人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题5.5相交线与平行线(原卷版+解析)

专题5.5 相交线与平行线（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）∠ 1与∠ 2的两边分别平行，且∠ 1比∠ 2的4倍少30°，则∠ 1的度数为（ ）
A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138°
2．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在中，，，沿方向平移至，若，．四边形的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
3．（2023春·七年级课时练习）图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（ ）
A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，5
4．（2023春·七年级单元测试）一副直角三角尺叠放如图所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，则所有符合条件的度数为（ ）
A．45°，75°，120°，165° B．45°，60°，105°，135°
C．15°，60°，105°，135° D．30°，60°，90°，120°
5．（2023春·七年级课时练习）如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（　　）
A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
6．（2023春·七年级单元测试）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
7．（2022春·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，，平分，平分，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023春·七年级课时练习）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　）
A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°
9．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　）
A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒
10．（2023春·七年级课时练习）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2023春·七年级课时练习）在长方形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm；在长方形GAEH中，GA=3cm，GH=2cm．长方形GAEH沿水平方向向右移动，平移的速度为1.5cm/s，移动后记重叠的面积记为S，当S=4（cm2）时，平移的时间为_____________．
12．（2022秋·八年级课时练习）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
13．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过______秒后，．
14．（2022秋·七年级课时练习）在间一平面内，有2019条互不重合的直线，l1，l2，l3，…，l2019，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，以此类推，则l1和l2019的位置关系是_____．
15．（2023春·七年级课时练习）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4）（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+ +∠n＝　 　．
17．（4）（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线CD上的一个动点．
（1）如果点P运动到C、D之间时，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之间 的关系是否发生改变？请说明理由．
18．（6）（2023春·七年级课时练习）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
19．（6）（2023春·七年级课时练习）已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且．
（1）如图①，求证：．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作，因为，
所以__________（ ）
所以，（ ）
所以．
（2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分．
求证：；
（3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由．
20．（6）（2023春·七年级课时练习）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
21．（6）（2023春·七年级课时练习）（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，当点G在AB、CD之间，且在线段EF左侧时，连接EG、FG，则一定有，为什么？请帮助小明再次说明理由；
（2）【变式思考】如图2，当点G在AB上方时，且，请直接写出与之间的数量关系______；
（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使与互补，作的平分线与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL和∠DKL的平分线，交点为L1；第二次操作，分别作∠BEL1和∠DKL1的平分线，交点为L2；……第n次操作，分别作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分线，交点为L、则∠Ln=______．
22．（7）（2023春·七年级课时练习）已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点．
（1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系 并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系 请画图并证明
（3）当满足，且，分别平分和，
①若，则__________°．
②猜想与的数量关系．（直接写出结论）
23．（8）（2022·全国·七年级专题练习）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DEAB，连接AE，∠B＝∠E＝75°．
（1）请说明AEBC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数．
③在整个运动中，求∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系．
24．（8）（2023春·七年级课时练习）已知，，直线交于点E，交于点F，点M在线段上，过M作射线分别交射线、于点N、Q．
（1）如图1，当时，求的度数．
（2）如图2，若和的角平分线交于点G，求和的数量关系．
（3）如图3，当，且时，作的角平分线．把一三角板的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与和重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点N以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值．
专题5.5 相交线与平行线（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考期中）∠ 1与∠ 2的两边分别平行，且∠ 1比∠ 2的4倍少30°，则∠ 1的度数为（ ）
A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138°
【思路点拨】
根据两边分别平行的两个角相等或互补用∠ 1表示∠ 2，然后列方程求解．
【解题过程】
解：∵∠1与∠2的两边分别平行
∴或
又∵∠ 1比∠ 2的4倍少30°
或
解得：或
故选：D
2．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在中，，，沿方向平移至，若，．四边形的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【思路点拨】
