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【每日一练】浙江省中考数学分类必刷题-解答题篇20
（中考常考、必考题型）
本试卷精选浙江中考近几年各市模拟卷、中考真题卷进行汇编，对选择题、填空题、解答题进行各个击破。
三、解答题：（本大题有8个小题，每小题12分，共96分，解答题需写出必要的文字说明或演算步骤或证明过程）
1．（2024·浙江温州·二模）（1）计算：．
（2）化简：．
2．（2023·浙江温州·二模）（1）计算：．
（2）解方程组：．
3．（2024·浙江绍兴·二模）某款便捷式手机支架如图1所示，通过调节两支架夹角的大小可改变手机屏幕的高度．图2是该款手机支架的平面示意图，已知，．
(1)当时，求点到水平桌面的距离．
(2)当由调整到时，则点到水平桌面的距离将抬高多少？(结果精确到．参考数据：，，．)
4．（2024·浙江温州·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
5．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，四边形，经过A、B、D三点，为的直径，于点E，且．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
6．（2024·浙江杭州·一模）今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表：
八年级10个班成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
班级个数 1 3 a b 1
已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1) ， ；
(2)八年级成绩的中位数为 分；
(3)若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”．
7．（2024·浙江·二模）综合与实践
素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离x（单位：）与相对应的飞行高度y（单位：）的数据（如下表）
飞行水平距离x（单位：） 0 20 40 60 80 100
飞行高度y（单位：） 0 40 64 72 64 40
素材2：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机
链接：已知航模的飞行高度y（单位：）与水平飞行距离x（单位：）满足二次函数关系
任务1：请求出y关于x的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离．
任务2：在安全线上设置回收区域，点M的右侧为回收区域（包括端点M），．若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．
8．（2024·浙江杭州·一模）【综合与实践】
【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明．
如图（2），和的面积相等，求证：．
证明：分别过点、点作和底边上的高线，．
【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由．
【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．
已知：如图（4），______．
求证：______．
证明：
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【每日一练】浙江省中考数学分类必刷题-解答题篇20
（中考常考、必考题型）
本试卷精选浙江中考近几年各市模拟卷、中考真题卷进行汇编，对选择题、填空题、解答题进行各个击破。
三、解答题：（本大题有8个小题，每小题12分，共96分，解答题需写出必要的文字说明或演算步骤或证明过程）
1．（2024·浙江温州·二模）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、分式的加减运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）先根据零次幂、绝对值、算术平方根化简，然后再计算即可；
（2）先根据同分母分式加减运算法则计算，然后再分别对分子、分母因式分解，最后约分即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
2．（2023·浙江温州·二模）（1）计算：．
（2）解方程组：．
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）先化简各式，再进行加减运算；
（2）加减消元法解方程组即可．
【详解】解：（1）原式．
（2）．
解：把②×2得，．
得．
∴．
把代入②得，．
∴原方程组得解为．
3．（2024·浙江绍兴·二模）某款便捷式手机支架如图1所示，通过调节两支架夹角的大小可改变手机屏幕的高度．图2是该款手机支架的平面示意图，已知，．
(1)当时，求点到水平桌面的距离．
(2)当由调整到时，则点到水平桌面的距离将抬高多少？(结果精确到．参考数据：，，．)
【答案】(1)点到水平桌面的距离为
(2)当由调整到时，点到水平桌面的距离将抬高
【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）过点作于点，在中，利用求出即可得解；
（2）过点作于点，可得，利用求出即可得解．
【详解】（1）如图1，当时，
，
．
过点作于点，
在中，，，
．
点到水平桌面的距离为．
（2）如图2，当由调整到时，则，
过点C作，作于点，
，
在中，，，
．
当由调整到时，点到水平桌面的距离将抬高．
4．（2024·浙江温州·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
【答案】任务1：，；任务2：空矿泉水瓶的重量为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握反比例函数的应用，二元一次方程组的应用是解题的关键
任务1：由题意，得，即，由题意知，，，则，即，进而可求的取值范围．
任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】任务1：解：由题意，得，
