④解方程组，
得，
若3x+2y=6
∴k=，
故④错误．
所以正确的序号是①②③．
故答案为①②③．
40．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝_____．
【分析】根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组、结合x为非负整数即可得．
【详解】解：由题意得：，
即，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
为非负整数，即x非负数
，
，
为非负整数，
或或，
解得或或，
故答案为：0或或．
41．若，且，，设，则t的取值范围为______．
【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案．
【详解】解： ，，
∴
解得： 而，
∵，
∴
∴t的取值范围是：
故答案为：
42．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有________个．
【分析】先把作为常数，解不等式得，根据，是正整数，得，求出的正整数值，再分情况进行讨论即可．
【详解】解：，
，
，是正整数，
，
解得，即只能取1，2，3，
当时，，
正整数解为：，，，，，，
当时，，
正整数解为：，，，，
当时，，
正整数解为：，；
综上，它的正整数解有12个．
故答案为：12．
43．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的个数为_______．
【分析】解出方程组然后根据题意得出不等式确定，再解不等式组得出，确定取值范围即可得出结果．
【详解】解：解方程组得：，
∵，
∴，
解得：，
，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∵关于x的不等式组无解，
∴ ，
解得：，
∴，
∵a为整数，
∴a可以为，，0，1，2，3，4，
∴所有符合条件的整数a的个数为7，
故答案为：7．
44．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的平方根为_____．
【分析】先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于的不等式，进而根据是正整数的条件求得的范围，解一元一次不等式组，根据有且仅有2个整数解，确定的值，然后再求m的平方根即可．
【详解】解：由二元一次方程组，得，
∵整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，
∴，解得，，
∴m＝5或6，
当m＝5时，x＝3，y＝2，
当m＝6时，x＝1.5不符合题意，舍去；
∴m＝5，
由不等式组，得x≤6，
∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解，
∴，解得，5≤m，
由上可得，m的值为5，
∴m的平方根为±．
故答案为：．
45．定义：把b﹣a的值叫做不等式组a≤x≤b的“长度”若关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为 _____．
【分析】解不等式组求得不等式组的解集为﹣a≤x≤2a﹣3，根据题意得出2a﹣3﹣（﹣a）＝3，解得a＝2，即可得到不等式组的解集为﹣2≤x≤1，进而即可求得不等式组的整数解之和为﹣2．
【详解】解：，
解不等式①得：x≥﹣a，
解不等式②得：x≤2a﹣3，
∴不等式组的解集为﹣a≤x≤2a﹣3，
∵关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，
∴2a﹣3﹣（﹣a）＝3，
∴a＝2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x≤1，
∴不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，它们的和为﹣2．
故答案为：﹣2．
46．已知关于，的方程组，其中，下列结论：
①当时，，的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的是_____________．
【分析】解方程组得，①当时，，，即可判断；②当时，解得，不符合；③将代入，方程组的解为，即可判断；④由题意得，解出不等式组即可判断．