根据平移的性质可得AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，然后根据AE、BD的长度求得AD＝BE＝CF＝3cm，即可求得四边形的周长．
【解题过程】
解：∵ABC沿AB方向向右平移得到DEF，
∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，
∵AE＝8cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝CF＝＝3cm，
∵，，，
∴四边形的周长，
故选：C．
3．（2023春·七年级课时练习）图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（ ）
A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，5
【思路点拨】
根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得．
【解题过程】
解：，
，
，，
，
，
，
，，
，
则图中互余的角的对数为4对；
，
，
点C是直线AB上一点，
，
，，
又，，
，，
则图中互补的角的对数为7对，
故选：B．
4．（2023春·七年级单元测试）一副直角三角尺叠放如图所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，则所有符合条件的度数为（ ）
A．45°，75°，120°，165° B．45°，60°，105°，135°
C．15°，60°，105°，135° D．30°，60°，90°，120°
【思路点拨】
分DE∥AB，DE∥AC，BE∥AC，AC∥BD，分别画出图形，根据平行线的性质和三角板的特点求解．
【解题过程】
解：如图，①DE∥AB，
∴∠D+∠ABD=180°
∴∠ABD=90°
∴∠ABE=45°；
②DE∥AC，
∵∠D=∠C=90°，
∴B，C，D共线，
∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=180°-45°+30°=165°；
③BE∥AC，
∴∠C=∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=120°；
④AC∥BD，
∴∠ABD=180°-∠A=120°，
∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=75°，
综上：∠ABE的度数为：45°或75°或120°或165°．
5．（2023春·七年级课时练习）如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（　　）
A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【思路点拨】
由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【解题过程】
解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．
故选：D．
6．（2023春·七年级单元测试）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【思路点拨】
①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【解题过程】
解：①过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
7．（2022春·广东江门·七年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，，平分，平分，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到；所以①错误；由角平分线的定义得到，，根据垂直的定义得到，所以②正确；根据垂直的定义得到，求得，根据角的和差得到，等量代换得到；所以③正确；根据平行线的性质得到，，求得，根据角平分线的定义得到，求得，所以④错误．
【解题过程】
解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
所以①错误；
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
所以②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
所以③正确；
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
所以④错误．
故选：B．
8．（2023春·七年级课时练习）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（　　）
A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°
【思路点拨】
分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．
【解题过程】
解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
②当在下方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
故选D．
9．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　）
A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒
【思路点拨】
设灯旋转的时间为秒，求出的取值范围为，再分①，②和③三种情况，先分别求出和的度数，再根据平行线的性质可得，由此建立方程，解方程即可得．
【解题过程】
解：设灯旋转的时间为秒，
灯光束第一次到达所需时间为秒，灯光束第一次到达所需时间为秒，
灯先转动2秒，灯才开始转动，
，即，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得，符合题设；
②如图，当时，，
，
，
，
，即，
解得符合题设；
③如图，当时，，
，
同理可得：，即，
解得，不符题设，舍去；
综上，灯旋转的时间为1秒或秒，
故选：C．
10．（2023春·七年级课时练习）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【思路点拨】
①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；
②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；
③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；
④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．
【解题过程】
解：①过点F作FH∥AB，如图：
∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，
∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，
∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，
∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；
②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，
∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，
∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，
∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，
即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，
∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，
∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，
∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF，
∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确；
③∵∠MGF＝2∠CGF，
∴∠MGC＝3∠CGF，
∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°；
3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确；
④∵∠MGF＝n∠CGF，
∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC，
∵∠AEF+∠CGF=90°，
∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确．
综上，①②③④都正确，共4个，
故选：A．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2023春·七年级课时练习）在长方形ABCD中，AB=6cm，AD=4cm；在长方形GAEH中，GA=3cm，GH=2cm．长方形GAEH沿水平方向向右移动，平移的速度为1.5cm/s，移动后记重叠的面积记为S，当S=4（cm2）时，平移的时间为_____________．
【思路点拨】
先用时间表示已知面积的长方形形的长和宽，并以面积作为相等关系解关于时间x的方程即可．
【解题过程】
解：长方形GAEH沿水平方向向右移动过程中，设HE与AD相交于点M，设平移时间为x秒，
如图1，
图1
则AF=1.5x，GH=2，
所以，
解得：x=，
如图2，
则BG=，GH=2，
所以，
解得：x=，
综上所述，当S=4（cm2）时，平移的时间为s或s．
故答案为：s或s．
12．（2022秋·八年级课时练习）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号）
【思路点拨】
根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．
【解题过程】
解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，
∴mn，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CEm，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴ECn，
∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴mn，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过______秒后，．
【思路点拨】
分两种情况讨论，利用旋转的性质即可求解．
【解题过程】
解：如图，，
∵，，
∴，，
∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，
∴(秒)；
如图，，
∵，，
∴，，
∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，
∴旋转角为，
∴(秒)；
故答案为：10或70．
14．（2022秋·七年级课时练习）在间一平面内，有2019条互不重合的直线，l1，l2，l3，…，l2019，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，以此类推，则l1和l2019的位置关系是_____．
【思路点拨】
首先根据题意判断l1与l2，l3，l4，l5，l6，l7的关系，即可得到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，再求2019与4的商，即可求得l1与l2019的位置关系．
【解题过程】
解：l1与l2019的位置关系为：l1∥l2008．
理由：∵l1⊥l2，l2∥l3，
∴l1⊥l3，
∵l3⊥l4，
∴l1∥l4，
∵l4∥l5，
∴l1∥l5，
∵l5⊥l6，
∴l1⊥l6，
∵l6∥l7，
∴l1⊥l7，
∴可得规律为：l1⊥l2，l1⊥l3，l1∥l4，l1∥l5，
l1⊥l6，l1⊥l7，l1∥l8，l1∥l9，
…，
则 l1∥l4，l1∥l5，l1∥l8，l1∥l9，l1∥l12，l1∥l13，l1∥l16，l1∥l17…
l1⊥l2，l1⊥l3，l1⊥l6，l1⊥l7，l1⊥l10，l1⊥l11，l1⊥l14，l1⊥l15，…
∵2019÷4＝504…3
∴l1⊥l2019．
故答案为l1⊥l2019．
15．（2023春·七年级课时练习）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
【思路点拨】
分①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解题过程】
解：分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
∵，，
∴，，
要使，则，
即，
解得t=4；
此时，
∴；
②旋转到与都在的右侧时，
∵，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
∴；
③旋转到与都在的左侧时，
∴，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
而，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行．
故答案为：4秒或40秒．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（2023春·七年级课时练习）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+ +∠n＝　 　．
【思路点拨】
（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【解题过程】
解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
17．（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线CD上的一个动点．
（1）如果点P运动到C、D之间时，试探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之间 的关系是否发生改变？请说明理由．
【思路点拨】
（1）当P点在C、D之间运动时，首先过点P作，由，可得,根据两直线平行，内错角相等，即可求得: ∠APB＝∠PAC+∠PBD；
（2）当点P在C、D两点的外侧运动时，则有两种情形，由直线，根据两直线平行,内错角相等，同位角相等与三角形外角的性质，可分别求得:∠APB＝∠PAC－∠PBD和∠APB＝∠PBD-∠PAC.
【解题过程】
解：（1）若P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：
如图，过点P作PE//l1，则∠APE＝∠PAC，
又因为l1//l2，所以PE//l2，
所以∠BPE＝∠PBD，
所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，
即∠APB＝∠PAC+∠PBD.
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：
①如图1，有结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：
过点P作PE//l1，则∠APE＝∠PAC
又因为l1//l2，所以PE//l2
所以∠BPE＝∠PBD
所以∠APB＝∠APE-∠BPE
即∠APB＝∠PAC－∠PBD.
②如图2，有结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：
过点P作PE//l2，则∠BPE＝∠PBD
又因为l1//l2，所以PE//l1
所以∠APE＝∠PAC
所以∠APB＝∠BPE-∠APE
即∠APB＝∠PBD-∠PAC.
18．（2023春·七年级课时练习）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
【思路点拨】
（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；
②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．
【解题过程】
解：（1）如图1，过点作，
则有，
，
，
，
；
（2）①如图2，过点作，
有．
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为；
②如图3，过点作，
有．
，
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为．
19．（2023春·七年级课时练习）已知直线，点A，C分别在，上，点B在直线，之间，且．
（1）如图①，求证：．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作，因为，
所以__________（ ）
所以，（ ）
所以．
（2）如图②，点D，E在直线上，且，BE平分．
求证：；
（3）在（2）的条件下，如果的平分线BF与直线平行，试确定与之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】
（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，再根据平行线的性质即可得结论；
