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【每日一练】浙江省中考数学分类必刷题-解答题篇17
（中考常考、必考题型）
本试卷精选浙江中考近几年各市模拟卷、中考真题卷进行汇编，对选择题、填空题、解答题进行各个击破。
三、解答题：（本大题有8个小题，每小题12分，共96分，解答题需写出必要的文字说明或演算步骤或证明过程）
1．（2023·浙江台州·二模）计算： ．
2．（2024·浙江温州·二模）小南解不等式组的过程如下：
解：由①，得， 第一步∴， 第二步∴． 第三步由②，得， 第四步∴， 第五步所以原不等式组的解为． 第六步
(1)老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第_______步开始出现错误．
(2)请你写出正确的解答过程．
3．（2024·浙江杭州·一模）光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知，液面高度为12cm，正方形的边长为30cm．
（参考数据：，，，，，
(1)求的长；
(2)求该液体（介质）的折射率n．
4．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数的图象与直线交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别交反比例函数图象和轴于点和点．
(1)求k和a的值；
(2)根据图象直接写出的自变量x的取值范围；
(3)当AB长为时，求点A的坐标．
5．（2024·浙江杭州·一模）如图，点D为的边上一点，延长至点F，使得，点E在线段上，且．
(1)若，求的长．
(2)若平分，求的长．
6．（2024·浙江台州·二模）为了增强学生的防溺水意识，某校组织了防溺水知识测试，并随机抽查了240名学生的测试成绩，根据测试成绩绘制成频数分布表和如图所示的未完整的频数分布直方图．
防溺水知识测试成绩频数分布表防溺水知识测试成绩频数分布直方图
组别 分数（分） 频数
A 30
B 90
C a
D 60
(1)求a的值，并把防溺水知识测试成绩频数分布直方图补充完整；
(2)已知该校共有1200名学生参加了防溺水知识测试，测试成绩不低于90分的为优秀，请你估计该校防溺水知识测试成绩优秀的学生人数．
7．（2024·浙江温州·二模）如图1，在四边形中，，，，，点在上，作交于点，点为上一点，且，如图2，作的外接圆交于点，连结，设，．
(1)求的长；
(2)求关于的函数表达式；
(3)当与的一边相等时，求满足所有条件的的长．
8．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．
(1)当时，
①求b的值；
②求点A，B之间的距离；
(2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
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【每日一练】浙江省中考数学分类必刷题-解答题篇17
（中考常考、必考题型）
本试卷精选浙江中考近几年各市模拟卷、中考真题卷进行汇编，对选择题、填空题、解答题进行各个击破。
三、解答题：（本大题有8个小题，每小题12分，共96分，解答题需写出必要的文字说明或演算步骤或证明过程）
1．（2023·浙江台州·二模）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，先化简各式，然后再进行计算即可解答
【详解】解：
．
2．（2024·浙江温州·二模）小南解不等式组的过程如下：
解：由①，得， 第一步∴， 第二步∴． 第三步由②，得， 第四步∴， 第五步所以原不等式组的解为． 第六步
(1)老师批改时说小南的解题过程有错误，小南从第_______步开始出现错误．
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)四
(2)
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是：
（1）根据解不等式的方法得到开始出现错误的步骤；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：小南的解答过程从第四步开始出现错误，
故答案为：四
（2）解：由①，得，
∴，
∴．
由②，得，
∴，
∴，
∴，
所以原不等式组的解为．
3．（2024·浙江杭州·一模）光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．明明制作了一个测算液体折射率的装置．光线从点A按固定角度从空气射入液面（介质），如图2，装入某液体（介质），使光线折射后恰好落到点C，直线GH为法线．已知，液面高度为12cm，正方形的边长为30cm．
（参考数据：，，，，，
(1)求的长；
(2)求该液体（介质）的折射率n．
【答案】(1)24cm
(2)
【分析】（1）根据题目条件，先说明各个小四边形都是矩形，，在中，利用直角三角形的边角间关系求出；
（2）先利用线段的和差关系求出，再在中利用直角三角形的边角间关系求出的正弦，最后利用求折射率的公式得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、正方形的性质、矩形的性质和判定等知识点是解决本题的关键．
【详解】（1）解：正方形的边长为，
．
由题意知：液面平行于底垂直于、两边，法线垂直于液面，
四边形、、、都是矩形．
，．
在中，
，
．