【详解】解方程组，
解得，
①当时，，，的值互为相反数，故①正确；
②当时，，解得，不符合，故②错误；
③当时，方程组的解为，将代入，，所以方程组的解也是方程的解，故③正确；
④因为，
所以，解得，故④正确；
故答案为：①③④．
47．为保障某贫困山区小学的学生有充足的学习文具，某小区向住户募集了2360支钢笔，1040本笔记本和若干套尺规套装，小区工作人员将这些物资分成了甲、乙、丙三类包 裹进行发放，一个甲类包裹里有25支钢笔，10本笔记本和4套尺规套装，一个乙类包裹里有16支钢笔，8本笔记本和7套尺规套装，一个丙类包裹里有20支钢笔，6本笔记本和3套尺规套装．已知甲、乙、丙三类包裹的数量都为正整数，并且甲类的个数低于28个，乙类个数低于106个，那么所有包裹里尺规套装的总套数为_______．
【分析】设甲类包裹有x个，乙类包裹有y个，丙类包裹有z个，根据题意列出x、y、z的三元一次方程组，用z表示x、y，进而由x、y的取值范围列出z的不等式组，求z的取值范围，再根据x、y与z的关系式和x、y为整数求得z的整数值，从而求出x、y的值，再进行计算即可．
【详解】解：设甲类包裹有x个，乙类包裹有y个，丙类包裹有z个，
根据题意，得：，
① ②×2，得5x＋8z＝280，
解得：x＝56 z，
将x＝56 z代入②，得：10（56 z）＋8y＋6z＝1040，
解得：y＝60＋z，
∴，
∵x＜28，y＜106，
∴，
解得：＜z＜，
∵z为正整数，
∴z的取值范围为：18≤z≤36的整数，
又∵x＝56 z，y＝60＋z，x、y均为整数，
∴z既为5的倍数，又为4的倍数，
∴z＝20，
当z＝20时，
x＝56 z＝56 ×20＝24，
y＝60＋z＝60＋×20＝85，
∴所有包裹里尺规套装的总套数为：
4x＋7y＋3z＝4×24＋7×85＋3×20＝751（套）．
故答案为：751．
48．“鲁巴好少年，一起向未来”，重庆市鲁能巴蜀中学校春季运动会在4月27日如期举行．各班同学积极参与，热情高涨；运动员挥洒汗水，激昂赛场；场下观众文明观赛，有序加油．后勤团队也不甘示弱，积极为同学们做好各种后勤保障，其中，采购小组的同学们就为全班同学准备了百事可乐，红牛和脉动三种饮料．已知百事可乐、红牛和脉动的单价之和为14元，计划购买百事可乐，红牛和脉动的数量总共不超过160瓶，其中脉动的单价为每瓶5元，计划购买20瓶，百事可乐的数量不多于红牛数量的一半，但至少购买40瓶，结果，在做预算时，将百事可乐和红牛的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了150元．若百事可乐、红牛和脉动的单价均为整数，则实际购买百事可乐、红牛和脉动的总费用最多需要花费 _____．
【分析】设购买瓶百事可乐，瓶红牛，百事可乐的单价为元，则红牛的单价为元，根据在做预算时，将百事可乐和红牛的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了 元，可得，整理得：，再根据百事可乐的数量不多于红牛数量的一半，但至少购买瓶，可得，，，根据x，y，m均为正整数，，可得，可得m=2或m=3或m=4，依此进行讨论即可求解．
【详解】解：设购买x瓶百事可乐，y瓶红牛，百事可乐的单价为m元，则红牛的单价为14﹣5﹣m＝（9﹣m）元，
依题意得：xm+y（9﹣m）﹣[x（9﹣m）+ym]＝150，
整理得：，
∵，x≥40，
∴x+y+20≤160，
∴x+y≤140，
又∵x，y，m均为正整数，x≤y，
∴y﹣x是正整数，
∵m＜4.5，
∴9﹣2m＝7（舍去）或9﹣2m＝5或9﹣2m＝3或9﹣2m＝1，
∴m＝2或m＝3或m＝4，
当m＝2时，9﹣m＝7，y﹣x＝30，
∴ ，
解得：40≤x≤55，
此时实际购买这三种物品的总费用为：
5×20+2x+7y＝100+2x+7（x+30）＝9x+310，
∴当x取最大值55时，总费用最大为9×55+310＝805（元）（不合题意舍去）；
当m＝3时，9﹣m＝6，y﹣x＝50，
，
解得40≤y≤45，
∴此时实际购买这三种物品的总费用为：
5×20+3x+6（x+50）＝9x+400，
∴当x取最大值45时，总费用最大为9×55+40＝805（元）；
当m＝4时，9﹣m＝5，y﹣x＝150，
∴，
此时不等式组无解．
综上所述，实际购买百事可乐、红牛和脉动的总费用最多需要花费805元．
故答案为：895元．