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【每日一练】浙江省中考数学分类必刷题-解答题篇19
（中考常考、必考题型）
本试卷精选浙江中考近几年各市模拟卷、中考真题卷进行汇编，对选择题、填空题、解答题进行各个击破。
三、解答题：（本大题有8个小题，每小题12分，共96分，解答题需写出必要的文字说明或演算步骤或证明过程）
1．（2024·浙江温州·二模）（1）计算：．
（2）化简：．
2．（2023·浙江衢州·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
3．（2024·浙江绍兴·二模）如图1是一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在接下来的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图2所示．
(1)当时，求关于的函数解析式．
(2)当容器内的水量为时，求对应的时间．
(3)每分钟的进水和出水各是多少升？
4．（2024·浙江台州·二模）图1是放置在水平地面上的拉筋板实物图，图2是其侧面示意图，支撑板．当支撑板卡到最里面一档，正好垂直于地面；当支撑板卡到最外面一档，与地面的夹角，求支撑板端点从最里面一档调到最外面一档时离地面的高度下降了多少．（结果精确到，参考数据，，）
5．（2024·浙江杭州·一模）如图，内接于，点D为弦的中点，连接、，延长交弦的延长线于点E，与弦交于点F，DE与交于点G，已知，．
(1)求的半径；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
6．（2024·浙江温州·二模）某校八年级男、女生分别有360名和400名．为了解学生体质健康情况，随机抽取男、女生各40名进行了测试，成绩分为A，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．将测试成绩整理并绘制成如下统计图表．
成绩性别 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
男生 9 10
女生 8.65
请根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)求，，的值．
(2)根据抽样测试的结果，估计该校八年级测试成绩为A等级的学生总人数．
7．（2024·浙江杭州·一模）根据以下素材，探索完成任务
探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？
素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等．
素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强．铁的密度为，重力系数．
素材3 假设桌面所能承受的最大压强为．长方体铁块的长、宽、高分别为．
问题解决
任务1 求铁块的重力为多少N？
任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式．
任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？
8．（2024·浙江绍兴·二模）【特例发现】
正方形与正方形如图1所示放置，，，三点在同一直线上，点在边上，连结，．通过推理证明，我们可得到两个结论：①；②．
【旋转探究】
将正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度到图2所示的位置，则在“特例发现”中所得到的关于与的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
【迁移拓广】
如图3，在矩形与矩形中，若，．连结，．探索线段与线段存在怎样的数量关系和位置关系？为什么？
【联想发散】如图4，与均为正三角形，连结，．则线段与线段的数量关系是______；直线与直线相交所构成的夹角中，较小锐角的度数为______．
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【每日一练】浙江省中考数学分类必刷题-解答题篇19
（中考常考、必考题型）
本试卷精选浙江中考近几年各市模拟卷、中考真题卷进行汇编，对选择题、填空题、解答题进行各个击破。
三、解答题：（本大题有8个小题，每小题12分，共96分，解答题需写出必要的文字说明或演算步骤或证明过程）
1．（2024·浙江温州·二模）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】此题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．
（1）计算立方根、绝对值、负整数指数幂，再进行和差计算即可；
（2）利用平方差和单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
2．（2023·浙江衢州·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【分析】本题考查分式的化简求值，先算减法，然后对分式的分子、分母分解因式，再约分化到最简，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
3．（2024·浙江绍兴·二模）如图1是一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在接下来的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图2所示．
(1)当时，求关于的函数解析式．
(2)当容器内的水量为时，求对应的时间．
(3)每分钟的进水和出水各是多少升？
【答案】(1)关于的函数解析式为
(2)对应的时间
(3)每分钟的进水量为，出水量为
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式以及利用函数的性质成为解题的关键．
（1）用待定系数法求对应的函数关系式即可；
（2）求出的自变量取值即可；
（3）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解即可．
【详解】（1）解：当时，设关于的函数解析式为，
，两点在函数图象上，
，．
关于的函数解析式为．
（2）解：当容器内的水量为时，即，由（1）知，
．
对应的时间．
（3）解：每分钟的进水量为．每分钟的出水量为．
每分钟的进水量为，出水量为．
4．（2024·浙江台州·二模）图1是放置在水平地面上的拉筋板实物图，图2是其侧面示意图，支撑板．当支撑板卡到最里面一档，正好垂直于地面；当支撑板卡到最外面一档，与地面的夹角，求支撑板端点从最里面一档调到最外面一档时离地面的高度下降了多少．（结果精确到，参考数据，，）