（2）解：四边形、、、都是矩形，
，
在中，
．
．
．
4．（2024·浙江杭州·一模）如图，反比例函数的图象与直线交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别交反比例函数图象和轴于点和点．
(1)求k和a的值；
(2)根据图象直接写出的自变量x的取值范围；
(3)当AB长为时，求点A的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）将点坐标代入两个解析式可得、值；
（2）根据函数图象和点横坐标可得不等式的解集；
（3）先确定两个函数解析式，再设则，根据点在反比例函数图象上，列出关于的方程解出值即可知道点坐标．
【详解】（1）解：反比例函数的图象与直线交于点，
，；
（2）解：根据图象可知，的自变量的取值范围为：；
（3）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：，正比例函数解析式为：，
设则，
点在反比例函数图象上，
，
解得或（舍去），
．
5．（2024·浙江杭州·一模）如图，点D为的边上一点，延长至点F，使得，点E在线段上，且．
(1)若，求的长．
(2)若平分，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由，得到；由推出，由等腰三角形的性质，锐角的余弦得到．
（1）由，得到，即可求出的长．
（2）过作于，由平行线的性质，等腰三角形的性质，锐角的正弦推出，由，推出，即可求出，于是得到．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
；
（2）过作于，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
6．（2024·浙江台州·二模）为了增强学生的防溺水意识，某校组织了防溺水知识测试，并随机抽查了240名学生的测试成绩，根据测试成绩绘制成频数分布表和如图所示的未完整的频数分布直方图．
防溺水知识测试成绩频数分布表防溺水知识测试成绩频数分布直方图
组别 分数（分） 频数
A 30
B 90
C a
D 60
(1)求a的值，并把防溺水知识测试成绩频数分布直方图补充完整；
(2)已知该校共有1200名学生参加了防溺水知识测试，测试成绩不低于90分的为优秀，请你估计该校防溺水知识测试成绩优秀的学生人数．
【答案】(1)，见解析
(2)300人
【分析】本题考查频数分布表和条形统计图，样本估计总体，正确获取统计图中的信息并熟练掌握公式是解题关键．
（1）根据各组频数和总数即可求出a的值，即可补全条形图；
（2）利用调查中测试成绩不低于90分的人数所占比例乘以1200，即可求解．
【详解】（1）解：（人），
故，
补全条形图如图所示：
；
（2）解： （人）
由样本估计总体，可以估计该校防溺水知识测试成绩为优秀的学生人数为300人．
7．（2024·浙江温州·二模）如图1，在四边形中，，，，，点在上，作交于点，点为上一点，且，如图2，作的外接圆交于点，连结，设，．
(1)求的长；
(2)求关于的函数表达式；
(3)当与的一边相等时，求满足所有条件的的长．
【答案】(1)
(2)
(3)的值为或或
【分析】（1）作于点，可证四边形是矩形，可求出的值，在中根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意可证，分别用含的式子表示，用含的式子表示，根据，即可求解；
（3）根据题意，分类讨论，①当时，则；②当时，可证，可得，由，得，即可求解；③当时，可得，由即可求解．
【详解】（1）解：作于点，
，且，
，
四边形是矩形，
，，
，
．
（2）解：，
，
，
∴，
∴，
，，，
，
，，
，
，得．
（3）解：由（2）可知，
在中，，且，
∴，
①如图所示，当时，则，
，
；
②如图所示，当时，
，
，
∴，
，即四边形是等腰梯形，
，
，即是等腰三角形，
作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，且，，
∴，
∴，且，
∵，
，
解得，，
∴，
解得，，
；
③当时，则，
∵四边形为内接四边形，
∴，
，
，
四边形是平行四边形，且，
，
，
∴，
解得，，
，
综上可得，的值为或或．
8．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．
(1)当时，
①求b的值；
②求点A，B之间的距离；
(2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求出解析式；
（1）①由得到，代入即可求解；②抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答；
（2）设点，由落点A和落点C重合，得到，设段抛物线的解析式为，则抛物线的最高点横坐标为，代入得到纵坐标为2，即，解得，因此段抛物线的解析式为，令，得，即，即可解答．
【详解】（1）解：①当时，则．
代入，
得，
解得；
②∵抛物线的对称轴为直线，
∴点关于直线对称的点为．
∴
∴点A，B之间的距离为；
（2）解：设点，
∵落点A和落点C重合，
∴．
根据题意，设段抛物线的解析式为，
抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为．
∴，
即，解得，
∴此时段抛物线的解析式为，
令，得，即．
∴当时，落点C恰好与落点A重合．
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