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴．
任务2：解：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，
依题意得，，
解得，
空矿泉水瓶的重量为．
5．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，四边形，经过A、B、D三点，为的直径，于点E，且．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由可得，由可得，从而得到，即可得证；
（2）根据可得，，由圆周角定理可得，根据求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：为的直径，
，
在中，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
是的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
，，
则．
6．（2024·浙江杭州·一模）今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表：
八年级10个班成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
班级个数 1 3 a b 1
已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1) ， ；
(2)八年级成绩的中位数为 分；
(3)若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”．
【答案】(1)1，4
(2)8.5
(3)本次活动八年级不能获得“优秀组织奖”
【分析】本题考查了众数、中位数、平均数，解题的关键是明确题意，求出相应的数据．
（1）根据八年级各班成绩只有一个众数为9分，且、均为正整数和表格中的数据，可以得到、的值；
（2）根据表格中的数据，可以得到八年级成绩的中位数；
（3）先计算出八年级成绩的平均数，再与8.5比较大小即可．
【详解】（1）解：八年级各班成绩只有一个众数为9分，且、均为正整数，
，则，
故答案为：1，4；
（2）解：由表格可得，
八年级的中位数为：（分，
故答案为：8.5；
（3）解：由表格可得，八年级的平均分为：（分），
，
本次活动八年级不能获得“优秀组织奖”．
7．（2024·浙江·二模）综合与实践
素材1：一年一度的科技节即将到来，小明所在的科技小组研制了一种航模飞机．通过多次实验，收集了飞机的水平飞行距离x（单位：）与相对应的飞行高度y（单位：）的数据（如下表）
飞行水平距离x（单位：） 0 20 40 60 80 100
飞行高度y（单位：） 0 40 64 72 64 40
素材2：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞航模飞机
链接：已知航模的飞行高度y（单位：）与水平飞行距离x（单位：）满足二次函数关系
任务1：请求出y关于x的函数关系式（不用写自变量的取值范围），并求出航模的最远飞行距离．
任务2：在安全线上设置回收区域，点M的右侧为回收区域（包括端点M），．若飞机落到回收区域内，求发射平台相对于安全线的最低高度．
【答案】任务一：航模的最远飞行距离为；任务二：发射平台相对于安全线的最低高度为
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是求出二次函数解析式．
任务1：根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式；令，解方程求出的值；
任务2：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度为，然后根据题意知，当时，，解不等式求出的最小值．
【详解】解：（1）已知航模的飞行高度y（单位：）与水平飞行距离x（单位：）满足二次函数关系，由表可知是顶点
∴设
把代入得：
∴
当时
，
答：航模的最远飞行距离为
（2）设发射平台相对于安全线的高度为n米
∴
当时，
∴
∵
∴
∴
∴
答：发射平台相对于安全线的最低高度为．
8．（2024·浙江杭州·一模）【综合与实践】
【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明．
如图（2），和的面积相等，求证：．
证明：分别过点、点作和底边上的高线，．
【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由．
【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．
已知：如图（4），______．
求证：______．
证明：
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）分别过点、点作和底边上的高线，，利用三角形的面积公式与已知条件得到，则，再利用平行四边形的判定与性质解答即可；
（2）利用平行线之间的距离相等，同底等高的三角形面积相等的性质解答即可；
（3）连接，，过点作于点，过点作于点，利用等底同高的三角形的面积相等的性质得到，由（1）的证明过程可知：；利用等底同高的三角形面积相等的性质得到，则，化简即可得出结论．
【详解】证明：分别过点、点作和底边上的高线，，如图，
的面积，的面积，和的面积相等，
，
．
，，
∴，
四边形为平行四边形，
∴；
（2）1．连接，
2．过点作，交的延长线于点，
3．连接，
则为所画的三角形．如图，
理由：∵，
与为同底等高的三角形，
，，
．
四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变；
【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．
已知：中，点为的中点，点为的中点．
求证：，．
证明：连接，，过点作于点，过点作于点，如图，
点为的中点，
，
与为等底同高的三角形，
．
点为的中点，
，
与为等底同高的三角形，
，
．
由（1）的证明过程可知：，．
点为的中点，
，
与为等底同高的三角形，
，
，
．
，
，
．
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