【答案】支撑板端点从最里面一档调到最外面一档时离地面的高度下降了大约．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．过点作于点，根据正弦的定义求出，进而得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点，
在中，，，
，
，
，
答：支撑板端点从最里面一档调到最外面一档时离地面的高度下降了大约．
5．（2024·浙江杭州·一模）如图，内接于，点D为弦的中点，连接、，延长交弦的延长线于点E，与弦交于点F，DE与交于点G，已知，．
(1)求的半径；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)5
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）利用垂径定理得到，，设的半径为r，利用勾股定理即可求解．
（2）延长交于点K，连接，利用直径所对的圆周角是直角和直角三角形的性质解答即可．
（3）连接，利用相似三角形的判定与性质求得，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】（1）解：∵点D为弦的中点，O为圆心，，
∴，，
设的半径为r，则，，
∵，
∴，
∴．
∴的半径为5．
（2）证明：延长交于点K，连接，如图，
∵为的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）连接，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
由（1）知：，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．（2024·浙江温州·二模）某校八年级男、女生分别有360名和400名．为了解学生体质健康情况，随机抽取男、女生各40名进行了测试，成绩分为A，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．将测试成绩整理并绘制成如下统计图表．
成绩性别 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
男生 9 10
女生 8.65
请根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)求，，的值．
(2)根据抽样测试的结果，估计该校八年级测试成绩为A等级的学生总人数．
【答案】(1)9，，10
(2)284人
【分析】本题主要考查了中位数、众数、平均数、用样本估计整体等知识点，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解题的关键．
（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）分别用男、女生人数乘以A等级所占的比例即可解答．
【详解】（1）解：八年级男生的平均数为（分）；
根据中位数的定义可知，：八年级女生的中位数；
由扇形统计图可知，占比例最大的是A等级，则10分出现的次数最多，即众数．
故答案为：9，，10．
（2）解：人．
答：该校八年级测试成绩为A等级的学生总人数为284人．
7．（2024·浙江杭州·一模）根据以下素材，探索完成任务
探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？
素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等．
素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强．铁的密度为，重力系数．
素材3 假设桌面所能承受的最大压强为．长方体铁块的长、宽、高分别为．
问题解决
任务1 求铁块的重力为多少N？
任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式．
任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？
【答案】任务1：；任务2：；任务3：只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受
【分析】本题考查了反比例函数的应用；
任务1：根据重力质量重力系数；密度，列式计算即可求解；
任务2：压强，即可求解；
任务3：根据反比例函数的性质可得随的增大而减小，根据桌面所能承受的最大压强为，分别计算三个侧面分别放置在桌面上时的压强，即可求解．
【详解】解：任务1：依题意，
任务2：依题意，
任务3：∵随的增大而减小，
∴当时，
∵.
∴只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受
8．（2024·浙江绍兴·二模）【特例发现】
正方形与正方形如图1所示放置，，，三点在同一直线上，点在边上，连结，．通过推理证明，我们可得到两个结论：①；②．
【旋转探究】
将正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度到图2所示的位置，则在“特例发现”中所得到的关于与的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
【迁移拓广】
如图3，在矩形与矩形中，若，．连结，．探索线段与线段存在怎样的数量关系和位置关系？为什么？
【联想发散】如图4，与均为正三角形，连结，．则线段与线段的数量关系是______；直线与直线相交所构成的夹角中，较小锐角的度数为______．
【答案】【旋转探究】结论仍然成立．证明见解析；【迁移拓广】有结论：①；②．理由见解析；【联想发散】，．
【分析】【旋转探究】根据正方形的性质易证，得出，延长与、交于点I、H，利用角的转化得出，从而结论得证；
【迁移拓广】 根据矩形的性质及条件“，”，易证，得出，，设和的交点为M，与的交点为N，利用角的转化得出，从而得到结论；
【联想发散】 延长交的延长线于点，交于点．证明，推出，，利用角的转化得出，可得结论．
【详解】【旋转探究】 结论仍然成立．
证明：如图，延长与、交于点I、H，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
且；
【迁移拓广】 解：，．理由如下：
四边形与四边形都为矩形，
，
，
，，
，
，
，，
，
如图，设和的交点为M，与的交点为N，
，，，
，
，
．
【联想发散】 解：如图，延长交的延长线于点，交于点．
，都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，直线与直线相交所成较小角的度数是．
故答案为：，．
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