（2）过点作，根据，可得，所以，，结合（1）即可进行证明；
（3）根据，，可得，根据平分，可得，结合（2）可得，中根据平行线的性质即可得结论．
【解题过程】
（1）解：如图①，过点作，因为，
所以（平行于同一条直线的两条直线平行）．
所以，（两直线平行，内错角相等）．
所以．
故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；
（2）证明：如图②，过点作，因为，
所以，
所以，，
由（1）知：．
又，
所以．
因为．
所以，
所以，
因为平分．
所以，
所以，
所以；
（3）解：，理由如下：
因为，，
所以，
因为平分，
所以，
由（2）知：，
所以，
因为，
所以，
所以，，
而，
所以．
20．（2023春·七年级课时练习）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF．
（1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）
（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）
（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）
【思路点拨】
（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；
（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；
（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．
【解题过程】
解：（1）如图1，
过点P作PH∥AB∥CD，
∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，
而∠EPF=∠EPH+∠FPH，
∴∠EPF=∠1+∠2=110°；
（2）过点P作,，
，
，
，
，
，，
，，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，
∴∠4=80°，
故答案为：80°；
（3）过点P作，
平分，
，
同理，
∴
，
同理，
故答案为：，．
21．（2023春·七年级课时练习）（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，当点G在AB、CD之间，且在线段EF左侧时，连接EG、FG，则一定有，为什么？请帮助小明再次说明理由；
（2）【变式思考】如图2，当点G在AB上方时，且，请直接写出与之间的数量关系______；
（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使与互补，作的平分线与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL和∠DKL的平分线，交点为L1；第二次操作，分别作∠BEL1和∠DKL1的平分线，交点为L2；……第n次操作，分别作∠BELn-1和∠DKLn-1的平分线，交点为L、则∠Ln=______．
【思路点拨】
（1）过点作，则，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点作，则，根据平行线的性质即可求解；
（3）①根据与互补，可得，即平分，根据角平分线的定义，进而可得，即可得出；
②根据①的结论，求得发现规律，即可求解．
【解题过程】
（1）如图，过点作，则，
，
；
（2）如图，过点作，则，
，
，
，
，
，
；
（3）① +=180°，，
，
是的角平分线，
，
平分，
，
又平分，
，
，
，
同（1）可得
，
又∵∠EGF=90°，
∴∠EGF=∠ELK,
FG∥KL；
②根据题意可得
同理可得
……
．
故答案为：
22．（2023春·七年级课时练习）已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点．
（1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系 并说明理由．
（2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系 请画图并证明
（3）当满足，且，分别平分和，
①若，则__________°．
②猜想与的数量关系．（直接写出结论）
【思路点拨】
（1）由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为：；
（2）当点在的右侧时，，，满足数量关系为：；
（3）①若当点在的左侧时，；当点在的右侧时，可求得；
②结合①可得，由，得出；可得，由，得出．
【解题过程】
解：（1）如图1，过点作，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为：；
过点作，
，
，
，
，
，
；
（3）①如图3，若当点在的左侧时，
，
，
，分别平分和，
，，
；
如图4，当点在的右侧时，
，
，
；
故答案为：或30；
②由①可知：，
；
，
．
综合以上可得与的数量关系为：或．
23．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DEAB，连接AE，∠B＝∠E＝75°．
（1）请说明AEBC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数．
③在整个运动中，求∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系．
【思路点拨】
（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论；
（2）①如图2，过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论；
②过D作DFAE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．
③结合①②即可得在整个运动中，∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系．
【解题过程】
（1）解：∵DEAB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AEBC；
（2）①如图2，过D作DFAE交AB于F，
∵线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，
∴PQAE，
∴DFPQ，
∴∠DPQ＝∠FDP，
∵∠E＝75°，
∴∠EDF＝180°－∠E＝105°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣105°﹣90°＝165°，
∴∠DPQ+∠QDP＝∠FDP＋∠QDP＝∠FDQ＝165°，
∴∠Q＝180°﹣165°＝15°；
②如图3，过D作DFAE交AB于F，
∵PQAE，
∴DFPQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ∠Q，
∵∠E＝75°，
∴∠EDF＝105°，
∴180°﹣∠QQ＝105°，
∴∠Q＝50°；
如图4，过D作DFAE交AB于F，
∵PQAE，
∴DFPQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ∠Q，
∵∠E＝75°，
∴∠EDF＝105°，
∴180°﹣∠QQ＝105°，
∴∠Q＝150°，
综上所述，∠Q＝50°或150°，
③如图3，∵DFAE，DFPQ，
∴∠EDG＝∠E，∠GDQ＝∠Q，
∴∠EDQ＝∠EDG－∠GDQ＝∠E－∠Q，
即∠EDQ＝∠E－∠Q；
如图4，∵DFAE，DFPQ，
∴∠FDE＝180°－∠E，∠FDQ＝180°－∠Q，
∴∠EDQ＝∠FDE－∠FDQ＝∠Q－∠E，
即∠EDQ＝∠Q－∠E；
综上所述，∠EDQ＝∠E﹣∠Q或∠EDQ＝∠Q﹣∠E．
24．（2023春·七年级课时练习）已知，，直线交于点E，交于点F，点M在线段上，过M作射线分别交射线、于点N、Q．
（1）如图1，当时，求的度数．
（2）如图2，若和的角平分线交于点G，求和的数量关系．
（3）如图3，当，且时，作的角平分线．把一三角板的直角顶点O置于点M处，两直角边分别与和重合，将其绕点O点顺时针旋转，速度为每秒，当落在上时，三角板改为以相同速度逆时针旋转．三角板开始运动的同时绕点N以每秒的速度顺时针旋转，记旋转中的为，当和重合时，整个运动停止．设运动时间为t秒，当的一边和三角板的一直角边互相平行时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）过点M作，利用平行线的性质可得，进而可求；
（2）过点M作，过点G作，设，则，设，则，求出，进而可得；
（3）分5种情况求解即可．
【解题过程】
解：（1）如图过点M作
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（2）如图过点M作，过点G作
设，则
∵
∴
设，则
∵
∴
∴
则，
∴
∴
（3）①到达前，时
②返回，时
③当时
④当时
⑤当时
综上可知，t的值为10，15，，，35.